1. Cięciwy AB i CD okręgu o przecinają się w punkcie E i EA = a, EB

1. Cięciwy AB i CD okręgu o przecinają się w punkcie E i
EA = a, EB = b, EC = c. Obliczyć długość cięciwy CD
2. W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości
AE i BF . Wykazać, że CA · CF = CE · CB.
3. Punkty E i F należą odpowiednio do boków AC i AB
trójkąta ABC, odcinki BE i CF przecinają się wpunkcie M
i M E · M B = M C · M F . Wykazać, że AF · AB = AE · AC.
4. Różne punkty A, B, C należą do okręgu o1 , różne punkty P ,
Q, R należą do okręgu o2 . Proste AP , BQ i CR są styczne
do obu tych okręgów. Wykazać, że środki odcinków AP , BQ
i CR są współliniowe.
5. Punkty A i C należą do okręgu o1 , punkty B i D należą do
okręgu o2 , punkt przecięcia odcinków AC i BD należy do
wspólnej cięciwy tych okręgów. Wykazać, że na czworokącie
ABCD można opisać okrąg.
19. Punkt P należy do wnętrza koła k, punkt A leży na zewnątrz
tego koła. Opisać na kole k taki czworokąt ABCD. by jego
przekątne przecinały się w punkcie P .
20. Punkt S jest środkiem okręgu o, wpisanego w trapez
nierównoramienny ABCD, którego dłuższa podstawa AB
ma środek M . Krótsza podstawa CD jest styczna do okręgu o w punkcie E, prosta SM przecina podstawę CD w
punkcie F . Wykazać, że DE = F C wtedy i tylko wtedy,
gdy AB = 2 · CD.
21. Dany jest czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Weźmy
takie punkty S, należące do wnętrza czworokąta ABCD,
że ]BSC = ]BAS + ]SDC. Wykazać, że wszystkie takie
punkty S leżą na pewnym okręgu lub na pewnej prostej.
6. Dany jest odcinek P B i punkt A należący do tego odcinka.
Znaleźć zbiór wszystkich takich punktów S, że prosta P S
jest styczna do okręgu opisanego na trójkącie ABS.
22. Okręgi o1 i O2 są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach odpowiednio A i B i ich promienie są mniejsze od
promienia okręgu o. Oś potęgowa okręgów o1 i o2 : przecina
okrąg o w punktach P i Q. Prosta P A przecina okrąg o1 w
punktach A i E, prosta P B przecina okrąg o2 w punktach
B i F . Wykazać, że prosta EF jest styczna do okręgów o1 i
o2 .
7. Punkty A i B nie należą do okręgu o. Prosta k przechodzi
przez punkt A i przecina okrąg o w punktach E i F . Okrąg ok
jest opisany na trójkącie BEF . Wykazać, ze przy ustalonych
punktach A i B oraz okręgu o, wszystkie okręgi ok przechodzą przez dwa stałe punkty lub są styczne do jednej
prostej.
23. Okręgi o1 i o2 są rozłączne zewnętrznie. Punkt P należy do
osi potęgowej tych okręgów i proste P A, P B, P C, P D są
styczne do tych okręgów w punktach A, B, C, D. Czworokąt
ABCD jest wypukły. Wykazać, że proste AC, BD i proste
styczne do okręgów o1 i o2 , rozdzielające te okręgi, przecinają się w jednym punkcie.
8. Dany jest trójkąt ABC. Na boku AC skonstruować taki
punkt S, by AS · CS = BS 2 .
24. Okrąg o jest wpisany w taki trójkąt ABC, że AB = AC.
Okrąg ten jest styczny do boku AB w punkcie M . Punkty
P i Q należą odpowiednio do boków AB i AC tego trójkąta i prosta P O jest styczna do okręgu o. Wykazać, że
QA
MA
PA
P B + QC = M B .
9. Punkty A i B leżą po różnych stronach prostej k.
Poprowadzić taki okrąg, przechodzący przez punkty A i B,
by długość cięciwy wyznaczonej w nim przez prostą k, była
minimalna.
10. Dane są trzy odcinki o długości p, q, r. Skonstruować taki
trójkąt, aby jego wysokości były równe odpowiednio p, q, r.
11. Okrąg o jest styczny do prostej k w punkcie D. Cięciwa AB
tego okręgu jest równoległa do prostej k, punkt C należy
do k. Odcinki AC i BC przecinają okrąg o odpowiednio w
punktach E i F . Wykazać, że prosta EF przechodzi przez
środek odcinka CD.
