Równania z kredek

Zofia Zyzak
Równania z kredek
Wprowadzamy metodę przeciwnych współczynników.
Do lekcji należy przygotować kilka
szablonów kredek w dwóch rozmiarach i kolorach. Rozpoczynamy od
prostego zadania:
Szara i niebieska kredka mają razem
8 cm długości. Jedna kredka szara i dwie
niebieskie mają długość 10 cm. Jaka jest
długość każdej kredki?
Uczniowie zapisują treść zadania
w postaci układu równań, a ja przedstawiam je za pomocą szablonów na
tablicy. Szablony zrobione są z kolorowych kartonów, mocuję je magnesami
na metalowej tablicy. Szablony układam w ten sposób (jeden dokładnie
pod drugim), aby można było od razu
odczytać długość niebieskiej kredki,
pod spodem natomiast rysuję kredą
linię pokazującą długość.
x – długość szarej kredki
y – długość niebieskiej kredki
x+y=8
x + 2y = 10
y = 10 − 8 = 2
x =8−2=6
Uczniowie mogą łatwo zauważyć, że
jedna niebieska kredka ma 2 cm długości, a długość drugiej wynosi 6 cm.
18
Rozwiązujemy następne zadanie:
Kredka szara i niebieska mają razem
10 cm, a szara i cztery niebieskie mają
razem 19 cm długości. Jaką długość ma
każda kredka?
Zapisujemy układ równań oraz układamy szablony:
a – długość szarej kredki
b – długość niebieskiej kredki
a + b = 10
a + 4b = 19
3b = 19 − 10 = 9
b =3
a = 10 − 3 = 7
Skoro trzy krótsze kredki mają razem
9 cm, to jedna musi mieć 3 cm. Dłuższa
kredka ma więc 7 cm. Po tych przykładach uczniowie powinni już zauważyć,
że rozwiązywanie tego typu układów
odpowiada odejmowaniu równań stronami.
Rozwiązujemy kolejne zadanie:
Szara i niebieska kredka mają razem
12 cm, trzy szare kredki i pięć niebieskich mają w sumie 40 cm. Jaka jest
długość każdej kredki?
GRAFICZNE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ
CYAN BLACK
MS15 str. 18
Zapisujemy układ równań i układamy
szablony.
s – długość szarej kredki
n – długość niebieskiej kredki
s + n = 12
3s + 5n = 40
Rozwiążmy teraz takie zadanie:
Kredka szara i trzy kredki niebieskie
mają 13 cm długości. Kredka szara jest
o 5 cm dłuższa od niebieskiej. Jaka jest
długość każdej kredki?
d – długość szarej kredki
k – długość niebieskiej kredki
d + 3k = 13
d−k = 5
3k + k = 8
Uczniowie podają („burza mózgów”)
sposoby postępowania. Wspólnie ustalamy, że należy pierwsze równanie
doprowadzić do takiej postaci, aby
można było układ rozwiązać podobnie, jak dwa pierwsze. Osiągamy to,
mnożąc je stronami przez 3, co
odpowiada na rysunku zestawieniu
trzech kompletów (komplet to kredka
szara i kredka niebieska).
3s + 3n = 36
3s + 5n = 40
2n = 4
n =2
s = 10
Uczniowie teraz już łatwo zauważą,
że dwie małe niebieskie kredki mają
długość 4 cm, czyli jedna ma 2 cm
(szara ma 10 cm).
Teraz formułujemy zasadę postępowania w takich przypadkach – mnożymy
obie strony jednego równania tak, aby
w obu równaniach przy tej samej niewiadomej były te same współczynniki
(ta sama liczba kredek).
W miarę potrzeb i czasu można rozwiązać kilka takich prostych układów
ułożonych przez uczniów.
4k = 8
k =2
Zauważamy, że skoro cztery niebieskie kredki mają długość 8 cm, to
jedna ma długość 2 cm. Szara ma więc
7 cm.
Pokazujemy teraz uczniom, że odejmowanie stronami [3k − (−k) = 3k+
+k = 4k], gdy współczynniki są ujemne, może być uciążliwe. Dlatego aby
ułatwić sobie obliczenia, dążymy do
sytuacji, w której przy jednej niewiadomej byłyby przeciwne współczynniki, wtedy odejmowanie stronami
zastępujemy dodawaniem.
Uczniowie na lekcji prowadzonej
w ten sposób sami formułują zasady
postępowania obowiązujące przy stosowaniu metody przeciwnych współczynników, rozumieją, skąd się taka
metoda wzięła, uczą się wnioskowania
oraz uogólniania. Nawet słabsi z nich
potrafią sobie poradzić z rozwiązywaniem prostych układów równań za
pomocą rysunków.
GRAFICZNE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ
CYAN BLACK
MS15 str. 19
19