Planimetria

Proste, wielokąty, koła i okręgi
Zad. 1. Przez wierzchołek kąta AOB przeprowadzono dwie proste prostopadłe do ramion tego kąta. Proste te
utworzyły kąt o mierze 25°. Oblicz miarę kąta AOB, gdy:
a. Kąt AOB jest ostry
b. Kąt AOB jest rozwarty.
Zad. 2. Miara kąta AOB jest równa
a.
b.
c.
d.
Oblicz miarę kąta przyległego do AOB.
Zad. 3. Różnica miar dwóch kątów przyległych wynosi 21°. Wyznacz miary tych kątów.
Zad. 4. Dwie przecinające się proste tworzą cztery kąty wypukłe. Jeden z nich ma miarę 35°. Jaką miarę mają
pozostałe kąty?
Zad. 5. Jaki warunek musi spełniać liczba c, aby z odcinków o długościach 2c-2, c+1, 2c+2 utworzyć trójkąt?
Zad. 6. Czy stosunek długości boków trójkąta może być równy?:
a. 1:2: 3
b. 2:3:4
c. 3:4:5
d. 4:7:12
e. 13:31:47
Zad. 7. Boki trójkąta ABC mają długość: |AB|=10, |BC|=11, |AC|=12. Środki boków tego trójkąta utworzyły
trójkąt A’B’C’. Jaki jest obwód tego nowego trójkąta?
Zad. 8. W trójkącie równoramiennym ABC, |AC|=|BC|, punkt D jest spodkiem wysokości trójkąta
poprowadzonej z wierzchołka C, a punkt E jest środkiem boku BC i |CD|=|DE|. Uzasadnij, że trójkąt
CDE jest równoboczny.
Zad. 9. Wyznacz miary kątów trójkąta, których miary są w stosunku:
a. 2:3:5
b. 3:4:5
c. 1:3:5
d. 2:3:15
Zad. 10. Stosunek dwóch kątów trójkąta jest równy 25°, a różnica dwóch pozostałych jest równa 15°. Wyznacz
miary tych kątów.
Zad. 11. W trójkącie ABC:
,
,
. Oblicz miary kątów:
a. Między dwusiecznymi kątów wewnętrznych
i
b. Między dwusiecznymi kątów zewnętrznych
i
c. Między dwusiecznymi kąta wewnętrznego
i zewnętrznego
d. Między wysokością z wierzchołka B i dwusieczną
e. Między wysokościami opuszczonych z wierzchołków A i B
f. Między wysokością z wierzchołka B i dwusieczną kąta zewnętrznego
.
Zad. 12. Oblicz kąty trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|, a dwusieczna AD tworzy
z bokiem BC kąt o mierze 120°.
Zad. 13. Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego ABC, jeżeli środkowa i wysokość poprowadzone
z wierzchołka C kąta prostego dzielą ten kąt na trzy równe części.
Zad. 14. W trójkącie ABC,
. Wysokość poprowadzona z wierzchołka C wyznacza na odcinku AB
punkt D taki, że |DB|-|AD|=|AC|. Wyznacz kąty tego trójkąta.
Zad. 15. Kąt utworzony przez dwa promienie okręgu ma miarę 130°. Oblicz miarę kąta, który tworzą styczne do
okręgu poprowadzone przez końce tych promieni.
Zad. 16. Trzy okręgi o promieniu r są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozostałych. Wyznacz długości
boków i miary kątów trójkąta wyznaczonego przez punkty styczności.
Zad. 17. W kąt o mierze 60° wpisano dwa okręgi styczne do ramion kąta i styczne zewnętrznie do siebie.
Oblicz promień okręgu większego, jeżeli promień mniejszego jest równy 9.
Zad. 18. Oblicz sumę miar kątów w:
a. siedmiokącie
b. ośmiokącie
c. dziesięciokącie
d. dwudziestokącie
Zad. 19. Wielokąt ma dwa razy więcej boków niż przekątnych. Jaki to wielokąt?
Zad. 20. Wielokąt ma dwa razy więcej przekątnych niż boków. Jaki to wielokąt?
Zad. 21. W wielokącie liczba przekątnych jest równa liczbie boków. Jaki to wielokąt?
Zad. 22. Kąt zewnętrzny wielokąta ma kąt o mierze 18°. Ile boków i ile przekątnych ma ten wielokąt?
Zad. 23. Różnica miar kątów przeciwległych w trapezie równoramiennym jest równa 30°. Oblicz miarę kątów
tego trapezu.
Zad. 24. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 100, a ramię trapezu ma długość równą długości odcinka
łączącego środki ramion. Oblicz długość ramienia tego trapezu.
Zad. 25. Podstawy trapezu mają się do siebie jak 5:2, a różnica ich długości jest równa 9. Oblicz długość
odcinka łączącego środki ramion trapezu.
Zad. 26. W trapezie równoramiennym ABCD (|AD|=|BC|), kąty przy ramieniu różnią się o 46°. Wyznacz miary
kątów tego trapezu.
Zad. 27. Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 30. Przekątna trapezu dzieli ten odcinek na dwa
odcinki, których różnica długości jest równa 10. Oblicz długość podstaw tego trapezu.
Zad. 28. Oblicz miary kątów w trójkącie ABC:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.