wydrążona 23

1
Opis kwantowy pola
elektrostatycznego, wymaga jego
rozpatrzenia jako cząstek
kwantowych (fotonów)
Cząstki elementarne mają charakter
falowy
(fale de Broglie’a)
Klasyfikacja pól fizycznych
Pole fizyczne
Pole stacjonarne
(nie jest funkcją czasu)
np.
Pole zmienne w czasie
(jest funkcją czasu)
pole elektrostatyczne
3
Pole elektromagnetyczne opisują
dwa wektory
- Równania Maxwella
 
E (r , t )
 
B(r , t )

 
div E 
0


B
rot E  

t

div B  0



E
rot B  0 j   0 0
t
4
+ Równania materiałowe
(właściwości danego ośrodka)
+ Siła Lorentza


 
F  q  E  q(v  B)

Elektrodynamika klasyczna
5
Podstawowe własności pola

  
( , , )
x y z
- operacja gradientu

1.) f (r )  grad f (r )   f , f , f 
 x y z 


 bx by bz
  
2.)   b (r )  div b 


x
y
z
3.)
iˆ

  
  b (r )  rot b   x
bx
ˆj
y
by
kˆ
z
bz


 : f  grad f


 
 : b  div b
6

1.) rot grad f (r )  0
2.) div rot
 
b (r )  0

 
 
3.) rot rot b(r )  grad div b (r )  b (r )
 
   
2
2
2
  2  2  2
x
y
z
   
 
 0  istnieje b (r ) : a ( r )  rot b (r )
 
4.) div a ( r )
 
 

5.) rot a ( r )  0  istnieje f (r ) : a  grad f (r )
7
Prawo Gaussa:

Dywergencja pola wektorowego w
jest określona zależnością jako lokalna
gęstość objętościowa jego strumienia

dS

w

S
VS
 d
div w 
dV
 
 w dS
V
 
wdS  w  dS  cos 
Twierdzenie Gaussa
Strumień wypływający z obszaru skończonego o
objętości V ograniczonej powierzchnią S, określa
zależność:
V
 

 w dS   div w dV
SV
V
8
Twierdzenie Stokesa:

Rotacje wektorową w można opisać jako lokalną
gęstość powierzchniową cyrkulacji wektora.
 
dK  rot w ds 
oraz:
 
K   rot w ds
 
K   w dl
s
l
Z porównania obu związków wynika równanie:
 
 
 w dl   rot w ds
lS
S
Co stanowi zapis Twierdzenia Stokesa.
9
ELEKTROSTATYKA
Oddziaływanie między spoczywającymi ładunkami
e  1,6 10
 0  8,854  10 12
19
C
C2
N  m2
Ładunek elementarny
Przenikalność elektryczna próżni
Ładunki jednoimienne odpychają się,
Ładunki różnoimienne przyciągają się.
10
Podstawowe zasady obowiązujące
w elektrostatyce
1.) Najmniejszym ładunkiem jest e, każdy
ładunek jest jego wielokrotnością
2.) Zasada zachowania ładunku (Franklin 1747 )
Ładunek układu (sumaryczny) jest zachowany
11
3.) Zasada superpozycji

F3

F2

F4

F1
    
q : F  F1  F2  F3  F4
q1(  )
q( )
q2 (  )
q3 (  )
q4 (  )
Siła działająca na ładunek próbny pochodząca od kilku ładunków jednocześnie
jest równa sumie sił pochodzących od każdego ładunku z osobna
Zasada ta może być stosowana do układów liniowych - opisanych równaniami
liniowymi oraz różniczkowymi liniowymi !!!
12
Pole elektrostatyczne
Nie można obecnie wy świetlić tego obrazu.
(stacjonarne pole elektryczne)
Nie jest funkcją czasu
 
