plik PDF

Agnieszka Ciesielska
Co łączy te funkcje?
W gimnazjum zajmujemy się niemal
wyłącznie funkcją liniową. Na jej przykładzie uczniowie mogą opanować język, jakim omawiamy funkcje, nauczyć
się rysowania wykresów, zrozumieć,
czym jest wykres, poznać rachunkowe
sposoby sprawdzania podstawowych
własności funkcji... Jednym słowem –
na tym prostym przykładzie uczniowie
opanowują podstawowe pojęcia, związane z funkcjami. Ale czy wszystkie?
Jak jest R, to jakby nic nie było
Jedną z najważniejszych cech funkcji
jest jej dziedzina. Właściwie nie tyle
cechą, ile nieodłącznym składnikiem
określenia funkcji. A to, że określając
funkcję, zazwyczaj podajemy jedynie
jej wzór, wynika nie z faktu, że to
wzór jest najważniejszy, ale z umowy,
że w takiej sytuacji dziedziną jest
zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
dla których wartość funkcji da się
obliczyć (czyli de facto podając wzór,
określamy równocześnie dziedzinę).
Ale uczniowie gimnazjum (a często
i liceum) nie zdają sobie z tego sprawy.
że niezbyt rozumieją, o co chodzi.
Niektórzy potrafią co prawda powiedzieć, że dziedziną funkcji liniowej jest
zbiór liczb rzeczywistych, ale często
jest to tylko formułka, którą kazał
(nie wiadomo dlaczego) powtarzać
nauczyciel.
Dlaczego tak jest? Powód jest bardzo
prosty. Jedyna funkcja, którą dogłębnie badają gimnazjaliści – funkcja
liniowa – może być rosnąca lub malejąca, może mieć różne miejsca zerowe
(a nawet może ich nie mieć), daje
więc okazję do określania i w związku
z tym zrozumienia tych własności, ale
dziedzinę ma zawsze taką samą. Jeśli
więc nawet o niej wspominamy, to
wydaje się to sztuką dla sztuki. Co
więcej – inne wspominane w gimnazjum funkcje, np. y = x2 , y = |x| mają
tę samą dziedzinę. Uczeń nie ma więc
żadnej możliwości zrozumienia, czym
jest dziedzina i co się dzieje, gdy
się ona zmienia. W efekcie większość
gimnazjalistów jest na przykład przekonana, że wykres funkcji zawsze jest
linią.
Co robić?
Okazuje się, że wśród pytań dotyczących funkcji najwięcej trudności
sprawia właśnie pytanie o dziedzinę
funkcji. Gimnazjaliści (jeśli w ogóle
mają jakieś skojarzenia) powtarzają
wyuczone zdania, z których widać,
12
Trudno rozważać z gimnazjalistami
bardziej skomplikowane funkcje, gdzie
sam wzór wymaga ograniczenia dziedziny, bo to niczego im nie wyjaśni,
a najwyżej jeszcze bardziej przestraszy.
Proponuję krótkie ćwiczenie, które
można przeprowadzić po omówieniu
własności funkcji liniowej. Można je
wykonać, zarówno podsumowując cykl
lekcji dotyczących funkcji, jak i jako
przerywnik podczas realizacji całkiem
innego tematu (trzecioklasistom na
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
MS22 str. 12
egzaminie przyda się umiejętność
przeskakiwania z tematu na temat).
Ja przeprowadziłam to ćwiczenie
w trzeciej klasie gimnazjum pod
koniec września (we wrześniu rysowaliśmy wykresy funkcji |x|, poza
tym nie zajmowaliśmy się funkcjami).
