Fizyka transportu, 2. termin

FIZYKA TRANSPORTU, 3. TERMIN, 16/03/07
1
Fizyka transportu, 3. termin, 16/03/07
Egzamin zaliczyła pozytywnie jedna osoba: 124 948 (+dst).
Fizyka transportu, 2. termin, 7/03/07
Egzamin zaliczyła pozytywnie jedna osoba: 114 366 (dst).
Fizyka transportu, 1. termin, 8/02/07
Wyniki egzaminu
Podaję wyłącznie – jakże nieliczne! – wyniki pozytywne, chociaż i te są nieco naciągane
(noty uwzględniają pracę podczas semestru):
Numer
Nota
albumu
124906
3.5
114886
3.0
Robert G. 4.0
209568
3.0
Wyniki nie bardzo zasługują na komentarz. Jeżeli jedno z zadań (izoterma F) sprowadza się do podstawienia do prostego wzoru, drugie (wentylator) – to najprostszy
schemat zagadnienia bilansu masy, . . . Niestety, okazuje się też, że Państwa aparat
rachunkowy (równanie różniczkowe 1. i 2. stopnia, z warunkami brzegowymi) jest na
fatalnym poziomie.
O terminie poprawkowym porozmawiamy po 19. lutego.
pozdrawiam ze smutkiem
a.l
Poprawa egzaminu
1. W pięciu litrach wody znajduje się 0.05 mg rozpuszczonego trójchlorku węgla.
W celu jej częściowego oczyszczenia wsypano do wody aktywowany węgiel o koncentracji Cc = 50 mg/L. Oblicz równowagową koncentrację trójchlorku węgla w
oparciu o izotermę Freundlicha, jeżeli jej parametry to Kf = 10 (mg/g) (L/mg)1/n
oraz 1/n = 0.8. Aby to zrobić załóż, że koncentracja końcowa Ce (e – od equilibrium = równowaga) trójchlorku węgla będzie znacznie mniejsza od początkowej.
FIZYKA TRANSPORTU, 1. TERMIN, 8/02/07
2
C0 = 0, 05/5 = 0, 01 mg/l. Izoterma
q=
C0 − Ce
C0
≈
= Kf Ce 1/n .
Cc
Cc
Podstawiając
0, 01 = 50 · 10 · Ce1./0.8 mg/l.
Obliczenia:
0, 01 0.8
Ce =
mg/l ≈ 1, 3 · 10−6 mg/l.
500
Zauważ, że założenie o drastycznym spadku stężenia jest jak najbardziej spełnione.
!
2. Przestrzeń między długimi rurami o promieniach R1 = 10 cm i R2 = 5 cm wypełnia woda. Zewnętrzna rura o promieniu R1 pozostaje nieruchoma, natomiast
wewnętrzna jest przesuwana ze stałą prędkością V = 10 cm/s wzdłuż osi Oz.
Wiadomo, że pole prędkości wody spełnia równanie
∂uz
1 ∂
r
= 0,
µ
r ∂r
∂r
natomiast składowa zr tensora naprężeń ma postać
!
∂uz
∂ur
+
.
∂r
∂z
!
τzr = µ
Współczynnik lepkości wody wynosi µ = 10−3 kg/(m s).
Oblicz siłę, przypadającą na jeden metr bieżący rury, jakiej trzeba użyć aby:
a) Utrzymać wewnętrzną rurę w ruchu ze stałą prędkością V = 10 cm/s.
b) Utrzymać zewnętrzną rurę w spoczynku.
Oblicz następnie średnią prędkość wody między rurami. Pamiętaj, że przepływ
występuje wyłącznie wzdłuż osi 0z. W obliczeniach skorzystaj z wzoru
Z
x ln x dx =
x2
x2
ln x − .
2
4
Z pierwszego równania mamy uz = C ln r+D , gdzie stałe wyznaczamy z warunków
u(R1 ) = 0 i u(R2 ) = V . Ostatecznie
uz ≡ u = V
ln(r/R1 )
.
ln R2 /R1
FIZYKA TRANSPORTU, 1. TERMIN, 8/02/07
3
Tensor naprężeń
µV
1
∂uz
=
.
τzr = µ
∂r
ln R2 /R1 r
Siła na jednostkę długości każdej z rur (od strony cieczy na rurę) to (i = 1, 2)
!
τzr (Ri ) × 2πRi =
2πµV
.
ln R2 /R1
(siły są skierowane oczywiście przeciwnie).
Z R
1
2V R12  1 1 R2
ln r/R1
1
ū =
2πr
dr
=
.
.
.
=
− −
V
π(R12 − R22 ) R2 ln R2 /R1
R12 − R22
4 2 R1

