PAK 6/2006 51 Analiza właściwości

PAK 6/2006

51
Mariusz KRAJEWSKI
UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI, INSTYTUT METROLOGII ELEKTRYCZNEJ
Analiza właściwości filtru Kalmana w pomiarze zespolonego
stosunku napięć
stosunku napięć sinusoidalnych o niezmiennych parametrach.
Zaproponowano modyfikację filtru w taki sposób, aby możliwym
było otrzymanie jak największej dokładności estymacji modułu
i argumentu zespolonego stosunku napięć. Badania przeprowadzono symulacyjnie oraz dokonano doświadczalnej weryfikacji
wyników.
Mgr inż. Mariusz KRAJEWSKI
Absolwent Wydziału Elektrycznego Politechniki
Zielonogórskiej (2001). Od października 2001
asystent w Instytucie Metrologii Elektrycznej
Uniwersytetu Zielonogórskiego. Zainteresowania:
komputerowe systemy pomiarowe, przetwarzanie
sygnałów i doświadczalna weryfikacja wyników
symulacji.
2. Filtr Kalmana
e-mail: [email protected]
Streszczenie
W pracy przedstawiono analizę właściwości filtru Kalmana zastosowanego w pomiarze zespolonego stosunku napięć sinusoidalnych. Analizowano
wpływ wybranych parametrów przetwarzania analogowo-cyfrowego oraz
parametrów algorytmu na dokładności estymacji modułu i argumentu
zespolonego stosunku napięć sinusoidalnych. Właściwości filtru Kalmana
porównano z właściwościami metody najmniejszych kwadratów (MNK).
Przedstawiono wyniki symulacji komputerowych i badań doświadczalnych.
Analysis of Kalman filter properties
on complex voltage ratio measurement
Filtr Kalmana stosowany jest między innymi do estymacji
chwilowych wartości częstotliwości [3], czy chwilowych wartości
fazy [4]. W niniejszej pracy adoptowany został do estymacji
modułu i argumentu zespolonego stosunku napięć sinusoidalnych.
Podstawą analizy są ciągi próbek dla dwóch sygnałów sinusoidalnych u1(t) i u2(t), które w ogólnym przypadku można zapisać
w postaci:
(2)
u n = U m ⋅ sin(ω ⋅ ( n − 1) ⋅ ∆t + ψ ) , n=1, ..N,
gdzie: Um – amplituda sygnału, ω = 2 ⋅ π ⋅ f - pulsacja, f – częstotliwość sygnału, ∆t - okres próbkowania, N – liczba próbek.
Dla sygnału sinusoidalnego przyjęto:
- wektor stanu
X n = [U m ψ
Abstract
In the paper analysis of Kalman filter properties on complex voltage ratio
measurement are presented. Influence of chosen analog to digital
conversion parameters and algorithm parameters on estimate accuracy of
the magnitude and argument of complex sinusoidal voltage ratio is
analysed. Kalman filter properties are compared with least square mean
(LSM) algorithms properties. Simulation end experimental results are
described.
1. Wstęp
ω ]T ,
(3)
gdzie [..]T – macierz transponowana,
- macierz stanu
F = [1 0 0; 0 1 ∆t; 0 0 1] .
(5)
Określono warunki początkowe dla n=0:
- macierz wariancji estymatora procesu
Wyznaczenie zespolonego stosunku napięć (1) jest miedzy innymi przydatne w precyzyjnych pomiarach impedancji, przekładni
dzielników, czy badaniu charakterystyk wzmacniaczy. Pomiary te
mogą być wykonywane w oparciu o metody cyfrowe, gdzie na
dokładne wyznaczenie zespolonego stosunku napięć ma wpływ
przetwarzanie analogowo-cyfrowe jak i algorytm cyfrowego
przetwarzania sygnałów.
KU =
U 1 U 1 j (ψ 1 −ψ 2 )
=
⋅e
= K U ⋅ e jϕ ,
U 2 U2
(1)
gdzie: ψ1, ψ2 – kąty fazowe napięć sinusoidalnych U 1 i U 2 ,
K U - moduł zespolonego stosunku napięć, ϕ - argument zespolonego stosunku napięć.
Najczęściej stosowanymi w precyzyjnych pomiarach są algorytmy oparte o metodę najmniejszych kwadratów (MNK) oraz
dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT) [1, 2]. Zastosowanie
tych algorytmów w pomiarach impedancji umożliwia estymację
składowych impedancji z błędem kilku ppm. Celowym wydaje się
poszukiwanie algorytmów, które umożliwią jeszcze dokładniejsze
wyznaczenie zespolonego stosunku napięć. W pracy dokonano
sprawdzenia, jakie dokładności można otrzymać dla algorytmu
opartego o nieliniowy filtr Kalmana, w porównaniu z MNK. Filtr
ten umożliwia, w sposób rekurencyjny, estymację parametrów
sygnałów zmiennych w czasie [3, 4, 5]. Natomiast w pracy analizowane są właściwości tego algorytmu w pomiarze zespolonego
[
P0|0 = P0 = varu
0 0; 0 varψ
]
0; 0 0 0 ,
(6)
gdzie varu, varψ – wariancja estymatora procesu amplitudy i fazy,
- wektor stanu obiektu
T
X 0|0 = [0 0 ω ] ,
(7)
- wariancja zakłóceń R.
