WTM - skrót Aksjomaty Aksjomat ekstencjonalności

WTM - skrót
Aksjomaty
Aksjomat ekstencjonalności - zbiory sa, równe, gdy maja, te same elementy tudzież zachodzi obustronna inkluzja (to nie jest treścia, aksjomatu).
Aksjomat zbioru pustego - istnieje zbiór pusty, do którego nie należy żaden element.
Aksjomat pary - każde dwa zbiory można przesumować.
Aksjomat sumy - każda, rodzine, zbiorów można przesumować. Element pojawia sie, w
sumie wtedy i tylko wtedy, gdy pojawia sie, w którymś zbiorze z rodziny.
Aksjomat potegi
- dla każdego zbioru X istnieje zbiór złożony ze wszystkich podzbiorów
,
X, oznaczany P (X).
Aksjomat wycinania - dla każdego zbioru X i warunku Z istnieje zbiór tych elementów
z X, które spełniaja, Z.
Aksjomat regularności - dla każdego zbioru X istnieje taki jego element, z którym ma
on puste przeciecie.
,
Aksjomat wyboru - (pewnik wyboru) dla każdej niepustej rodziny X zbiorów parami
rozłacznych
można skonstruować zbiór majacy
jednoelementowe przeciecie
z każdym z elemen,
,
,
tów rodziny (wybrać po elemencie z każdego zbioru).
Aksjomat nieskończoności - istnieje najmniejszy zbiór induktywny, czyli taki, że zero do
niego należy oraz jak należy liczba naturalna, to jej nastepnik
też.
,
Relacje
Uporzadkowana
para - uporzadkowana
para hx, yi to zbiór {{x}, {x, y}}.
,
,
Iloczyn kartezjański - iloczyn kartezjański X × Y to zbiór takich par hx, yi, że x ∈ X
oraz y ∈ Y .
Relacja - relacja miedzy
X a Y to dowolny podzbiór X × Y .
,
Relacja zwrotna - należa, do niej wszystkie pary postaci hx, xi.
Relacja przeciwzwrotna - nie należa, do niej wszystkie pary postaci hx, xi.
Relacja symetryczna - jeśli należy do niej wszystkie para hx, yi, to należy też hy, xi.
Relacja przechodnia - jeśli należy do niej para hx, yi oraz hy, zi, to należy też hx, zi.
Relacja antysymetryczna - jeśli należy do niej para hx, yi oraz hy, xi to x = y.
Relacja spójna - co najmniej jedna z par hx, yi oraz hy, xi należy do relacji dla każdego
x, y.
1
UWAGA - te poszczególne relacje musza, być postaci r ⊆ X × X.
Relacja odwrotna - oznaczana r−1 , jeśli do r należy para hx, yi to do r−1 należy hy, xi.
W szczególności mamy, że jeśli r ⊆ X × Y to r−1 ⊆ Y × X
Złożenie relacji - oznaczane r; s, jeśli do r należy para hx, yi a do s należy hy, zi to do r; s
należy hx, zi. W szczególności mamy, że jeśli r ⊆ X × Y oraz s ⊆ Y × Z to r; s ⊆ X × Z
Funkcja - funkcja z A w B oznaczana f : A → B, to taka relacja, że każdy element z A
jest w dokładnie jednej parze.
Funkcja cześciowa
- funkcja cześciowa
z A w B oznaczana f : A → B z kółkiem (ale nie
,
,
wiem jak to w TEX-u), to taka relacja, że każdy element z A jest w co najwyżej jednej parze.
Obciecie
funkcji f do zbioru C - to taka funkcja o dziedzinie C, że z f zostawiliśmy
,
tylko te pary, które maja, argumenty z C.
Dziedzina - oznaczana Dom(f ), zbiór argumentów, czyli lewych kawałków par dla funkcji
(możliwe, że cześciowej).
,
Zbiór wartości - oznaczana Rg(f ), zbiór wartości, czyli prawych kawałków par dla funkcji
(możliwe, że cześciowej).
,
Zbiór funkcji z A do B - oznaczamy B A .
Funkcja różnowartościowa - zwana injekcja,, daje te same wartości tylko dla tych samych
argumentów.
Funkcja na A - zwana surjekcja,, funkcja w A, dla której Rg(f ) = A.
Bijekcja - injekcja i surjekcja.
Funkcja odwrotna - relacja odwrotna, jest funkcja, cześciow
a,, jeśli f jest różnowartościowa,
,
a funkcja,, jeśli f jest bijekcja, (mówi sie,
, że wtedy funkcja odwrotna istnieje)
Złożenie funkcji - złożenie relacji, jest zawsze funkcja,, jeśli składamy funkcje (g ◦f = f ; g)
Obraz zbioru A przy f - zbiór z prawych kawałków tych par których lewe kawalki należa,
do A.
