filtr RC
Transkrypt
filtr RC
WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część IV Czwórniki Linia długa Janusz Brzychczyk IF UJ Czwórniki Czwórnik (dwuwrotnik) posiada cztery zaciski elektryczne. Dwa z tych zacisków uważamy za wejście czwórnika, a pozostałe dwa za wyjście. sygnał wejściowy (wymuszenie) u (t) 1 u2(t) czwórnik wejście sygnał wyjściowy (odpowiedź) wyjście Sprzężenie wyjścia z wejściem opisywane jest przez funkcję (operator) przejścia, zwany też transmisją układu lub transmitancją: u2 odpowiedź T= = wymuszenie u1 Rodzaje czwórników liniowe – nieliniowe bierne (pasywne) – aktywne Przykłady czwórników: u1(t) wzmacniacz u2(t) = K u1(t) K – wzmocnienie układu u1(t) prostownik u1(t) u2(t) = |u1(t)| u2(t) filtr Czwórniki liniowe u2(t) u1(t) j t 1 Dla fali sinusoidalnej funkcja przejścia ma postać u 1 t = U 1 e Odpowiedź: T =∣T∣ e j j t1 j t1 j t 2 j u 2 t = T u 1 t =∣T∣ e U 1 e =∣T∣ U 1 e =U 2 e Amplituda sygnału wyjściowego: U 2 =∣T∣ U 1 Przesunięcie fazy: 2−1 = W ogólnym przypadku funkcja przejścia zależy od częstości sygnału . T = T Funkcję określającą zależność od częstości nazywamy charakterystyką ∣T∣ amplitudową. Funkcję określającą zależność od częstości nazywamy charakterystyką fazową. Czwórnik liniowy – filtr sygnałów elektronicznych Jeżeli sygnał wejściowy jest superpozycją fal sinusoidalnych o amplitudach ak a a1 i częstościach k u 1 t = ∑ a k e a2 a3 j k tk k to dla ∣T ∣ T = ∣T ∣ e j napięcie wyjściowe wynosi: u 2 t = ∑ T k a ke j k t k ∣T∣ a k = ∑ ∣T k ∣ a k e k j k t k k Rodzaje filtrów ∣T∣ Filtr dolnoprzepustowy Filtr środkowoprzepustowy Filtr górnoprzepustowy Filtr środkowozaporowy Czwórniki liniowe bierne Czwórniki te zbudowane są z elementów R, L, C. Rozważamy czwórniki zawierające impedancje Z1 oraz Z2 , połączone według nastepującego schematu: Dla sygnałów sinusoidalnych: i(t) u 1 t = U 1 e Z1 u1 (t) Z2 u2 (t) j t 1 u 2 t = Z 2 i t = Z 2 u 2 t = T u 1 t Czwórnik ten nazywany jest filtrem typu lub też uogólnionym dzielnikiem napięcia. T = Z2 Z1 Z 2 u 1 t Z 1 Z2 Czwórnik R R (dzielnik napięcia) Dla sygnałów o dowolnych przebiegach czasowych: i(t) R1 u1 (t) R2 u2 (t) u2 t = R2 i t = R2 Z 1 = R1 = const Z 2 = R2 = const T= R2 R1R2 u1 t R1R2 = R2 R1R2 u1 t Czwórnik C R – filtr górnoprzepustowy – układ różniczkujący i(t) u1 (t) C u2 (t) R 1 jC Z2 = R Z1 = Z2 0 R j RC T = = = = Z 1Z 2 1 1 j RC 1 j R 0 jC j gdzie: 0 = 1 1 = RC = RC (stała czasowa) Czwórnik C R – charakterystyka amplitudowa 0 T = 1 j 0 j C u1 (t) R u2 (t) ∣T ∣ = ∣T ∣ 1 0.71 1 0 0 2 1 2 0 Czwórnik C R – charakterystyka fazowa C u1 (t) R u2 (t) 2 j j 0 0 0 T = = 2 1 j 1 0 0 0 Im T = arctg = arctg Re T 2 4 1 0 Czwórnik CR : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie i(t) u1 (t) Q – ładunek na okładce kondensatora C u1 t = u2 (t) R Q t u2 t C różniczkując względem czasu oraz uwzględniając, że du1 t dt i t du2 t = C dt du1 