E  E t 
13
Natężenie pola

FQ
Q

Fq
q
r

Qq
ˆ
F
r
4 0 r 2
 

F  FQ  Fq

 F
1 Q
E 
 2 rˆ
q 4 0 r
def
14
Wykres E jako funkcja odległości od środka
jednorodnie naładowanej kuli
E
Q
4 0 R 2
r
R
15
Prawo Gaussa ( elektrostatyka)

ds
 
d E  E  ds
n̂
def

E

ds
s
 E  
 
E  ds
s
16
Definicja strumienia różniczkowego

ds  ds  nˆ
  90  cos  0  d  0
o
  0  cos   1  d  max  Eds
o
17
 
 
d E  E  ds  Eds cos ( E; ds )
 
  ( E; ds )

ds

E

  90  dE  0
o
  0  dE  Eds
18
  Q
E
d
s


0
SV

Prawo Gaussa w postaci
całkowej
- gęstość objętościowa ładunku
df
Q

V
Q     dV
V
  1
 E  ds 
SV
0
  dV
V
19
 

 E  ds   div E dV
SV
V
  1
 E  ds 
0
SV
 
divE (r ) 

 (r )
0
   dV
V
Prawo Gaussa w
postaci różniczkowej
20
Przykład 1
Obliczanie pola wytworzonego na powierzchni kuli przez ładunek
q umieszczony w środku kuli, korzystając z Prawa Gaussa.

E
 
( E ds )

ds
 

1
q
q
2
E  ds  E  ds  E  4r   E 
 2 rˆ

0
4 0 r
SV
SV


q : F  q1 E 
q1  q2
 2 rˆ
4 0 r
1
21
Prawo Gaussa
Prawo Coulomba
Z: prawo Gaussa
r
Q


Q
2
E  4r   E 
0

 Qq
F  qE 
2
4 0 r
Q
4 0 r
2
stąd: prawo Coulomba
22
Prawo Gaussa i Prawo Coulomba są
sobie równe, pierwsze z nich opisuje aspekt
polowy, a drugie siłowy
23
Przykład 2
Obliczanie pola elektrycznego naładowanej
nieskończenie długiej nici.
r

ds
q
   const
l
  q
 E  ds 
0
Sv
 
 
 
 E  ds  2  E  ds   E  ds   Eds  E  ds  E  2rl
SV
Sp
Sb
Sb
Sb
24


E
 
 E  ds  0
Sp

ds
 l
E  2rl 
0
q   l

E
2 0 r
25
Prawo Gaussa
 0 E  q
  q
 E  ds 
S
0
V
SV
Strumień po powierzchni jest równy
całkowitemu ładunkowi przez  0 .
26
Pola wytwarzane przez różne rodzaje ciał
naładowanych
(Przyjmujemy, że pełne ciała są naładowane
jednorodnie w całej objętości.)
 
divE 
0
- dotyczy własności ośrodka
materialnego
27
Położenie
Rodzaj ciała
E wyrażone przez
0
1
na zewnątrz
wewnątrz
pełna lub wydrążona kula
Q
4 0 r 2
0
wydrążona kula
1
wewnątrz
Q
r
3
4 0 R
pełna kula

1
na zewnątrz
2 0 r
drut lub pręt

1
wewnątrz
po obu stronach
2 0 R 2
pełen pręt
1

2 0
pojedyncza powłoka
1
między dwiema powłokami
dwie powłoki o  i

0
1
odległość x od środka wewnątrz
płyta
0
1
tuż nad powierzchnią
przewodnik
r
0

x

28
Położenie
Rodzaj ciała
na zewnątrz
pełna lub wydrążona
kula
wewnątrz
wydrążona kula
wewnątrz
na zewnątrz
pełna kula
drut lub pręt
E wyrażone przez
1
Q
4 0 r 2
0
Q
r
3
4 0 R
1
1

2 0 r
29

1
wewnątrz
po obu stronach
między dwiema
powłokami
odległość x od środka
wewnątrz
pełen pręt
pojedyncza powłoka
2 0 R
0
1
płyta
0
przewodnik

x
1
tuż nad powierzchnią
r
1

2 0
1
dwie powłoki o  i  
2
0

30
Różnice pomiędzy polem elektrycznym a
polem grawitacyjnym
Siły pola grawitacyjnego są zawsze siłami przyciągania, siły
pola elektrycznego mają kierunki zależne od układu ładunków
31
Potencjał elektrostatyczny


F  q0 E
 
 
dW  F  dl  q0 E dl
Przy przeniesieniu ładunku w polu z punktu A do punktu B wykonana jest
praca sił zewnętrznych:
 
W AB  dW  q0   E dl
B
B
A
A
Potencjałem pola elektrostatycznego w punkcie A, nazywamy pracę jaką należy
wykonać aby przenieść ładunek próbny z punktu A do nieskończoności
32
Pole elektrostatyczne – stałe w czasie, jest polem
potencjalnym, tzn. w każdym punkcie tego pola
można określić jego potencjał.
 