12. W wielokącie wypukłym leży skończona liczba okręgów
parami rozłącznych zewnętrznie. Wykazać, że można ten
wielokąt rozciąć na takie wielokąty wypukłe, że w każdym z
nich będzie zawarty dokładnie jeden z tych okręgów.
13. Sześciokąt wypukły ABCDEF spełnia warunki: AB = BC,
CD = DE, EF = F A. Wykazać, że proste zawierające wysokości trójkątów BCD, DEF , F AB, poprowadzone
odpowiednio z wierzchołków C, E, A, przecinają się w jednym punkcie.
14. Punkty A, B, C, D leżą na jednej prostej, w tej właśnie
kolejności. Przez punkty A i B prowadzimy okrąg o1 przez
punkty C i D prowadzimy okrąg o2 . Okręgi te przecinają się
w punktach E i F . Wykazać, że przy ustalonych punktach
A B, C, D, dla wszystkich par okręgów o1 i o2 proste EF
przechodzą przez stały punkt.
15. Dany jest okrąg o oraz różne punkty A, B, S, nie należące
do tego okręgu. Skonstruować taki okrąg o1 , przechodzący
przez punkty A i B, przecinający okrąg o, by punkt S był
współliniowy z punktami przecięcia okręgów o i o1 .
25. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Proste AB i CD
przecinają się w punkcie P , proste AD i BC przecinają się
w punkcie R. Wykazać, że punkt przecięcia dwusiecznych
kątów ARB i BP C jest współliniowy ze środkami przekątnych czworokąta ABCD.
26. Odcinek CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC,
poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego. Wykazać, że
długość odcinka CD jest równa sumie promieni okręgów
wpisanych w trójkąty ABC, ACD, BCD.
27. Punkty D i E należą odpowiednio do boków AC i AB
trójkąta ABC i BD = CE. Kąt DBC jest większy od kąta
ECB. Wykazać, że kąt ACE jest większy od kąta ABD.
28. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Wykazać, że
AC
AB · AD + CB · CD
=
.
BD
BA · BC + DA · DC
Czy stąd wynika, że na czworokącie ABCD można opisać
okrąg? (odpowiedź nie jest znana)
29. Dane są długości boków czworokąta wpisanego w okrąg.
Obliczyć długości jego przekątnych.
30. Na trójkącie równobocznym ABC opisany jest okrąg. Punkt
P należy do krótszego łuku AC tego okręgu. Wykazać, że
P A + P C = P B.
31. Dany jest taki czworokąt wypukły ABCP , że trójkąt ABC
jest równoboczny. Wykazać, że P A + P C ≥ P B.
16. Dany jest okrąg o oraz dwa różne punkty A i B. Skonstruować okrąg przechodzący przez punkty A i B, styczny
do okręgu o.
32. Na kwadracie ABCD opisany jest okrąg. Punkt P należy
do krótszego łuku
√ CD tego okręgu. Wykazać, że
P A + P C = P B 2.
17. Trapez ABCD jest opisany na okręgu o środku S i promieniu 1. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie P i
P S = t. Obliczyć stosunek podstaw tego trapezu.
33. Na trójkącie ABC jest opisany okrąg. Dwusieczna kąta
BAC przecina ten okrąg w punkcie S. Wykazać, że
AS
AS
AB + AC < 2AS. (AB + AC = BS
BC < BS
2BS = 2AS).
18. Punkt P należy do wnętrza koła k. Opisać na kole k taki
trapez równoramienny, by jego przekątne przecinały się w
punkcie P .
34. We wnętrzu równoległoboku ABCD obrano taki punkt P ,
że ]P DA = ]P BA. Wykazać, że wartość wyrażenia
P A · P C + P B · P D nie zależy od wyboru punktu P .
35. W trójkącie ABC długości boków BC, CA, AB są równe
odpowiednio a, b, c, natomiast długości środkowych AD,
BE, CF są równe odpowiednio p, q, s. Wykazać, że
p(bc − a2 ) + q(ca − b2 ) + s(ab − c2 ) ≥ 0.
36. Niech a =
π
7.
Wykazać, że
1
1
1
=
+
.
sin α
sin 2α sin 3α
(Czworokąt 1,3,4,5 w siedmiokącie foremnym 1,2,3,4,5,6,7).
37. Wewnątrz deltoidu ABCD, o osi symetrii BD, leżą punkty
G i H. Na zewnątrz tego deltoidu leżą trójkąty równoboczne
BCE i ADF . Wykazać, że
GA + GB + HC + HD + GH ≥ EF .