Przeciwobraz zbioru A przy f - zbiór z lewych kawałków tych par których prawe kawalki
należa, do A.
Rodzina indeksowana - oznaczana {At }t∈T , to taka funkcja f , że jej dziedzina, jest T oraz
f (t) = At dla każdego t ∈ T .
n-tka uporzadkowana
- konstruujemy np. trójke, uporzadkowan
a, przez pare, pary i ele,
,
mentu, czwżke, pare, trójki i elementu itd.
Produkt uogólniony - rodzine, {At }t∈T możemy zmnożyć ze soba, uzyskujac
, zbiór takich
funkcji, które elementowi t ∈ T przyporzadkowuj
a, element z At (uzyskujac
,
, wszystkie możliwości
Q
doborów elementów z wszystkich At ). Zapisujemy to t∈T At .
Relacja równoważności - relacja r ⊆ X × X, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Relacja równoważności na X generuje podział X na rozłaczne
podzbiory sumujace
sie, do
,
,
X, w których pomiedzy
każdymi
dwoma
elementami
zachodzi
rzeczona
relacja.
,
2
Klasa abstrakcji elementu x w relacji r - oznaczana [x]r , zbiór tych y, że x jest w relacji
z y. Jest to podzbiór w podziale, w którym siedzi x.
Zbiór ilorazowy - oznaczany Xr, zbiór klas abstrakcji r w X (to właśnie rzeczony
podział).
Jadro
funkcji - oznaczane ker(f ) (pozdrowienia dla A.Salwy), relecja równoważnosći w
,
Dom(f ), e której elementy sa, w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy ich wartości w f sa, równe.
Liczby naturalne
Zero - zero to zbiór pusty.
Nastepnik
- funkcja nastepnika
to S(n) = n ∪ {n}. W ten sposób konstruowana liczba
,
,
naturalna jest zbiorem złożonym ze wszystkich liczb naturalnych mniejszych. Zero nie ma
nastepnika,
liczby o równych nastepnikach
sa, równe.
,
,
Indukcja - jeśli ∅ ∈ A oraz jeśli n ∈ A to i S(n) ∈ A to i wszystkie naturalne należa, do A.
Zbiór A nazywamy induktywnym.
Dodawanie - to taka funkcja D : N × N → N, że D(0, m) = m oraz D(S(n), m) =
S(D(n, m)). Z tego sie, dowodzi indukcyjnie wszystkich własności dodawania.
Mnożenie - to taka funkcja M : N × N → N, że M (0, m) = 0 oraz M (S(n), m) =
D(M (n, m), m). Z tego sie, dowodzi indukcyjnie wszystkich własności mnożenia.
Nierówność - zachodzi a ¬ b wtedy i tylko wtedy gdy istnieje takie k naturalne, że a+k = b.
Nierówność ostra - zachodzi a < b wtedy i tylko wtedy gdy a 6= b oraz a ¬ b.
Zasada minimum - każdy podzbiór N ma element najmniejszy.
Liczby całkowite - pary liczb naturalnych (które odejmujemy) podzielone przez relacje,
bycia ta, sama, liczba, ca”kowita, - ha, birhc, di tylko jeśli a + d = b + c.
Liczby wymierne - pary w których jest liczba całkowita i naturalna niezerowa, podzielone
przez relacje, bycia ta, sama, liczba, wymierna, - ha, bishc, di tylko jeśli ad = bc.
Równoliczność
Równoliczność A i B - zbiory A i B sa, równoliczne jeśli istnieje bijekcja pomiedzy
A i B.
,
Oznaczamy to A B.
Zbiór skończony - to zbiór równoliczny z pewna, liczba, naturalna.,
Zbiór nieskończony - to zbiór który nie jest skończony. Inaczej mówiac
, ma podzbiór mocy
ℵ0 lub jest równoliczny z własnym podzbiorem właściwym.
Zbiór przeliczalny - to zbiór skończony badź
równoliczny N, czyli mocy ℵ0 .
,
Zbiór nieprzeliczalny - to zbiór o mocy wiekszej
niż ℵ0 .
,
3
Zbiór słów nad A - to zbiór o skończonych ciagów
o wyrazach z A (reprezentowanych jako
,
funkcje z liczby naturalnej w A). Oznaczany A∗ .
Nierówność na mocach - nierówność X ¬ Y zachodzi, jeśli istnieje funkcja różnowartościowa z X w Y . Rownoważnie istnieje funkcja na z Y w X.
Hipoteza continuum - Nie istnieje takie ℵ1 , że ℵ0 < ℵ1 < C.
