X - Andrzej Pownuk

XL Sympozjon
"Modelowanie w mechanice"
Niezawodność konstrukcji
z rozmytymi parametrami
Andrzej Pownuk
Politechnika Śląska
Wydział Budownictwa
Zakład Mechaniki Teoretycznej
Niezawodność konstrukcji
z losowymi parametrami
R = P({ω : g(h(ω)) ≥ 0})
gdzie
g : R ∋ h→g(h)∈R
m
funkcja graniczna
h : Ω ∋ ω → h(ω) ∈ R
m
zmienna losowa
Prawdopodobieństwo zniszczenia
konstrukcji
Pf = 1− R = P({ω: g(h(ω)) < 0})
Funkcja graniczna problemu
rozciągania-ściskania
P
g ( σ, P ) = σ −
A
Niepewności parametrów
Niepewne wartości siły
− +
P ∈[P , P ]
Niepewne kierunki działania siły
Px = P cos α, dla α ∈ [α− , α+ ]
Niepewności punktu przyłożenia
x ∈ [ x ], y ∈ [ y ], z ∈ [ z ]
Niepewne wartości stałych
E ∈[E], ν ∈[ν]
itp.
Przykładowe problemy inżynierskie
Biomechanika
stałe materiałowe
Budownictwo
stałe materiałowe
w konstrukcjach murowych
stałe materiałowe
w konstrukcjach kompozytowych
itp.
Metody modelowania niepewności
metody półprobabilistyczne
(współczynniki bezpieczeństwa)
metody probabilistyczne
(stochastyczna metoda elementów skończonych,
FORM, SORM itp.)
prawdopodobieństwo subiektywne
(wykorzystanie wzoru Bayse’a)
zbiory rozmyte
zbiory przybliżone
prawdopodobieństwo przedziałowe
itp.
Definicja zbioru rozmytego
Zbiorem rozmytym F w przestrzeni X
nazywamy dowolne odwzorowanie
µ F : X ∋ x → µ F ( x ) ∈ [0, 1] ⊆ R
µF
µF (x)
Różne interpretacje funkcji
przynależności zbioru rozmytego
- interpretacja probabilistyczna
- interpretacja oparta
na teorii zbiorów losowych
Probabilistyczna interpretacja funkcji
przynależności zbioru rozmytego
Niech dana jest przestrzeń
probabilistyczna ( Γ, Σ Γ , PΓ ) .
Na przestrzeni ( Γ, Σ Γ , PΓ ) określona jest
zmienna losowa X Γ : Γ ∋ γ → X Γ ( γ ) ∈ R .
W zbiorze Γ określamy podzbiór F.
Zbiór F jest określony na drodze
doświadczalnej.
Funkcję przynależności
można określić następująco:
µ F ( x ) = PΓ ({γ : γ ∈ F | X Γ (γ ) = x})
czyli
PΓ ({γ : γ ∈ F , X Γ (γ ) = x})
µ F ( x) =
PΓ ({γ : X Γ (γ ) = x})
Przykład
L
P
A
P [kN]
Ekspert 5
Ekspert 4
Ekspert 3
Ekspert 2
Ekspert 1
µ F (P )
12
15
18
21
24
0.4
1
0.4
0.4
0.2
- pozytywna odpowiedź eksperta
Θ X (12[kN ]) = {δ1 , δ 2 }
Θ X (15[kN ]) = {δ1 , δ 2 , δ3 , δ 4 , δ5 }
Θ X ( 24[kN ]) = {δ1}
Przestrzeń ∆
Niech dana jest przestrzeń probabilistyczna
( ∆, Σ ∆ , P∆ )
Założymy, że zbiór ∆ jest liniowo
uporządkowany przy pomocy relacji <.
δ1 < δ 2 < ... dla δi ∈ ∆
Zdefiniujemy teraz zbiór
ΘX ( x) = {δ ∈∆ : δ < δN ( x)+1, P∆ (ΘX ( x)) = µF ( x)}
Z definicji zbioru Θ X (x ) wynika, że:
µ F ( x ) = P∆ {Θ X ( x )}
Θ X ( x ) = {δ1 , δ 2 ,..., δ N ( x ) }
Prawdopodobieństwo zniszczenia
konstrukcji o parametrach rozmytych
Pf = P∆ ({δ : δ ∈ Θ( γ ), γ ∈ F , g (h Γ ( γ ) ) < 0})


