Egzamin z Algorytmicznych Aspektów Teorii Gier II termin

Egzamin z Algorytmicznych Aspektów Teorii Gier II termin
[email protected],
x
10 . Osoby, które uzyskaj¡ ocen¦ co
Rozwi¡zania prosz¦ przesyªa¢ e-mailem do 10 marca godz. 23:59 na adresy
[email protected]
w formacie
.pdf.
Skala ocen:
x
pt.
≈ 2+
najmniej 4 mog¡ poprawi¢ si¦ na egzaminie ustnym 12 marca, godz. 16.
(10 punktów) Barman i klient graj¡ w nast¦puj¡c¡ gr¦.
Zadanie 1.
w dwóch kolorach: czerwonym lub niebieskim.
Obaj maj¡ zwyczaj nosi¢ krawaty
Je±li okazuje si¦, »e obaj zaªo»yli krawaty w tym samym
kolorze, to klient otrzymuje za darmo jeden drink, je±li jest to kolor czerwony, a dwa drinki, gdy jest to
kolor niebieski.
Je±li jednak zaªo»yli krawaty w ró»nych kolorach, klient pªaci kwot¦
otrzymuj¡c). Zakªadamy, »e warto±¢ drinka jest 1. Ile powinno wynosi¢
Zadanie 2.
1
(gra w zapalanie ±wiateª ) Dana jest plansza rozmiaru
znajduje si¦ »arówka. Na dole ka»dej z
znajduje si¦ wajcha.
n
x
(nic przy tym nie
x,
by gra byªa sprawiedliwa ?
n
na
n.
W ka»dym polu planszy
kolumn znajduje si¦ wajcha. Na lewym kra«cu ka»dego wiersza
Ka»da wajcha mo»e by¢ w pozycji
0
lub
1.
Ka»da »arówka mo»e by¢ wª¡czona lub
wyª¡czona. W grze w zapalanie ±wiateª gracz I wybiera stan pocz¡tkowy planszy, to znaczy decyduje, które
»arówki s¡ wª¡czone, a które wyª¡czone. W stanie pocz¡tkowym wszystkie wajchy znajduj¡ si¦ w pozycji
0.
Przestawienie wajchy w danej kolumnie/wierszu powoduje wyª¡czenie wszystkich wª¡czonych »arówek i
wª¡czenie wszystkich wyª¡czonych »arówek. Zadaniem gracza II jest wybranie takiej sekwencji przeª¡cze«,
»eby zmaksymalizowa¢ ró»nic¦ mi¦dzy liczb¡ wª¡czonych i wyª¡czonych »arówek.
1. (5 punktów) Wyka», »e dla dostatecznie du»ych
n
istnieje strategia dla gracza I, która zapewnia, »e
niezale»nie od strategii gracza II ró»nica mi¦dzy liczb¡ wª¡czonych i wyª¡czonych »arówek jest nie
wi¦ksza, ni»
1.66n3/2 .
2. (5 punktów) Podaj algorytm wielomianowy wzgl¦dem wielko±ci planszy, który dla danego ruchu gracza
I wylicza optymalny ci¡g ruchów gracza II gwarantuj¡cy, »e dla dostatecznie du»ych
liczb¡ wª¡czonych i wyª¡czonych »arówek wynosi co najmniej
n
ró»nica mi¦dzy
0.79n3/2 .
Uwaga. B¦dziemy równie» przyjmowa¢ rozwi¡zania z gorszymi staªymi.
Dana jest plansza
Zadanie 3.
G = (Vmax , Vmin , E, w) do gry meanpayo, V = Vmax ∪ Vmin . Poni»ej
G przy pomocy metody potencjaªu (por. Cormen, Leiserson,
przedstawiony jest algorytm, który dla danej gry
Rivest, Wprowadzenie do Algorytmów, rozdziaª 18.3) oblicza zbiór wierzchoªków, dla których warto±¢ gry
jest ±ci±le ujemna.
funkcji
d : V → R.
Metoda potencjaªu polega na modyfkowaniu wag kraw¦dzi w grae
Mianowicie, do wagi kraw¦dzi z wierzchoªka
d(v).
Attr(wd )
i odejmujemy warto±¢
potencjaªu
d
niech
niezale»nie od zagra« gracza
wag
wd
u
v
G
przy pomocy
d(u)
wd . Przy danej funkcji
gracz min ma pewno±¢, »e
do wierzchoªka
dodajemy warto±¢
Tak zmodykowan¡ funkcj¦ wag kraw¦dzi oznaczamy
to zbiór tych wierzchoªków w grae gry, w których
max,
rozgrywka osi¡gnie kraw¦d¹ o warto±ci ±ci±le ujemnej wzgl¦dem funkcji
nie przechodz¡c wcze±niej przez kraw¦d¹ o warto±ci ±ci±le dodatniej wzgl¦dem
wd .
v ∈ Vmax to ext(wd , v) = max(v,u)∈E wd (v, u), je±li v ∈ Vmin , to ext(wd , v) = min(v,u)∈E wd (v, u).
ext(wd , v) to lokalnie najkorzystniejsza kraw¦d¹ z punktu widzenia gracza, do którego nale»y
0
wierzchoªek v . Dla danego zbioru wierzchoªków X , funkcji potencjaªu d oraz liczby δ przez d = d + δX
rozumiemy funkcj¦ potencjaªu, która na elementach zbioru X jest powi¦kszona o warto±¢ δ . Mówimy, »e
wagi wd0 s¡ monotoniczne wzgl¦dem wag wd , je±li
Je±li
Intuicyjnie
• ∀v∈V |ext(wd0 , v)| ≤ |ext(wd , v)|,
• ∀v∈V
liczby
ext(wd0 , v) i ext(wd , v)
albo obydwie s¡ nieujemne, albo obydwie s¡ niedodatnie.
Maj¡c zgromadzone powy»sze denicje, mo»emy przedstawi¢ algorytm:
1 Reguªy
gry opracowane w laboratoriach rmy Bell.
1
function
mpattr (G)
δ0 = 0
d = 0
repeat
X := Attr(wd )
δ0 := sup{δ : wagi wd0 s¡ monotoniczne wzgl¦dem wd , gdzie d0 := d + δX}
i f δ0 < ∞
d := d + δ0 X
until δ0 = ∞
return X
] zbiór wierzchoªków, dla których warto±¢ gry jest ±ci±le ujemna.
Wyka», »e:
1. (2 punkty) Krok znajduj¡cy supremum mo»e by¢ efektywnie zrealizowany.
2. (5 punktów) Konstruuj¡c odpowiedni niezmiennik wyka», »e algorytm jest zgodny ze specykacj¡
podan¡ na pocz¡tku zadania.
3. (3 punkty) Oszacuj czas dziaªania i porównaj z algorytmem Zwicka i Patersona podanym na wykªadzie.
Zadania zaczerpni¦te s¡ z literatuty przedmiotu.
2