Zagadnienia dwu- i trójwymiarowe

.
y
z (x3)
(x2)
Xi
e
pi
x (x1)
ui ,
ij ,
ij
σ ij – pole napręŜeń,
Nieznane:
u i –pole przemieszczeń,
ε ij – pole odkształceń,
na części brzegu znane są przemieszczenia
X i –siły objętościowe [N/m3].
p i –obciąŜenia powierzchniowe [N/m2].,
Γ –brzeg,
Ω –analizowany obszar,
Dane:
Wszystkie zadania inŜynierskiej analizy napręŜeń dotyczą w rzeczywistości trójwymiarowego stanu napręŜenia.
Tylko dla niektórych z nich wystarczająco dokładne mogą być modele prętowe. Pewne elementy konstrukcyjne analizowane
mogą teŜ być przy zredukowaniu opisu do dwóch wymiarów. Mamy wtedy do czynienia z płaskim stanem napręŜenia,
płaskim stanem odkształcenia lub osiową symetrią.
ZAGADANIENIA 2 i 3 WYMIAROWE
W 2-wymiarowym
= [ R ] { u ( x, y , z ) } ,
σ x 
 
σ = σ y  ,
τ 
 xy 
σ x 
σ 
 y
σ 
σ =  z ,
τ xy 
τ yz 
 
τ zx 
εx 
{ε } =  ε y  ,
γ 
 xy 
 εx 
ε 
 y
ε 
{ε } =  z  ,
γ xy 
γ yz 
 
γ zx 
0
∂
∂x
∂
∂z
0
∂
∂y
0
∂

 ∂x

[ R] =  0

∂

 ∂y
∂
 ∂x

0


0

[ R] =  ∂

 ∂y

0

∂

 ∂z
macierz operatorów róŜniczkowych
W przypadku 3-wymiarowym :
[R]
{ ε ( x, y , z ) }

0

∂
,
∂y 
∂

∂x 

0

0


∂
∂z 
,
0

∂

∂y 
∂

∂x 
u 
.
υ 
{u} = 
ux   u 
   
{u} = u y  = υ 
u  w
 z  
ZaleŜność między odkształceniami i przemieszczeniami w zapisie macierzeowym:
Całkowita energia potencjalna :
Energia odkształcenia
1 v
0
E
[ D] = 2 v 1 0
1− v
1− v
0 0
2
)
{σ } = [D ]{ε },
PSN σ z = 0, τ yz = 0, τ zx = 0
(
Prawo Hooka:
.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
0
0
.
1 − 2v
2
v
1− v
0
1− v
v
0
1 − 2v
2
E
[D] =
(1 + v)(1 − 2v)
0
0
0
1 − 2v
2
0
0
0
1 − 2v
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
ε  {σ }d Ω − ∫  X  {u}d Ω − ∫  p  {u} d Γ
∫
2Ω
Ω
Γ
1
ε  {σ }
2
V = U − Wz =
U' =
(
E
(1 + v )(1 − 2v )
PSO ε z = 0, γ yz = 0, γ zx = 0
[ D] =
v
v
1− v
v 1− v
v
v
v 1− v
LWE=4
LWE=6
LWE=4
LWE=8
u
w
v
LWE - liczba węzłów elementu
LWE=10
elementy trójwymiarowe
LWE=3
elementy dwuwymiarowe
LWE=20
v
LWE=8
u
Wybrane elementy skończone dla zagadnień dwu– i trójwymiarowych
[N ] - macierz funkcji kształtu (zwykle wielomianów).
gdzie Ni są funkcjami liniowymi
 u1 
υ 
 1
0
N 2 ( x, y )
0
N 3 ( x, y )
0  u2 
u ( x, y )   N1 ( x, y )
=

 
 
N1 ( x, y )
N 2 ( x, y )
N 3 ( x, y )  υ2 
0
0
υ ( x, y )   0
u3 
 
υ3 
Na przykład dla najprostszego trójkątnego elementu dwuwymiarowego otrzymamy:
gdzie {q}e - wektor przemieszczeń węzłowych ,
{u} = [ N ( x, y, z )] {q}e ,
Poszukiwane pola przemieszczeń wewnątrz elementu :
:
gdzie
Ue =
Ue =
Ωe
Ωe
1
 q  e [ k ]e {q}e .
2
[ k ]e = ∫ [ B ] [ D ][ B ] d Ωe = ∫  B∗  d Ωe
T
Ue =
1
ε  {σ } d Ωe .
∫
2 Ωe
1
T
q
B


[
]
[ D ] [ B ] {q}e d Ωe ,


∫
e
2 Ωe
Energia odkształcenia elementu Ωe:
{u} = [ N ] {q}e ,
{ε } = [ R ] {u} = [ R ][ N ] {q}e = [ B ] {q}e ,
{σ } = [ D ] {ε } = [ D ][ B ] {q}e .
Szukane pola wewnątrz elementu skończonego:
[K ]{q} = {F }
Γep
e
p
e
∫  p  [ N ] d Γ
 F p  =
e
Ωe
∫  X  [ N ] d Ω
 F x  =
e
{ε } = [ B ] {q}e , {σ } = [ D ] {ε } = [ D ] [ B ] {q}e
Pola odkształceń i napręŜęń wewnątrz elementu wyznaczane jako:
KONIECZNIE Z UWZGLĘDNIENIEM WARUNKÓW BRZEGOWYCH!
Rozwiązywane równanie:
Zastępcze siły węzłowe:
b)
d)
f)
a)
c)
e)
PRZYKŁADOWE WARUNKI PODPARCIA DLA OBIEKTU SAMOZRÓWNOWAśONEGO
-5.29
Z
Y
X
-4.702
X
-4.114
-2356
Z
Y
X
-1833
-1310
NapręŜenia normalne σx (rozwiązanie elementowe)
Przemieszczenia pionowe
Z
Y
Belka wspornikowa obciąŜona ciśnieniem
Model MES
-786.708
-3.526
-263.47
-2.939
259.769
-2.351
783.007
-1.763
1306
-1.175
ROZWIĄZANIA ELEMENTOWE I WĘZŁOWE
1829
0
2353
-.587743
-2356
X
-1833
-1310
i
Z
Y
-1553
X
-1207
2
2
-514.214
-786.708
{σ}
-860.368
Rozwiązanie węzłowe (uśrednione)
Z
Y
{σ}i
{σ}1
1
-168.061
-263.47
783.007
1306
1829
178.093
524.247
870.401
1217
Uśredniony wektor
napręŜeń w węźle n
{σ}nav = Σ {σ}i / k
( k=7)
259.769
Węzeł n
1563
2353
2
3
{σ } ≠ {σ } ≠ {σ }
1
≠ ...
Wektory napręŜeń w elementach