!2
R2 1 R2
+
ln
R1 4 R1
3. W pokoju o objętości V = 40 m3 i powierzchni podłogi S = 16 m2 znajduje się
jednorodna zawiesina pyłu, którego całkowita masa wynosi 4g. Cząstki pyłu zaczynają opadać z Vgr = 0, 1 m/s; jednocześnie włączamy wentylator, który pracuje
z wydatkiem Q = 40 l/s. Zakładamy, że opadanie i wentylacja odbywają się w
warunkach idealnego (całkowitego) mieszania.
Po upływie t1 = 200 s wentylator został wyłączony, a pozostały pył opadał dalej,
tak że w końcu jego koncentracja w pomieszczeniu stała się praktycznie równa
zeru. Ile pyłu (jaka masa) opadło na podłogę? Jak długo opadał pył po wyłączeniu
wentylatora?
Mamy (por. poprzedni zestaw)
Q Vgr
+
C(t) = C0 exp −t
V
V
"
!#
= C0 exp [−t/τ ] .
Stała czasowa τ = 200 s; C0 = 10−4 kg/m3 .
Masa płynu, który został usunięty przez wentylator to
Z 200
0
QC(t) dt = . . . = QC0 τ (1 − e−1 ) = . . . ≈ 0, 5 g,
a więc na podłogę spadnie około 4,5 grama. Czas opadania jest równy ilorazowi
wysokości pokoju i prędkości granicznej.
4. W pomieszczeniu laboratorium chemicznego pracuje wentylacja z filtrem, która (praktycznie) całkowicie oczyszcza nawiewane powietrze z tlenku węgla. Jego
objętościowe stężenie w atmosferze przy trakcie komunikacyjnym, przy którym
znajduje się laboratorium wynosi średnio C0 = 0.1 promila. W pewnym momencie nastąpiła awaria filtru. Alarm w laboratorium zostaje automatycznie włączony
gdy stężenie CO osiągnie wartość C = 10−3 promila. Wykaż, że czas, po którym
włączy się alarm można wyrazić z dobrym przybliżeniem wzorem t = τ C/C0 ,
gdzie τ to czas, po którym wentylacja całkowicie wymienia powietrze w laboratorium; wynosi on 3h.
!2 
.
FIZYKA TRANSPORTU, 1. TERMIN, 8/02/07
4
Równanie bilansu
dC
= QC0 − QC,
C0 − C = A e−t/τ ,
V
dt
W momencie awarii filtru C = 0, a więc
C = C(t) = C0 1 − e
−t/τ
τ = V /Q.
.
Dla stosunku C(t)/C0 = 10−2 wystarczy w rozwinięciu eksponenty pozostawić
pierwsze dwa wyrazy
C(t)/C0 ≈ 1 − (1 − t/τ ) = t/τ.
Podstawiając dane liczbowe t = 3 · 60 · 10−2 = 1, 8 min.
5. W rurze o średnicy 2a = 20 cm przepływa chlorowana woda, z prędkością U =
0, 5 m/s. Stężenie chloru jest funkcją współrzędnej x (wzdłuż osi rury) i czasu –
c = cA (z, t), przy czym zakładamy, że na całym przekroju to stężenie jest takie
samo (uśrednione względem promienia), ale na ściankach rury jest równe zeru,
ze względu na zachodzącą tam reakcję powierzchniową. „Na wejściu” stężenie to
wynosi c0,A = 0, 5 mg/litr. Przepływ jest turbulentny (czy potrafisz to uzasadnić?).
Ze względu na całkowite „niszczenie” chloru przez osad na ściance wewnętrznej
rury mamy do czynienia z (dyfuzyjnym) transportem radialnym:
JA,r = kc cA (z, t);
kc = 2, 2 × 10−3 cm/s,
na który nakłada się konwekcja i – dodatkowo – reakcja zachodząca w całej objętości z szybkością
rA ≡
∂cA (z, t)
= −kr,A cA (z, t);
∂t
kr,A = 1, 6 × 10−2 1/s.
Wykaż, rozpatrując bilans masy w objętości 4V = 4zπa2 , że stężenie cA (z, t),
strumień radialny JA,r i szybkość reakcji rA są połączone równaniem
∂cA (z, t)
∂cA (z, t)
2JA,r
+U
=−
+ rA . (1)
∂t
∂z
a
Rozwiąż to równanie dla stanu stacjonarnego i oszacuj spadek stężenie na odcinku
rury o długości 100m.
FIZYKA TRANSPORTU, 1. TERMIN, 8/02/07
5
Rozw.
∂cA (z, t)
= +JA,z (z, t)πa2 − JA,z (z + 4z, t)πa2 − 2πa4zJA,r + 4V rA .
∂t
Kładziemy
∂cA (z, t)
JA,z (z + 4z, t) ≈ JA,z (z, t) +
4z,
∂z
dzielimy przez 4V i dostajemy (1). Podstawiamy z pierwszych dwóch równań za
∂cA (z, t)
= 0. Rozwiązanie
JA,r i rA , kładziemy
∂t
"
!
!#
z
2kc
c(z) = c0,A exp −
+ kr,A .
U
a
4V
6. Stężenie wskaźnika, przy injekcji, w chwili t = 0, punktowej w przestrzeni i z
nieskończonego źródła płaskiego dane jest wzorem
c(x, t) = √
S
4πDt
x2
−
e 4Dt .
Opisz charakter tych krzywych w zależności od czasu t i odległości x. Czym jest
wielkość S występująca w tym wzorze? W oparciu o to rozwiązanie zbuduj rozwiązanie dla injekcji typu „funkcji schodkowej”


c(x, t = 0) = 
Rozwiązanie znajdziesz
C0 dla x < 0,
0 dla x ­ 0.
tutaj, str. 27