38. Dany jest trójkąt ABC. Punkty P , Q, R należą odpowiednio
do boków BC, CA, AB tego trójkąta. Proste AP , BQ, CR
przecinają się w jednym punkcie. Dane są: AR = 9, BR = 4,
BP = 8, CP = 15, AC = 11. Obliczyć długość odcinka CQ.
39. Dany jest trójkąt równoboczny KLM o boku długości 9.
Punkty E, F należą odpowiednio do boków KL, KM tego
trójkąta. Proste LM i EF przecinają się w punkcie P Dane
są: KE = 2, KF = 5. Obliczyć długość odcinka P M .
40. Dany jest trójkąt ABC. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest
styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach
P , Q, R. Wykazać, że proste AP , BQ, CR przecinają się
w jednym punkcie (ten punkt nazywany jest punktem Gergonne’a).
41. Dany jest trójkąt ABC. Okręgi dopisane do tego trójkąta
są styczne do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach
P , Q, R. Wykazać, że proste AP , BQ, CR przecinają się w
jednym punkcie (ten punkt nazywany jest punktem Nagela).
42. Dany jest trójkąt ABC. Punkty Q i R należą odpowiednio do boków AC i AB tego trójkąta. Wykazać, że punkt
przecięcia prostych QB i RC należy do środkowej AP tego
trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy prosta QR jest równoległa
do prostej BC.
43. Dany jest trójkąt ABC. Punkty A1 i A2 należą do boku
BC, punkty B1 i B2 do boku CA, a punkty C1 i C2 do
boku AB. Punkty A1 , A2 , B1 B2 , C1 i C2 leżą na okręgu.
Wykazać, że jeśli proste AA1 , BB1 i CC1 przecinają się w
jednym punkcie, to i proste AA2 , BB2 , CC2 przecinają się
w jednym punkcie.
44. Dany jest trójkąt P OR. Punkty A i Bto spodki
dwusiecznych dwóch kątów wewnętrznych tego trójkąta.
Punkt C to spodek dwusiecznej kąta zewnętrznego przy
trzecim wierzchołku tego trójkąta. Wykazać, że punkty A,
B, C są współliniowe.
45. Dany jest trójkąt ABC. Różne punkty P , Q, R należą
odpowiednio do boków BC, CA, ABtego trójkąta. Proste
AP , BQ, CR przecinają się w jednym punkcie. Punkty
P1 , Q1 , R1 są obrazami odpowiednio punktów P , Q, R w
symetriach względem środków tych boków trójkąta ABC, do
których należą. Wykazać, że proste AP1 , BQ1 , CR1 przecinają się w jednym punkcie.
46. Dany jest trójkąt ABC. Różne i współliniowe punkty P , Q,
R należą odpowiednio do prostych BC, CA, AB. Punkty
P1 , Q1 , R1 są obrazami odpowiednio punktów P Q, R w
symetriach względem środków tych boków trójkąta ABC, do
których należą. Wykazać, że punkty P1 , Q1 , R1 są współliniowe.
47. W trójkącie ABC kąt ]BCA jest rozwarty oraz ]BAC =
2]ABC. Punkt M jest środkiem boku AB. Prosta przechodząca przez punkt B i prostopadła do boku BC przecina
prostą AC w punkcie D. Wykazać, że ]AM C = ]BM D.
48. Obraz prostej zawierającej środkową trójkąta w symetrii
względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka nazywany jest symedianą tego trójkąta. Wykazać,
że trzy symediany trójkąta przecinają się w jednym punkcie
(ten punkt nazywany jest punktem Lemoine’a).
49. Dany jest trójkąt ABC. Punkty P , Q, R należą odpowiednio do boków BC, CA, AB tego trójkąta. Proste AP , BQ,
CR przecinają się w jednym punkcie. Prosta k przechodzi
przez punkt A i jest równoległa do prostej BC. Proste P Q
i P R przecinają prostą k odpowiednio w punktach K i L.
Wykazać, że AK = AL.
50. Punkt S należy do wysokości AE trójkąta ostrokątnego
ABC. Prosta CS przecina bok AB w punkcie K, prosta
BS przecina bok AC w punkcie L. Wykazać, że ]KES =
]LES.
51. Dany jest czworościan ABCD. Okręgi wpisane w ściany
ABC i ABD są styczne do krawędzi AB w tym samym
punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów do
pozostałych krawędzi leżą na okręgu.