W dalszym etapie kolejno, cyklicznie od n=1 do n=N wyznaczane są:
- estymator mierzonego sygnału:
uˆ n = h[ Xˆ n−1 ] = X n(1−)1 ⋅ sin( X n(3−)1 ⋅ ∆t + X n( 2−1) ) ,
(4)
gdzie X ni −1 - i-ta składowa wektora stanu w (n-1) momencie czasu,
- macierz wyjścia
H=
[
]
∂h ˆ
X n −1|n −1 ,
∂X
(8)
gdzie indeks n-1|n-1 oznacza, że jest to estymata w chwili (n-1), na
podstawie wyników pomiarów zebranych do chwili (n-1),
52

- prognoza stanu
Xˆ n|n −1 = F ⋅ Xˆ n −1|n −1 ,
(9)
- prognoza kowariancji stanu:
Pn|n −1 = F ⋅ Pn −1|n −1 ⋅ F T ,
(10)
- wzmocnienie:
K = Pn|n −1 ⋅ H T ⋅ [ H ⋅ Pn|n −1 ⋅ H T + λ ⋅ R] −1 ,
(11)
gdzie λ - współczynnik zapominania ( λ ≤ 1 ),
- błąd prognozy pomiaru, dla próbki sygnału un:
∆u = u n − uˆ n ,
(12)
- korekcja prognozy stanu – nowa estymata stanu:
Xˆ n|n = Xˆ n|n −1 + K ⋅ ∆ u ,
(13)
nie bezwzględne argumentu ∆ϕ i odchylenie standardowe modułu
σK i argumentu σϕ zespolonego stosunku napięć.
Badana symulacyjne i doświadczalne wykonano dla sygnałów
sinusoidalnych o amplitudach Um1=Um2=1V, częstotliwości
f=1kHz, częstotliwości próbkowania fp=16kHz i liczbie zbieranych próbek dla obu kanałów N=80. Otrzymane wstępnie wyniki
badań symulacyjnych dla sygnałów sinusoidalnych z szumem
i różnych parametrów filtru (λ, P0, R) wykazały, że bardzo duży
wpływ na dokładność estymacji zespolonego stosunku napięć,
z zastosowaniem filtru Kalmana, ma współczynnik zapominania
λ. Na rys. 2. przedstawiono wybrane wyniki symulacji dla sygnału
z szumem o rozkładzie równomiernym, o amplitudzie A=0,01V
i zadanej fazie miedzy sygnałami ϕ=60°. Dla porównania przedstawiono także wyniki badań dla metody najmniejszych kwadratów o znanej częstotliwości (MNK) [6]. Z analizy tych rezultatów
badań wynika, że dla λ bliskiego 1 następuje bardzo duży wzrost
błędów estymacji filtru Kalmana. Wynika to z faktu, że współczynnik zapominania odpowiedzialny jest za to ile ostatnich wyników pomiaru uwzględnianych jest w obliczeniach estymatorów.
Dla λ bliskiego 1 pamiętany jest także początkowy wektor stanu
obiektu, który ma wartości zerowe dla amplitudy i fazy sygnału,
co powoduje bardzo duże błędy estymacji.
a)
- korekcja prognozy kowariancji stanu:
Pn|n = [ Pn|n −1 − K ⋅ H ⋅ Pn|n −1 ] / λ .
PAK 6/2006
(14)
Ostatecznie estymatory amplitudy i fazy określone są dla n=N
zależnościami:
(15)
Uˆ m = X N(1|)N ,
ψˆ = X N( 2|N) − ( N − 1) ⋅ ∆t ⋅ ω .
(16)
b)
Natomiast estymator modułu i argumentu zespolonego stosunku
napięć u1(t) i u2(t) można zapisać:
Uˆ
Kˆ = m1 ,
Uˆ m 2
ϕˆ = ψˆ 1 −ψˆ 2 .
(17a, 17b)
3. Wyniki badań
Analiza właściwości filtru Kalmana w pomiarze zespolonego
stosunku napięć przeprowadzona została w oparciu o układ pomiarowy przedstawiony na rys.1. Badania przeprowadzono symulacyjnie i doświadczalnie. Pomiary wykonano z zastosowaniem
woltomierza próbkującego, oprogramowanego w środowisku
LabWindows, który próbkował sekwencyjnie sygnały z dwóch
generatorów. Generatory pracowały w trybie synchronicznym,
a sygnał synchronizacji generatora odniesienia (generator 1) sterował przełącznikiem P i woltomierzem.