t dt = u2 t RC u2 t , ponieważ otrzymujemy: i t = R du2 t dt dQ t = i t dt Rozwiązując to równanie różniczkowe znajdujemy odpowiedź u2(t) na zadany sygnał wejściowy u1(t). Dla małych stałych czasowych RC, przy powolnych zmianach napięcia w czasie: du1 t dt ≃ u2 t RC czyli u2 t ≃ du1 t dt Napięcie wyjściowe śledzi zróżniczkowany sygnał wejściowy. Dlatego nazwa: układ różniczkujący Układ różniczkujący : Przechodzenie impulsów prostokątnych u1 t = 0 dla u1 t = U du1 t dt U t t0 i tt p dla tp 0tt p u2 t du2 t = , dt sygnał wejściowy u1 (t) U = RC u2 (t) sygnał wyjściowy gdy = 0.1t p Poza punktami t = 0 oraz t = tp : du1 t dt u2 t du2 t 0= dt =0 u2 t = − = tp du2 t dt Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem warunków początkowych otrzymujemy: −t/ u2 t = U e dla t / −t/ u2 t = U 1− e e p 0 t tp dla ttp = 10t p Czwórnik R C – filtr dolnoprzepustowy – układ całkujący i(t) Z1 = R R C u1 (t) u2 (t) Z2 = 1 j C 1 Z2 j C 1 1 T = = = = Z1Z 2 1 1 j RC 1 j R 0 j C gdzie: 0 = 1 1 = RC = RC (stała czasowa) Czwórnik R C – charakterystyka amplitudowa u1 (t) skala liniowa ∣T∣ R C u2 (t) 1 0.71 T = 1 0 1 j 0 0 1 ∣T∣ ∣T ∣ = 1 0 2 0.1 0 ∣T∣ ≃ 0.01 0.01 0 skala log – log 1 1 2 0.1 1 10 100 0 Czwórnik R C – charakterystyka fazowa u1 (t) R C u2 (t) 0 T = 1 1 j 0 1− j = 0 1 0 4 − 2 2 = arctg − Im T = −arctg 0 Re T 1 2 0 Czwórnik R C : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie i(t) Q – ładunek na okładce kondensatora R C u1 (t) u2 (t) u1 t = Ri t u2 t du2 t dQ t uwzględniając, że otrzymujemy: i t = =C dt dt u1 t = RC ∣ du2 t dt u2 t = du2 t dt u2 t du2 t ∣ Gdy (duża częstotliwość, duża stała czasowa) wówczas: ≫∣u2 t ∣ u1 t ≃ dt du2 t dt t czyli 1 u2 t ≃ ∫ u1 t' dt' t 0 Napięcie wyjściowe śledzi scałkowany sygnał wejściowy. Dlatego nazwa: układ całkujący u1 (t) sygnał wejściowy U Układ całkujący : Przechodzenie impulsów prostokątnych u1 t = 0 t0 i tt p dla u1 t = U dla 0tt p u1 t = dt u2 t , −t/ u2 t = U e t p / −t/ −1 e = 0.1t p = RC Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem warunków początkowych otrzymujemy: u2 t = U 1−e t sygnał wyjściowy gdy: U du2 t u2 (t) tp dla 0t tp dla ttp t tp U U = tp = 10t p Czwórnik Wiena – filtr środkowoprzepustowy – układ różniczkującocałkujący R1 i(t) C1 u1 (t) Z1 = R1 Z2 = R2 C2 1 j C 1 1 1 jC 2 R2 T = u2 (t) Z2 Z 1Z 2 = Czwórnik Wiena – filtr środkowoprzepustowy – układ różniczkującocałkujący Symetryczny czwórnik Wiena R i(t) Z 1 = R C u1 (t) R T = Z2 Z 1 Z 2 = 1 Z1 ∣T ∣ = T T = = 1 1 0 9 − 0 2 1 1 = j C Z2 R C Z2 u2 (t) 1 0 3 j − 0 1 j C = 0 3− j − 0 0 9 − 0 2 [ Im T 1 0 = arctg = arctg − 0 Re T 3 ] Symetryczny czwórnik Wiena – charakterystyka częstotliwościowa Charakterystyka amplitudowa 1 ∣T∣ ⅓ ∣T ∣ = 0.1 1 0 9 − 0 2 0.01 0.001 Charakterystyka fazowa [ 1 0 = arctg − 0 3 2 ] 0 − 2 0.01 0.1 1 10 100 1000 0 0.01 0.1 1 10 100 1000 0 Czwórniki o elementach rozłożonych: Linia długa l