 
 
dW  E  dl  q0 E  dl  q0 E dl cos ( E , dl )
A
B
Praca po każdej drodze, z punktu A do punktu B
będzie identyczna. Praca nie zależy od drogi, tylko od
położenia punktów.
33
Potencjał elektrostatyczny
A 

 
WABA  WAB  WBA  q0  E  dl  q0  E  dl 
B 
B 

 A
 B
q 0  E  dl  q 0  E  dl  q 0  E  dl  0
B
A
A
Krążenie pola po krzywej zamkniętej jest równe zero.
 
 

 E  dl   rot E  ds  0  rot E  0
ls
Tw. Stokesa
E  E (t )
- nie może być funkcją czasu
34
Całkowanie po krzywej długości l S
lS
S
 
 rotE  dS  0
S
Warunek:
Pole musi być statyczne


 
rotE  0   E  dl  0
ls
35

rotE  0  istnieje pole skalarne V



E   grad V  E  V
V ( x, y , z )  potencjał pola elektrosta tycznego

W A 
VA 
 q0
q0
 
 E  dl
A
q0
Dla ładunku punktowego:

 
  E  dl
Potencjał w danym
punkcie A
A
V
q
4 0 R
36
Napięcie (pola)
Różnica potencjałów – napięcie U AB to praca WAB
podzielona przez wielkość przeniesionego
ładunku.

F
U AB
WAB (WA  W  B )


 V A  VB
q0
q0
U  
 J 
 C   V

37
• Powierzchnie ekwipotencjalne mają wszędzie taki sam
potencjał, nie stykają się, linie sił są do nich prostopadłe a
praca wykonana przy przeniesieniu po nich ładunku jest równa
zeru.

 V V V 
 gradV  
,
,
E   gradV



x

y
z


V
Ex  
x
V
Ey  
y
V
Ez  
z
38
Pole potencjalne
I równanie Maxwella ( Prawo Gaussa)

q
 E  ds 
0
Sv
Postać różniczkowa:


div E 
0

 
divE  div (  gradV )    V   V


 
   2  2  2   laplasjan
z 
 x y
2
2
2
39
Równanie Poisonne’a dla pola potencjalnego

V  
0
Jeśli:
 0

V  0
- równanie Laplace’a
40
Prawo Poissone’a i Laplace’a

divE 
- prawo Gaussa – I równanie
 0 Maxwella
rotE  0

V  
0
- potencjalność pola
elektrycznego
E  E (t )
  0  V  0
41
Przewodnik izolowany:
- ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku na
zewnętrznej powierzchni
- ładunki jednoimienne odpychają się, zajmują miejsca
najodleglejsze od siebie
-jedwabna nić

E0
Prawo Gaussa
 
 0  Eds  0
s
E0
- powierzchnia
Gaussa
42
Pojemność elektryczna – Kondensator
Układ dwóch przewodników odizolowanych od siebie, mający
zdolność gromadzenia energii, nazywamy kondensatorem.
q
C
U – napięcie między przewodnikami
U
C 
F      farad
V 
CU 2 Q 2
E W 