Rys. 1.
Fig. 1.
Uproszczony schemat układu pomiarowego
Simplified diagram of the measuring circuit
Przeprowadzone badania dotyczyły wpływu parametrów filtru
Kalmana, szumu, niepoprawnej znajomości częstotliwości sygnałów sinusoidalnych i szerokości okna pomiarowego na dokładność
estymacji zespolonego stosunku napięć. Jako miarę niedokładności przyjęto obciążenie względne estymatora modułu δK, obciąże-
Rys. 2.
Fig. 2.
Błędy estymacji zespolonego stosunku napięć w funkcji współczynnika λ:
a) Błąd względny obciążenia i odchylenie standardowe modułu dla filtru
Kalmana δK_FILTR, σK_FILTR i MNK δK_MNK, σK_MNK; b) Błąd bezwzględny
obciążenia i odchylenie standardowe argumentu dla filtru Kalmana
∆ϕ_FILTR, ∆ϕ_FILTR i MNK ∆ϕ_MNK, ∆ϕ_MNK
Estimate errors of complex voltage ratio as a function of coefficient λ:
a) relative bias error and standard deviation of magnitude for Kalman
filterδK_FILTR, σK_FILTR and LSM δK_MNK, σK_MNK; a) absolute bias error and
standard deviation of argument for Kalman filter ∆ϕ_FILTR, ∆ϕ_FILTR and
LSM ∆ϕ_MNK, ∆ϕ_MNK
Ponieważ wpływ początkowego wektora stanu jest istotny, autor
w celu poprawy dokładności estymacji zaproponował zastosowanie podwójnej filtracji filtrem Kalmana dla tych samych próbek
sygnałów. Działanie podwójnej filtracji polega na wykonaniu
dwóch etapów estymacji zespolonego stosunku napięć. W pierwszym etapie wykonywany jest algorytm z filtrem Kalmana dla
0
T
X 0|0 = [0 0 ω ] , λ = λ0 , varu = varu0 , varψ = varψ , R=R0, wynikiem którego są estymatory Uˆ 0 , ψˆ 0 . W drugim etapie wykonym
wany jest ponownie ten sam algorytm, dla tych samych próbek
sygnałów,
ale
dla
innych
warunków
początkowych
T
1
1
0
0
ˆ
X 0|0 = U m ψˆ − ∆t ⋅ ω ω , λ = λ , varu = varu , varψ = varψ1 ,
R=R1. W wyniku otrzymuje się estymatory Uˆ 1 , ψˆ 1 . Ostatecznie
[
]
m
estymator modułu i argumentu można zapisać w postaci:
PAK 6/2006

1
1
Uˆ 1
Kˆ = 1m1 , ϕˆ = ψˆ 1 − ψˆ 2 .
ˆ
U m2
53
a)
(18a, 18b)
Kolejne badania przeprowadzono analizując właściwości algorytmu z podwójną filtracją. Parametry sygnałów były takie jak
wcześniej. Na podstawie analiz wybrano ostatecznie następujące
varu0 = varψ0 = R 0 = 0,0001V ,
warunki początkowe: λ0=0,8,
varu1 = varψ1 = 0,0001V , R1=0,00001V. Na rys. 3. przedstawiono
wyniki badań symulacyjnych obciążenia estymatorów modułu
i fazy oraz odchylenia standardowe tych estymatorów w funkcji
współczynnika zapominania λ1. Wyniki porównane zostały
z wynikami otrzymanymi dla MNK. Na podstawie otrzymanych
wyników można wywnioskować, że najlepsze wyniki estmacji
zespolonego stosunku napięć otrzymuje się dla λ1=1. Poza tym
wyniki dla λ1=1 są niemal identyczne jak dla MNK. Różnice są
pomijalnie małe. Potwierdzone to zostało także doświadczalnie.
b)
a)
Rys. 4.
Fig. 4.
b)
Błędy estymacji zespolonego stosunku napięć w funkcji R1 dla ∆f=-1Hz,
λ1=1: a) Błąd względny obciążenia i odchylenie standardowe modułu
dla filtru Kalmana δK_FILTR, σK_FILTR i MNK δK_MNK, σK_MNK; b) Błąd
bezwzględny obciążenia i odchylenie standardowe argumentu dla
filtru Kalmana ∆ϕ_FILTR, ∆ϕ_FILTR i MNK ∆ϕ_MNK, ∆ϕ_MNK
Estimate errors of complex voltage ratio as a function of R1: a) relative bias
error and standard deviation of magnitude for Kalman filterδK_FILTR, σK_FILTR
and LSM δK_MNK, σK_MNK; a) absolute bias error and standard deviation of
argument for Kalman filter ∆ϕ_FILTR, ∆ϕ_FILTR and LSM ∆ϕ_MNK, ∆ϕ_MNK
Kolejne analizy dotyczyły wpływu szerokości okna pomiarowego na dokładności estymacji zespolonego stosunku napięć.