Twierdzenia:
TW.1. Sumy, przeciecia,
iloczyny kartezjańskie, zbiory potegowe
skończonej liczby zbiorów
,
,
skończonych sa, skończone.
TW.2. Moc zbiorów: N, Z, Q, Q − Z, słow zerojedynkowych oraz słow nad N to ℵ0 .
TW.3. Moc zbiorów: R, R − Q, P (N) nieskończonych ciagów
zerojedynkowych, nieskońc,
zonych ciagów
o
wyrazach
z
N
to
C
(continuum).
,
TW.4. Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna.
TW.5. Iloczyn uogólniony skończonej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny.
TW.6. (Cantor) Żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potegowym.
,
TW.7. (Cantor - Bernstein) Jeśli A ¬ B oraz B ¬ C oraz A = C to i A = B = C.
TW.8. Liczby kardynalne możemy dodawać (suma), mnożyć (iloczyn kartezjański), potegować
,
(zbiór funkcji z jednej w druga),
ale
nie
możemy
odejmować,
ani
dzielić.
,
Porządki
Porzadek
cześciowy
na A - oznaczany (A, ¬) to para: zbiór A i relacja w A, która jest
,
,
zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
Porzadek
liniowy na A - to porzadek
cześciowy
na A, w którym dodatkowo relacja
,
,
,
porównujaca
jest
spójna,
czyli
każde
dwa
elementy
s
a
porównywalne.
,
,
Łańcuch - to taki podzbiór cześciowego
porzadku
w którym każde dwa elementy sa, porówny,
,
walne.
Antyłańcuch - to taki podzbiór cześciowego
porzadku
w którym każde dwa elementy nie
,
,
sa, porównywalne.
Porzadek
prefiksowy - zbiór słow nad pewnym alfabetem uporzadkowany
przez inkluzje.
,
,
,
Porzadek
leksykograficzny - porzadek
prefiksowy plus, gdy dwa elementy sa, nieporówny,
,
walne prefiksowo, to porównujemy ich pierwsza, różniac
jest liniowy
, a, sie, litere.
,
, Ten porzadek
wtw. gdy porzadek
na alfabecie jest liniowy (nie jest jednak dobrze ufundowany).
,
Element najwiekszy
/ najmniejszy - element wiekszy
równy / mniejszy równy od
,
,
każdego elementu. Oznaczamy je odpowiednio >, ⊥.
4
Element maksymalny / minimalny - element dla którego nie ma elementu wiekszego
/
,
mniejszego.
Ograniczenie górne / dolne podzbioru - to taki element, który jest wiekszy
równy /
,
mniejszy równy wszystkim elementom tego podzbioru.
Kres górny / dolny podzbioru A - element najmniejszy / najwiekszy
zbioru ograniczeń
,
górnych / dolnych podzbioru A. Kresy oznaczamy odpowiednio sup(A) i inf(A), oczywiście nie
musza, istnieć.
Lemat Kuratowskiego - Zorna - jeśli w zbiorze cześciowo
uporzadkowanym
A każdy
,
,
łańcuch ma ograniczenie górne w tym zbiorze, to w A istnieje element maksymalny.
Podzbiór skierowany - to taki podzbiór pewnego porzadku
cześciowego,
że dla każdych
,
,
jego dwóch elementów da sie, znaleźć element tego podzbioru wiekszy
od
nich
obydwu.
,
Zupełny porzadek
cześciowy
(cpo) - to taki porzadek,
że każdy podzbiór skierowany
,
,
,
posiada kres górny. W szczególności kres górny zbioru pustego to ⊥, czyli w cpo istnieje element
najmniejszy.
Krata - to taki porzadek
cześciowy,
że każdy podzbiór dwuelementowy posiada kresy. Przez
,
,
indukcje dowodzi sie, łatwo, że w kracie każdy skończony podzbiór ma kresy.
Krata zupełna - to taki porzadek
cześciowy,
że każdy jego podzbiór ma kres górny (i
,
,
wtedy także i dolny). W szczególności kresy zbioru pustego i całego zbioru to ⊥ i >. Krata
zupełna to to samo co krata i cpo.
Funkcja monotoniczna - to taka funkcja z jednego porzadku
w drugi, która zachowuje
,
uporzadkowanie,
tzn. jeśli x ¬ y to f (x) ¬ f (y).
,
Funkcja ciagła
- to taka funkcja, która zachowuje kresy górne niepustych podzbiorów
,
skierowanych, tzn. jeśli X jest niepustym podzbiorem skierowanym to sup(f (X)) istnieje oraz
sup(f (X)) = f (sup X). Biorac
, do warunku pary elementów porównywalnych dostajemy monotoniczność kaźdej funkcji ciagłej.