- energia zgromadzona w polu
2
2C
elektrycznym
43
Pojemność kuli o promieniu R
potencjał na powierzchni naładowanej kuli
V
Q
4 0 R
Q
V
r
Q
C   4 0 R
V
44
DIELEKTRYKI
Dielektrykami są ciała stałe, ciekłe i
lotne, które w swoje strukturze – przy
braku zewnętrznych pól jonizujących –
nie zawierają ładunków swobodnych.
E0
E0
q
x0
q
powierzchn ia A
46
Indukowane ładunki układają się tak aby ich pole elektryczne
E przeciwstawiało się zewnętrznemu polu elektrycznemu E0 .
E0  0
E0 
Polaryzacja
dielektryka
Polaryzacja dielektryka - przy okładzinie dodatniej pojawi się warstwa
ładunków ujemnych, a przy okładzinie ujemnej warstwa ładunków
dodatnich.
47
Dipole elektryczne
Układ dwóch ładunków o przeciwnych znakach i równej
wartości q, oddalonych od siebie na odległość l, nazywa się
dipolem elektrycznym. Moment elektryczny takiego dipolu ma
wartość ql i skierowany jest od ładunku ujemnego do ładunku
dodatniego
q
l

p


p  q l
q
48
Trwałe dipole elektryczne
Cząsteczki niektórych materiałów dielektrycznych obdarzone
są trwałymi elektrycznymi momentami dipolowymi –
cząstka taka jest dipolem elektrycznym.
a)
b)
A

B
A
B

  
p  p1  p2  0
A

p1
A

p

p2
Cząsteczki o strukturze symetrycznej (a) i niesymetrycznej (b).
49
Dipolowy charakter mają z reguły cząsteczki związków
chemicznych, które mają niesymetryczna strukturę.
H
H
C
H
H
C
H
H
CH 4
CH 3Cl
metan
Cl
H
chlorek
metylu
Cl Cl
C
Cl
CCl4
czterochlorek
węgla
H
Cl
Cl
C
Cl
Cl
CHCl3
chloroform
Przykłady niepolarnych ( CH CCl ) i polarnych (CH Cl CHCl3
3
4
4
cząsteczek niektórych substancji organicznych.
50
)
Umieszczenie cząsteczki w zewnętrznym polu elektrycznym
prowadzi do jej polaryzacji
i powstania indukowanego momentu


p
dipolowego  qd .
E 0
E0
d
51
Polaryzacja
Jeśli dipole trwałe lub indukowane są częściowo
uporządkowane w określonym kierunku, to objętość V
będzie miała wypadkowy, makroskopowy moment
dipolowy p, zwany wektorem polaryzacji elektrycznej
ośrodka lub Polaryzacją elektryczną.
n

P  lim
V 0
gdzie:
n
pi
–
–

 pi
i 1
V
 A s 
 m2 


liczba dipoli w objętości V dielektryka
moment dipolowy i-tego atomu lub cząsteczki
Wypadkowe pole elektryczne w dielektryku:

 
D  0E  P
def
(zewnętrzne pole + wektor polaryzacji)
 
divE 
0

divD  
53
Izotropia i anizotropia elektryczna
• Ośrodki izotropowe to takie gdzie dana wartość nie
zależy od kierunku w którym jest mierzona.

P  0

 
P E

E


P  0 E
- ośrodki izotropowe
- ośrodki anizotropowe (kryształy)

P

E
 - Podatność dielektryka na polaryzację
54
 x11 0 0   Ex 
 Px 



P     0 x
0
.
E
22
  y
 y 0
 0 0 x33   Ez 
 Pz 
55
• Dla ośrodków izotropowych:




D   0 E   0  E   0 (1   ) E

D

E
def
r  1 
 r  81 woda
56


D   r 0 E

 r  0 divE  

div( 0 r E )  

divD  
57
• Dla dowolnie dużego

E



(1)
( 2) 2
P   0  E   0  E  ....

( 2)
 
(1)

Efekty nieliniowe (dla bardzo dużych E - optyka)
58
Prawo Gaussa w ośrodku dielektrycznym.
 
 0   r E ds  q
s
59
Energia pola
1 2
wo   0 E
def 2
– gęstość pola w próżni
1  
wp  P  E
def 2
60
Gęstość pola elektrycznego w dielektryku:
2
1 2 1   1
w   0 E  p  E   0 (1   ) E
2
2
2

2 1  
1
w   0 r E  E  D
2
2
61
Energia pola
 
1
   w dV   E  D dV
2 V
V
62