Przeprowadzono badania symulacyjne i doświadczalne, zmieniając szerokość okna pomiarowego poprzez zmianę liczby próbek
w zakresie N=72..88. Ostatecznie stwierdzono, że wyniki dla filtru
Kalmana i MNK są także podobne do siebie dla R1<varu=varψ
i λ1=1.
4. Podsumowanie
Rys. 3.
Fig. 3.
Błędy estymacji zespolonego stosunku napięć w funkcji współczynnika λ1
dla R1=0,00001V: a) Błąd względny obciążenia i odchylenie standardowe
modułu dla filtru Kalmana δK_FILTR, σK_FILTR i MNK δK_MNK, σK_MNK;
b) Błąd bezwzględny obciążenia i odchylenie standardowe argumentu
dla filtru Kalmana ∆ϕ_FILTR, ∆ϕ_FILTR i MNK ∆ϕ_MNK, ∆ϕ_MNK
Estimate errors of complex voltage ratio as a function of coefficient λ1
for R1=0,00001V: a) relative bias error and standard deviation of magnitude
for Kalman filterδK_FILTR, σK_FILTR and LSM δK_MNK, σK_MNK; a) absolute
bias error and standard deviation of argument for Kalman filter ∆ϕ_FILTR,
∆ϕ_FILTR and LSM ∆ϕ_MNK, ∆ϕ_MNK
Następne badania dotyczyły analizy wpływu odchyłki częstotliwości nominalnej sygnałów na dokładności estymacji zespolonego stosunku napięć. Badania symulacyjne i pomiary wykonano
dla częstotliwości f, przyjętej do obliczeń, obarczonej błędem ∆f.
Na rys. 4. przedstawiono wybrane wyniki, otrzymane na podstawie pomiarów rzeczywistych, błędów estymacji zespolonego
stosunku napięć w funkcji R1, dla λ1=1 i ∆f=-1Hz. Na podstawie
otrzymanych wyników wywnioskowano, że na dokładność estymacji wpływ ma także wprowadzana do algorytmu wartość wariancji zakłóceń R1. Można zauważyć, że najlepsze dokładności
estymacji zespolonego stosunku napięć otrzymuje się dla
R1<varu=varψ. W odwrotnym przypadku odchylenie standardowe
estymatora modułu i argumentu maleje, ale kosztem obciążenia
estymatorów. Poza tym najlepsze wyniki estymacji są podobne do
wyników dla MNK. Ponieważ badania przeprowadzono dla odchyłki od częstotliwości nominalnej wywnioskowano, że odchyłka
ma jednakowy wpływ na dokładności estymacji MNK i algorytmu
z filtrem Kalmana, dla R1<varu=varψ i λ1=1. Otrzymane wyniki
pomiarów były potwierdzeniem wyników symulacji.
Przeprowadzone badania symulacyjne i doświadczalne wskazują, że najlepsze wyniki dla filtru Kalmana, zastosowanego
w pomiarze zespolonego stosunku napięć, są podobne do wyników otrzymanych przy zastosowaniu metody najmniejszych kwadratów (MNK). Otrzymane błędy estymacji pod wpływem zakłóceń, odchyłki częstotliwości nominalnej i szerokości okna pomiarowego dla algorytmu opartego o filtr Kalmana, o najlepszych
jego parametrach, są porównywalne z otrzymanymi dla MNK.
5. Literatura
[1] G. Ramm, H. Moser: From the Calculable AC Resistor to Capacitor
Dissipation Factor Determination on the Basis of Time Constants.
IEEE Trans. On Instr. And Meas.; vol. 50, nr 2, 2001.
[2] U. Pogliano: Precision Measurement of AC Voltage Below 20Hz at
IEN. IEEE Trans. On Instr. And Meas., vol. 46, nr 2, 1997.
[3] Dash, P.K.; Jena, R.K.; Panda, G.; Routray, A.: An extended complex
Kalman filter for frequency measurement of distorted signals. IEEE
Trans. On Instr. And Meas.; vol. 49, nr 4, 1997.
[4] J. Gajda, R. Sroka: Pomiary kąta fazowego – metody – układy –
algorytmy. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki
i Elektroniki AGH, Kraków 2000.
[5] T. P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – od teorii do
zastosowań. WKŁ, Warszawa 2005.
[6] M. Krajewski: Porównanie właściwości DFT i MNK w pomiarze
zespolonego stosunku napięć. Kongres Metrologii. Wrocław 2004.
_____________________________________________________
Artykuł recenzowany