52. Dany jest sześciokąt o przeciwległych bokach równoległych.
Wykazać, że odcinki łączące środki boków równoległych
przecinają się w jednym punkcie.
53. Dany jest odcinek AB, punkt E należący do tego odcinka
oraz odcinek o długości t. Skonstruować taki trójkąt ABC,
aby dwusieczna CE kąta ACB miała długość t.
54. Dane są różne punkty A, B, P , Q. Skonstruować taki punkt
C, aby 4ABC ∼ 4P QC.
55. Punkty A, B, C, D leżą na jednej prostej w tej właśnie
kolejności. Skonstruować taki punkt E nie należący do tej
prostej, aby ]AEB = ]BEC = ]CED.
56. Dane są dwa okięgi. Wykazać, że zbiór punktów, z których
te okręgi widać pod równymi kątami jest zawarty w okręgu
lub w prostej.
57. Punkty E i F należą odpowiednio bo boków BC i DA
czworokąta wypukłego ABCD. W każdy z czworokątów
ABEF i CDF E można wpisać okrąg. Okręgi te są styczne w
punkcie S. Wykazać, że jeśli punkty przecięcia przekątnych
w czworokątach ABEF i CDF E są współliniowe z punktem
S, to czworokąt ABCD jest trapezem.
58. Dane są długości boków trójkąta: a = 2, b = 3, c = 4.
Obliczyć r oraz R.
59. Wykazać, że jeśli
b
a
=
,
cos α
cos β
to a = b.
60. Wykazać, że
2R =
abc
.
2 · |ABC|
61. Wykazać, że w dowolnym trójkącie sin α + sin β > sin γ.
62. Kąty α, β, γ trójkąta ABC spełniają warunek
a)
sin α
= cos γ;
sin β
wykazać, że trójkąt ABC jest prostokątny,
b)
sin α
= 2 cos γ;
sin β
wykazać, że trójkąt ABC jest równoramienny.
63. Wykazać, że
|ABC| =
√
rrA rB rC
.
64. Wykazać, że
1
1
1
1
=
+
+
.
r
rA
rB
rC
65. Wykazać, że
rA + rb + rC − r = 4R.
66. Punkty K, L, M są punktami styczności okręgu wpisanego
w trójkąt ABC do boków tego trójkąta. Wykazać, że:
2R
|ABC|
=
.
|KLM |
r
67. Dany jest kąt wypukły P AQ i dodatnia liczba t. Znaleźć
zbiór środków okręgów opisanych na trójkątach ABC, takich, że punkty B i C należą do różnych ramion kąta P AQ
i długość odcinka BC równa jest t.
68. Trójkąt ABC jest zawarty w kwadracie o boku 1. Wykazać,
że pole tego trójkąta jest mniejsze niż sinus dowolnego jego
kąta.
69. Punkt P należy do wnętrza danego kąta o wierzchołku B i
rozwartości α. Odległości punktu P od prostych zawierających ramiona tego kąta są równe odpowiednio a i b. Obliczyć
długość odcinka P B.
70. Długości boków pewnego trójkąta są kolejnymi wyrazami
ciągu arytmetycznego. Wykazać, że jedna z wysokości tego
trójkąta jest 3 razy większa od promienia okręgu wpisanego
w ten trójkąt.
71. Wykazać, że suma kwadratów przekątnych równoległoboku
jest równa sumie kwadratów jego boków.
72. Dany jest taki ostry kąt α, że sin α = 0, 3. Obliczyć wartości
pozostałych funkcii tego kąta.
73. Dany jest taki rozwarty kąt α, że sin α = 0, 04. Obliczyć
wartości pozostałych funkcii trygonometrycznych tego kąta.
74. Dany jest taki kąt α, że tg α = 0, 2. Obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta.
75. Dany jest taki ostry kąt α, że sin α = 0, 7. Obliczyć wartości
wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta 2α.
76. Dany jest taki kąt α, że tg α = 2, 5. Obliczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta 2α.
77. Dany jest taki kąt α, że sin α = 0, 8. Obliczyć wartości
wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta α2 .
78. Dany jest taki kąt α, że tg α = 1, 3. Obliczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta α2 .
79. Dany jest taki kąt α, że cos α =
12
13 .
Obliczyć sin4 α + cos4 α.
80. Dane są: a = 15, b = 18, sin β =
kąta α.
81. Dane są: a = 10, b = 24, sin α =
5
13 .
3
5.
Obliczyć rozwartość
Obliczyć tg β i tg γ.