P f = P∆  Θh ( h)  == sup µ F ( h)


h: g ( h ) < 0
h
:
g
(
h
)
<
0


P [kN]
Ekspert 5
Ekspert 4
Ekspert 3
Ekspert 2
Ekspert 1
12
15
18
21
24
µ F (P )
0.4
1
0.4
0.4
0.2
g(P)
55
25
Pf =
-5
-35 -65
P
g = σ0 −
A
sup µ F ( P) = max{0.4,0.4,0.2} = 0.4
P: g ( P)<0
Prawdopodobieństwo zniszczenia
konstrukcji o parametrach
losowych i rozmytych
Pf = PΩ×∆ ({(ω, δ) : δ∈Θh (h), g(XΩ(ω), h) < 0, ω∈Ω, h∈RnF })
Pf =
∑
x: x = X ( ω), ω: ω∈Ω
PΩ ({x}) ⋅
sup
h: g (x , h )< 0
µ F (h)


Pf = EΩ  sup µ F ( h) 

 h: g (x , h )< 0
µ g ( F ) (x ) =
sup
h: g ( x, h ) < 0
µ F ( h)
Pf = EΩ (µ g ( F ) ( x )) = ∑ µ g ( F ) ( x ) P Ω ({x})
x
Pf =
∫ µ g ( F ) (x)dP Ω (x)
Rnr
Prawdopodobieństwo zniszczenia
konstrukcji o parametrach
losowych i zbiorowych (przedziałowych)
­1 gdy{h : g(x, h) < 0, h ∈ A} ≠ ∅
µg( F ) (x) = sup µF (h) = ®
h: g (x,h)<0
¯0 gdy{h : g(x, h) < 0, h ∈ A} = ∅
{x : µ g ( F ) ( x ) = 1} = {x : g ( x, h) > 0, h ∈ A}
Pf = ¦ µ g ( F ) ( x ) P Ω ({x}) =
x
Pf =
¦ P Ω ({x})
x : x∈{x : g ( x , h ) > 0, h∈ A}
³ dPΩ (x )
{x : g ( x , h ) > 0, h∈ A}
Funkcja graniczna zależy od wektora
parametrów losowych o wartościach
należących do zbioru rozmytego
Pf = PΩ×∆({(ω, δ) : δ∈ΘX (γ),γ ∈F, g(XΓ(γ))< 0, g( XΩ(ω))< 0})
Pf =
¦ PΩ ({x}) ⋅ µ F (x )
x: g ( x ) < 0
Pf =
g ( x )<0
P [kN]
12
Liczba pomiarów
15
Częstość względna
0.3
µF (P)
0.4
g(P) [MPa] 55
Pf =
³ µF (x)d PΩ (x)
15
15
0.3
1
25
18
10
0.2
0.4
-5
21
5
0.1
0.4
-35
¦ PΩ ({P}) ⋅ µ F ( P ) = 0.14
g ( P )<0
24
5
0.1
0.2
-65
Interpretacja funkcji przynależności
oparta na teorii zbiorów losowych
Niech dana jest zmienna losowa
o wartościach przedziałowych
n
hΓ : Γ ∈ γ → hΓ ( γ ) ∈ I ( R F )
Pf+ = PΓ ({γ : g ( hΓ ( γ )) ∩ ( −∞,0] ≠ ∅})
Pf=
sup
µ F (h)
14.5
17.5
20.5
23.5
26.5
µ F (P )
0.4
1
0.8
0.6
0.2
g(P)
+
+
-
-
-
P [kN]
Ekspert 5
Ekspert 4
Ekspert 3
Ekspert 2
Ekspert 1
Pf=
h: g ( h ) < 0
sup µ F ( h) = 0.8
h: g ( h ) < 0
Wnioski
1) Nowe
interpretacje
funkcji
przynależności zbioru rozmytego
umożliwiają
doświadczalną
weryfikację twierdzeń dotyczących
teorii zbiorów rozmytych
2) Wzory
określające
prawdopodobieństwo
zniszczenia
konstrukcji otrzymane na podstawie
obydwu
zaprezentowanych
interpretacji są identyczne.
3) Zaprezentowana teoria umożliwia
badanie
związków
zbiorów
rozmytych
z
rachunkiem
prawdopodobieństwa.