Rozdałam uczniom kartki z wykresami
funkcji i pytaniem o ich cechy wspólne
i różniące (zob. s. 14). Już ustnie dodałam, że chodzi o jedno zdanie, które
właściwie wyczerpuje temat, a nie
o drobne szczególiki. Uczniowie dość
szybko zaważyli, że wszystkie funkcje
są rosnące. Powiedziałam, że to oczywiście prawda, można jednak znaleźć
wspólną cechę, która te funkcje jeszcze lepiej charakteryzuje. Następnie
uczniowie odkryli, że wiele punktów
wykresu pokrywa się na wszystkich
rysunkach. To pozwoliło stwierdzić, że
wszystkie wykresy biegną wzdłuż tej
samej linii i w efekcie podać wzór
wspólny dla wszystkich funkcji.
Czym się różnią?
Trudniejsze okazało się sformułowanie
różnic. Wszyscy co prawda widzieli,
że na jednych wykresach są proste,
na innych punkty lub odcinki, ale
ja prosiłam o podanie, czym różnią
się funkcje, a nie wykresy. Wreszcie
pojawiła się odpowiedź prawidłowa,
choć zupełnie nieformalna – Marcin stwierdził, że funkcje różnią się
„tymi liczbami”, a jego gestykulacja
pozwoliła reszcie klasy pojąć, o co
mu chodzi, i sumienne dziewczęta
potrafiły mu podpowiedzieć, że „te
liczby” to dziedzina funkcji.
A więc odpowiedź już mamy – funkcje
mają ten sam wzór, lecz różnią się
dziedzinami.
Poszukiwanie tej odpowiedzi było
oczywiście zadaniem dla najlepszych,
jednak cała klasa przysłuchiwała się
dyskusji i, być może, wsparte gesty-
kulacją pojęcie „te liczby” było dla
wielu osób bardziej zrozumiałe niż
„dziedzina”. Wszyscy natomiast mogli
wziąć udział w kolejnym etapie lekcji
– dla każdej funkcji zapisaliśmy wzór
i dziedzinę (przy okazji okazało się,
że dużo trudności sprawiają nazwy
zbiorów liczbowych).
Pojawiły się tu też wątpliwości: czy
dziedziną f4 jest zbiór {2, 4} (taka
była moja intencja), czy {2, 4, 6, . . .}
oraz skąd wiadomo, że wykres się nie
kończy tuż za rysunkiem. Ćwiczenie
stało się okazją do stwierdzenia, że nie
wszystko się da odczytać z wykresu.
Miejsca zerowe
Na koniec zapytałam jeszcze o miejsca zerowe poszczególnych funkcji.
Uczniowie wiedzieli, że miejsca zerowe mają tylko funkcje f3 i f6 (na
podstawie wykresu). Zapytałam, jak to
się ma do obliczania miejsca zerowego
ze wzoru – przecież wzór jest ten sam,
więc wszędzie wyjdzie to samo miejsce
zerowe. Tym razem uczniowie potrafili
już formalnie odpowiedzieć, że to nic
nie szkodzi, bo dla funkcji f1 , f2 , f4
i f5 rozwiązanie równania nie należy
do dziedziny funkcji.
Po dwóch tygodniach wróciłam jeszcze
raz do tego ćwiczenia. Tym razem
poprosiłam o narysowanie wykresów
funkcji, których wzory i dziedziny zostały zapisane w zeszytach. Oczywiście
wielu uczniów miało kłopoty z niektórymi wykresami, ale przynajmniej
nikt nie narysował sześciu funkcji
liniowych.
Klasa, którą uczę, jest klasą niezłą
i o dość wyrównanym poziomie.
W słabszej klasie przed postawieniem pytania poprosiłabym uczniów
o wypełnienie na podstawie wykresu
tabelek dla poszczególnych funkcji.
Myślę, że wtedy byłoby łatwiej zauważyć podobieństwa i różnice.
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
MS22 str. 13
13
CO WSPÓLNEGO MAJĄ ZE SOBĄ FUNKCJE
PRZEDSTAWIONE NA WYKRESACH?
CZYM TE FUNKCJE SIĘ RÓŻNIĄ?
14
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
MS22 str. 14