82. Dane są: a, b + c i r. Obliczyć |ABC|. Czy są jednoznacznie
(z dokładnością do kolejności) wyznaczone b i c?
83. Dane są: a, b + c i R. Obliczyć |ABC|. Czy są jednoznacznie
(z dokładnością do kolejności) wyznaczone b i c?
84. Dany jest okrąg o = o(A, r) i taki punkt B, że AB > r.
Samym cyrklem sknostruować obraz punktu B przy inwersji
względem okręgu o.
85. Na czworokącie wypukłym ABCD nie można opisać okręgu.
Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach ABC i BCD
przecinają się pod takim samym kątem, jak okręgi opisane
na trójkątach CDA i DAB.
86. Dane są okręgi o, o1 i o2 , przecinające się w dwóch punktach. Wykazać, że okrąg o przecina wszystkie okręgi styczne
zewnętrznie do o1 i o2 pod takim samym kątem.
87. Okręgi o1 i o2 przecinają się w punktach A, B i są
prostopadłe. Punkty C i D, różne od punktów A i B, leżą
odpowiednio na okręgach o1 i o2 . Wykazać, że okręgi opisane
na trójkątach ACD i BCD są prostopadłe.
88. Dane są trzy okręgi, w tym dwa styczne. Skonstruować okrąg
sryczny do tych trzech okręgów.
89. Dany jest trójkąt ABC i okrąg o, opisany na tym trójkącie.
Skonstruować takie trzy okręgi parami styczne zewnętrznie,
które są styczne do okręgu o w punktach odpowiednio A, B,
C.
90. Dany jest trójkąt równoramienny P BC o podstawie BC
oraz punkt D, leżący na ramieniu P C. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BCD. Wykazać, że na
czworokącie P BSD można opisać okrąg.
91. Dany jest okrąg o1 o środku S oraz punkt P , leżący na
zewnątrz tego okręgu. Przez punkt P poprowadzono prostą
k, przecinająca okrąg o1 w punktach A i B. Punkt C jesi
symetryczny do punktu B względem prostej P S. Prosta mk
przechodzi przez punkty A i C. Wykazać, że wszystkie proste
mk mają wspólny punkt.
92. Dany jest trójkąt równoramienny ABC o podstawie BC i
okrąg o opisany na tym trójkącie. Okrąg o1 jest styczny do
odcinka BC oraz do tego łuku BC okręgu o, do którego nie
należy punkt A. Wykazać, że okrąg o1 jest okręgiem stałym
inwersji o środku A i promieniu AB.
93. Dany jest trójkąt równoramienny ABC o podstawie BC i
okrąg o opisany na tym trójkącie. Okrąg o2 jest styczny do
prostej BC, ale nie do odcinka BC, oraz do tego łuku BC
okręgu o, do którego należy punkt A. Wykazać, że okrąg o2
jest okręgiem stałym inwersji o środku A i promieniu AB.
94. Dany jest okrąg o i jego cięciwa AB. Rozważamy wszystkie
takie pary okręgów o1 i o2 stycznych zewnętrznie, które są
styczne do odcinka AB i do ustalonego łuku AB okręgu o.
Przez punkt styczności okręów o1 i o2 przechodzi prosta k,
styczna do tych okręgów. Wykazać, że wszystkie takie proste
k mają wspólny punkt.
95. Dany jest okrąg o i jego cięciwa AB. Rozważamy wszstkie
takie pary okręgów o1 i o2 przecinających się w dwóch punktach, które są styczne do odcinka AB i do ustalonego łuku
AB okręgu o. Przez punkty przecięcia okręów o1 i o2 przechodzi prosta k. Wykazać, że wszystkie takie proste k mają
wspólny punkt.
96. Okręgi o1 i o2 przecinają się w punktach A i B. Okrąg o3
jest styczny zewnętrznie do okręgów o1 i o2 odpowiednio
w punktach C i E, a okrąg o4 jest styczny zewnętrznie do
okręgów o1 i o2 odpowiednio w punktach D i F . Wykazać,
że okrąg opisany na trójkącie ACE jest styczny do okręgu
opisanego na trójkącie ADF .
97. Dany jest okrąg o oraz okręgi o1 , o2 , o3 , o4 , o5 , o6 styczne
wewnętrznie do okręgu o odpowiednio w punktach A, B, C,
D, E, F . Jednocześnie styczne zewnętrznie są okręgi: o1 i o2 ,
o2 i o3 , o3 i o4 , o4 i o5 , o5 i o6 , o6 i o1 . Wykazać, że proste
AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.