,
Punkt stały funkcji - to taki element porzadku,
że f (a) = a (funkcja musi przekształ,
cać porzadek
sam w siebie). Najmniejszy punkt stały to element najmniejszy zbioru punktów
,
stałych.
Twierdzenie o punkcie stałym 1 - Jeśli (A, ¬) jest cpo oraz f : A → A jest ciagla,
to ist,
2
3
nieje najmniejszy punkt stały f i jest równy kresowi górnemu zbioru {⊥, f (⊥), f (⊥), f (⊥), . . .}.
Twierdzenie o punkcie stałym 2 - Jeśli (A, ¬) jest krata, zupełna, oraz f : A → A jest
monotoniczna, to istnieje najmniejszy punkt stały f .
Bisymulacja cześciowa
rodziny rα - to taka relacja w zbiorze A, że dla każdej relacji z
,
rα mamy , że elementy pozostajace
w relacji bisymulacji sa, osiagalne
nawzajem we wszystkich
,
,
procesach z rα . Po ludzku a i b moga, być w relacji jak sa, w tej samej spójne składowej we
wszystkich procesach.
Bisymulacja pełna rodziny rα - to suma bisymulacji cześciowych
jak również najwiekszy
,
,
punkt stały przekształcenia kolejno przybliżajacego
symulacje
(tzn.
złożenie
argumentu
z
relacj
a,
,
dorzucajac
, a, jeden krok wspólny wszystkich symulacji). Jest relacja, równoważności.
5
Izomorfizm porzadków
- dwa porzadki
sa, izomorficzne jeśli istnieje bijekcja jednego w
,
,
drugi zachowujaca
porz
adek.
,
,
Twierdzenia:
TW.1. Izomorfizm zachowuje wszystkie porzadkowe
własności porzadków.
,
,
TW.2. Każdy przeliczalny podzbiór z porzadkiem
liniowym jest izomorficzny z pewnym
,
podzbiorem Q.
TW.3. Każdy gesty
podzbiór Q z normalnym porzadkiem
jest izomorficzny z Q ewentualnie
,
,
z dołaczonymi
elemeantami na końcach.
,
TW.4. Oznaczenia typów porzadkowych:
N : ω, Q : η.R : λ. Odwrócenie porzadku
to ∗ , np.
,
,
∗
Z = ω + ω.
Zbiór dobrze ufundowany - lub też dobry porzadek
cześciowy
to taki porzadek,
że dla
,
,
,
każdego podzbioru istnieje element minimalny. Jest to równoważne temu, że w porzadku
nie
,
ma nieskończonego ciagu
zstepuj
acego.
,
,
,
Drzewa
Odcinek poczatkowy
- to taki podzbiór pewnego porzadku,
że jak jest w nim element, to
,
,
sa, też wszystkie mniejsze od niego.
Odcinek poczatkowy
wyznaczony przez x - to odcinek poczatkowy
złożony ze wszys,
,
tkich elementów mniejszych od x, oznaczany O(x).
Bezpośredni nastepnik/poprzednik
a - to taki element odpowiednio wiekszy
/ mniejszy
,
,
od a, że pomiedzy
nim a a nie ma żadnego elementu.
,
Drzewo - to taki porzadek
cześciowy,
w którym istnieje element najmniejszy i każdy odcinek
,
,
poczatkowy
jest
łańcuchem
(to
takie
drzewo
jak w informatyce, tylko, że może być nieskońc,
zone).
Gałaź
jest bezpoŚrednim nastepnikiem
, - to taki ciag
, elementów drzewa, że każdy nastepny
,
,
poprzedniego.
Lemat Königa - Jeśli w nieskończonym drzewie każdy element ma skończona, liczbe, bezpośrednich nastepników,
to w drzewie istnieje nieskończona gałaź.
,
,
Indukcja Noetherowska - Jeśli w zbiorze dobrze ufundowanym z tego, że każdy element
odcinka O(x) spełnia własność P wynika, że x również spełnia P , to każdy element zbioru
spełnia P .
Dobre porządki
Dobry porzadek
- porzadek
liniowy i dobrze ufundowany.
,
,
6
Element graniczny - taki element, który nie ma bezpośredniego poprzednika. Element
niegraniczny nie jest graniczny.
Twierdzenia:
TW.1. Żaden dobry porzadek
nie jest izomorficzny z żadnym swoim odcinkiem poczatkowym.
,
,
TW.2. Jeśli dwa zbiory sa, dobrze uporzadkowane,
to jeden jest izomorficzny z odcinkiem
,
poczatkowym
drugiego.
,
TW.3. Każde dwie moce sa, porównywalne.
TW.4. (Zermelo) Każdy zbiór da sie, dobrze uporzadkować.
,
7