wejście wyjście Zobc ~ x dx L dx R dx konduktancja Propagację sygnału w linii długiej opisują tzw. równania telegrafistów: 1 G dx C dx R, L, C, G odnoszą się do jednostki długości linii dx ∂u x ,t ∂i x ,t =L R i x ,t ∂x ∂t ∂i x ,t ∂u x ,t =C G u x ,t ∂x ∂t u x ,t , i x ,t – uogólnione napięcie i prąd (zespolone) Linia długa Jeżeli na wejściu linii sygnał sinusoidalny, całkowanie równań telegrafistów daje: i x ,t = 1 x − x jt A1e − A2 e e Z0 u x ,t = A e x 1 fala biegnąca (od wej. do wyj.) gdzie: A1 , A2 Z0 = − x A2 e e j t fala odbita (od wyj. do wej.) – stałe całkowania R j L G jC – impedancja charakterystyczna linii = R j L G j C – stała propagacji linii (bezwymiarowa) Zapisując stałą propagacji w postaci otrzymujemy: = a jb ax u x ,t = A1 e e j t amplituda fali biegnącej b x A e−ax e j t− b x 2 amplituda fali odbitej Prędkość fali biegnącej i odbitej: vf = b Linia długa Linie długie (np. kable) są tak projektowane, aby R << L oraz G << C dla używanego zakresu częstości Można wtedy taką linię traktować jako linię bez strat : R = 0, G = 0. Wówczas: a = 0 oraz b = LC amplitudy fal padającej i odbitej nie zależą od x 1 vf = = nie zależy od b LC L C wartość rzeczywista (rezystancja) Z0 = W liniach ze stratami: ax −ax fala padająca i odbita są tłumione (czynniki ) e ,e prędkości fal zależą od ich częstości Z0 jest zespolone Linia długa W linii jednorodnej fala wsteczna może powstać jedynie w wyniku odbicia fali od końca linii. Stosunek amplitudy fali odbitej do amplitudy fali padającej określony jest przez współczynnik odbicia: = A2 A1 = Z obc− Z 0 Z obc Z 0 Wyróżnić można następujące przypadki szczególne: Zobc = Z0 = 0 Mówimy, że linia jest zwarta prawidłowo (lub dopasowana). Brak jest odbić od końca linii, mamy tylko sygnał od źródła do odbiornika. Zobc = = 1 Linia rozwarta, sygnał odbija się z taką samą amplitudą. Zobc = 0 = 1 Linia jest „krótko zwarta”. Obserwujemy całkowite odbicie sygnału z jego inwersją. Gdy linia nie jest zwarta prawidłowo odbicia na końcach linii utrudniają lub uniemożliwiają obserwację właściwego sygnału. Zastosowania linii długiej Przesyłanie sygnałów: ZW Zobc ~ Do przesyłania sygnałów stosuje się najczęściej kable koncentryczne. Są one tak wykonywane Z 0 ≃ L/C aby (kilkadziesiąt – kilkaset omów). Dla uzyskania maksymalnego przekazu mocy musi być spełniony warunek ZW = Z0 . Aby nie było odbić musi być Zobc = Z0 . W linii bez strat sygnały są przenoszone bez tłumienia i zniekształceń. Opóźnianie impulsów – linie opóźniające: Dla linii bez strat vf = 1 LC l t l = l LC = c c – prędkość światła – przenikalność dielektryczna izolatora kabla Dla typowych kabli t(l) ~ 5 ns/m. Formowanie impulsów: Przy pomocy linii długiej można dokonać formowania impulsów, a więc zmiany ich kształtu. Wykorzystuje się efekt odbicia sygnału na końcu linii (np. linii krótkozwartej) i interferencji fali odbitej z falą padającą.