v - Leszek R. Jaroszewicz

Kuala Lumpur, Malesia, Febuary 2014
W-18 (Jaroszewicz) 13 slajdów
Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego
Dynamika
relatywistyczna,
czasoprzestrzeń
Siła relatywistyczna
 Pęd relatywistyczny
 Energia relatywistyczna:
- niesprężyste zderzenie kul
 Równość masy i energii
 Czasoprzestrzeń

Siła relatywistyczna
Równanie Newtona d/dt(mv)=F nie jest niezmiennicze
względem transformacji Lorentza, bo prędkość ciała
względem układu nieruchomego wynosi
u + v'
v=
uv'
1+ 2
c
a nie jak w przypadku transformacji Galileusza v=u+v’.
Zatem przyspieszenie a’=d2x’/dt’2 nie będzie równe
a=d2x/dt2
Ile wynosi więc siła według teorii relatywistycznej?
Wiążąc początek ruchomego układu O’ w chwili t’=0
z punktem materialnym to jego prędkość względem
początku nieruchomego układu O jest v=u
V=U
x
X’
Przyjmując prędkość punktu materialnego o masie
spoczynkowej mo jako v mamy:
2
2
2
2
2




v
d
x
v
d
x
v dv
dv
1 − 2  2 + 2 2


2
c  dt
c dt
1
d 2x
d v 

c
dt
dt
=
+
=
=
3
3
3
2
2 
2
dt 
2
2
2  dt
v
v





 1 − 
1− 2  1− v 
 1− v 
 1− v 
2
2 
2 
2 
c
c 




c
c
c






stąd


2
d x' d  m o v
F ' = ma' = m
=
2
2
dt'
dt 
v
 1 −
c2







Równanie to w dynamice relatywistycznej zastępuje
znane równanie Newton:


d
d 
(mv ) = ( p ) = F
dt
dt
∆t =
Pęd relatywistyczny

1− β 2
w celu spełnienia zasady zachowania pędu
należy wprowadzić nową definicje pędu,
pamiętając, że prędkość
v=
zatem
p = mo

τ
∆x
τ
= mo
∆x
τ
mo
∆ x ∆t
v = γ mov
=
2
∆t τ
1− β
wprowadzając pojęcie masy relatywistycznej
m=
mo
1− β2
= γ mo



p = mv = γ mov
gdy v→c to zwiększa się bezwładność ciała
Energia relatywistyczna
Z zasady zachowania energii – praca wykonana nad układem
zamkniętym równa jest przyrostowi jej energii ->Niech cząstka
swobodna o masie spoczynkowej mo zacznie się poruszać po
drodze dx na skutek siły F, wówczas








x2
x2
p
v
v
v
dp
dx
 v 
 m0 v 
m
vd
K = W = ∫ Fdx = ∫ dx = ∫ dp = ∫ vdp = ∫ vd 
=
0∫

2 
2 
dt
dt
v
v
0
0
0
0
x1
x1
 1 − 
 1 − 
2
2
c
c




V








2
2
m0
v
vdv 

 c
c 2 − m0 c 2
K = m0 
= m0 
− c2  =
−∫
2
2

v
v2
v2 
v

 1 −
1− 2 
1− 2
 1− 2
2
c
c
c
c


0

Ostatecznie - energia kinetyczna
1
mo v 2
v << c 2
K = m c 2 − mo c 2 ≈
Równość masy i energii
K = (m − mo ) c

równoważność masy i energii
E = Eo + K

2
E = mo c + ( m − mo )c
2
2
E = mc
2
pęd a energia cząstki
p2
K =
2m
(
E = (pc ) + moc
2
2
klasycznie
)
pc
2 2
moc2
Diagram
pomocniczy
Niesprężyste zderzenie 2 kul o masie mo
poruszających się przeciwnie z prędkością v
mo

v

−v
mo
Energia kul przed zderzeniem
Mo
mov 2
E = 2mc = 2moc + 2
2
2
Po zderzeniu kule pozostają nieruchome
Z zasady zachowania energii
Ponieważ
mov 2 > 0 ⇒ Mo > 2mo
2
E = M oc 2
(Mo − 2mo ) c 2
∆m = Mo − 2mo =
energia kinetyczna K zamieniła się w energię
wewnętrzną co spowodowało wzrost masy kul
W skali makro: m=0.1 kg,
v=100 m/s, to ∆m=1.1 10-14 kg
= mov 2
K
c2
Dla rozpadu cząstek
elementarnych v∼c, to ∆m≈m
Czasoprzestrzeń
Transformacja Lorentza wyraża inny od klasycznego sposób pojmowania czasu. Z punktu
widzenia zjawisk fizycznych istnieje ścisły
związek czasu i przestrzeni, stąd logiczne staje
się wprowadzenie czasowo-przestrzennego
układu współrzędnych, co zostało dokonane na
początku XX w przez Hermanna Minkowskiego:
 (x,y,z,t) – przestrzeń zdarzeń – Świat,
 P(x,y,z,t) – punkt świata
Czasoprzestrzeń
Minkowskiego
czas
t
Zdarzenie w przyszłości
JUTRO
Linia świata:
– wektor wodzący do
punktu P: Rm(x,y,z,ict)
Prędkość Mińkowskiego:
– pochodna czasowa
czterowektora Rm względem
czasu własnego
poruszającej się cząstki (τ)
– prędkość zachodzenia
zdarzeń
P(x,,y,z,t) - PUNKT ŚWIATA
TERAZ
WCZORAJ
y
x
Zdarzenie w teraźniejszości
Zdarzenie w przeszłości
Linia świata(droga życia) punktu substancjonalnego
Czasoprzestrzeń (x, y, z, τ=ict)
pseudo-eklidesowa przestrzeń Minkowskiego
ict
d (ict )
uτ =
dτ
absolutna przyszlosc x=ct
u2
τ = t 1− 2
c
τ – czas własny obiektu.
y
x
absolutna
Informacja
o zdarzeniu w t=0,x=0,y=0
przeszlosc
Przestrzeń bezwzględna, czas bezwzględny, a nawet geometria nie są
warunkami narzucającymi się fizyce:
Wszystkie te rzeczy nie mają dla zjawisk fizycznych uprzedniego znaczenia.
Prędkość zdarzeń uτ nieruchomego obiektu (u=0)
ut=ic
Interwał czasoprzestrzenny:
ds2= dx12+dx22+dx32 - c2dt2
(odległość pomiędzy dwoma
zdarzeniami) jest niezmiennicza w inercjalnych
układach odniesienia.
Kuala Lumpur, Malesia, Febuary 2014