Zadania przygotowawcze z matematyki Zadanie 1
Transkrypt
Zadania przygotowawcze z matematyki Zadanie 1
Zadania przygotowawcze z matematyki Zadanie 1. Wyznacz wszystkie grupy przemienne (z dokładnościa˛ do izomorfizmu) G dla których istnieje nieskończona podgrupa cykliczna H ⊂ G indeksu 3. Zadanie 2. Niech K b˛edzie ciałem skończonym oraz f ∈ K[X] wielomianem o niezerowym wyrazie wolnym. Uzasadnij, że wielomian X n − 1 jest podzielny przez f dla pewnej liczby naturalnej n 1. Zadanie 3. Niech Fp b˛edzie ciałem rz˛edu p, gdzie p liczba pierwsza > 3. Zauważyć, ze każde 3 różne wektory zbioru V = {(1, x, x2 )|x ∈ Fp } ∪ {(0, 0, 1)} ⊂ Fp3 . sa˛ liniowo niezależne. Wykazać, że jeżeli p > 3 to V jest maksymalnym zbiorem majacym ˛ t˛e własność, czyli, że każdy wektor z przestrzeni linowej Fp3 daje si˛e zapisać jako kombinacja liniowa co najwyżej 2 wektorów należacych ˛ do V. (Prawdziwa jest wersja ogólniejsza, gdzie 3 zastapione ˛ jest dowolna˛ liczba˛ naturalna˛ k 3, a także dla innych ciał.) Zadanie 4. Niech f : [0, 1] → (0, +∞) b˛edzie funkcja˛ ciagł ˛ a˛ i niech M (x) = sup f (t). 06t6x Wykazać, że funkcja ϕ(x) = lim n→∞ f (x) M (x) n jest ciagła ˛ wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcja˛ niemalejac ˛ a˛ na przedziale [0, 1]. Zadanie 5. Niech V b˛edzie przestrzenia˛ liniowa˛ wielomianów postaci p(x) = a + bx + cx2 o współczynnikach rzeczywistych a, b, c. Zdefiniujmy iloczyn skalarny na V wzorem Z 1 1 p(x)q(x) dx. (p, q) = 2 −1 (a) Znajdź baz˛e ortonormalna˛ przestrzeni V składajac ˛ a˛ si˛e z wielomia- nów φ0 (x), φ1 (x) i φ2 (x) o stopniach odpowiednio 0, 1 i 2. (b) Użyj odpowiedzi z punktu (a) do znalezienia wielomianu drugiego stopnia rozwiazuj ˛ acego ˛ zadanie minimalizacji Z 1 min p∈V p(x) − x3 2 dx. −1 Zadanie 6. Niech f : R → R b˛edzie różniczkowalna. Pokaż, że zbiór punktów y takich, że f −1 {y} jest nieprzeliczalny ma miar˛e zero. 1