Zadania na egzamin z algebry

Zadania na egzamin z algebry
5 czerwca 2009
1. Grupy - definicje, własności przykłady
2. Podgrupy - definicje, równoważne warunki na bycie podgrupą
3. Podgrupy generowane przez zbiór, element. Szczególny przypadek dla grup
abelowych.
4. Twierdzenie Lagrange’a
5. Tworzenie podgrup, centralizator, normalizator, centrum.
6. Działanie grupy na zbiór. Podgrupy wyznaczone przez to działanie
7. Grupy cykliczne i ich podgrupy - podstawowe własności
8. Charakteryzacja grup cyklicznych
9. Homomorfizm - własności obrazu i jądra
10. Podgrupy normalne - własności, warunki równoważne
11. Grupy ilorazowe, działania na warstwach
12. Kiedy dla podgrup H i K grupy G, HK jest podgrupą G
13. Twierdzenia o izomorfizmie, dowód pierwszego i intuicja pozostałych
14. Grupy proste - dlaczego ważne?
15. Twierdzenie Cayleya
16. Działanie grupy na siebie przez sprzężenie, elementy i podgrupy sprzężone
17. Z czym izomorficzne jest G/Z(G)?
18. Komutator i komutant - własności
19. Niech H B G. Kiedy G/H jest abelowa?
20. Twierdzenia Sylowa. Dowód pierwszego (przynajmniej szkic)
21. Warunki równoważne na unikalność p-podgrupy Sylowa.
22. Proste i półproste produkty grup
23. Skończona abelowa grupa jako produkt p-grup cyklicznych
1
24. Kiedy HK ∼
=H ×K ?
25. Grupy nilpotentne, definicja i charakteryzacja.
26. Grupy rozwiązalne, obrazy homomorficzne i grupy ilorazowe grup rozwiązalnych
27. H i G/H rozwiązalne to G rozwiązalna
28. Pierścienie i podpierścienie, definicje, własności, warunki równoważne, przykłady
29. Pierścienie - różne rodzaje, definicje i skąd się biorą
30. Pierścień homomorfizmów, ideały, pierścienie ilorazowe
31. Twierdzenia o homomorfiźmie dla pierścienie
32. Generowanie ideałów
33. Ideały maksymalne i pierwsze, zależności
34. Pierścienie ułamków
35. Chińskie twierdzenie o resztach - dlaczego jest uogólnieniem ”szkolnego”
twierdzenia.
36. Pierścienie Euklidesa i własności związane z posiadaniem algorytmu Euklidesa
37. Pierścienie Euklidesa są pierścieniami ideałów głównych.
38. NWD w pierścieniach Euklidesa
39. Pierścienie ideałów głównych, ideały pierwsze vs. maksymalne
40. Pierścienie z jednoznacznością rozkładu
41. Pierścienie główne są z jednoznacznością rozkładu
42. Elementy pierwsze i nierozkładalne w pierścieniach z jednoznacznością rozkładu
43. Kiedy pierścień wielomianów jest euklidesowy?
44. Warunek dla pierścieni wielomianów na bycie pierścieniami z jednoznacznością rozkładu
2