15. Zadania z analizy B, ćwiczenia 26/03, kolokwium 01

#15. Zadania z analizy B, ćwiczenia 26/03, kolokwium 01/04
1. Zbadaj jednostajną zbieżność ciągów funkcjyjnych a) fn (x) = xn (1 − xn ) na [0, 1], b)
1
na (0, 1].
fn (x) = nx
1
2. Udowodnij, że funkcje a) f (x) = 1+|x|
na R, b) g(x) = e−x na [0, ∞), c) h(x) = xx sin x na
[0, 1] są jednostajnie ciągłe.
3. Udowodnij, że funkcja f ciągła na R i mająca granice liczbowe w ±∞ jest jednostajnie
ciągła.
4. Niech un ⇒ u na I i niech v ∈ C(I) będzie ograniczona. Pokaż, że vun ⇒ vu.
P∞ n P∞ 2n sinn x
,
5. Określ obszar zbieżności bezwzględnej i warunkowej szeregów:
n=1
n=1 xn ,
n2
P∞
P∞
P∞ n32n n
xn
−nx
n
, n=1 1−xn , n=1 2n x (1 − x) .
n=1 ne
P∞
6. Pokaż, że jeśli szereg Dirichleta n=1 nanx jest zbieżny dla pewnego x = x0 , to jest zbieżny
jednostajnie dla x ­ x0 .
P∞
P∞
7. Określ obszar zbieżności szeregów Newtona: n=1 nx , n=1 n1p nx .
8. Niech f : [a, b] → R będzie dowolną funkcją. Niech fn (x) = [nfn(x)] . Pokaż, że fn dąży
jednostajnie do f na [a, b].
9. Posługując się kryterium Weierstarassa, udowodnij, że podane szeregi są jednostajnie zbieżn
P∞
P∞
P∞ 2 −nx
nx
ne: n=1 (−1)
, (x ­ 0).
n=1 1+n5 x2 , (x ∈ R);
n=1 x e
x+2n , (−1 < x < ∞);
P∞ sin kx
10. Wykaż, że funkcja f (x) = k=1 k3 jest ciągła i ma ciągła pochodną w R.
P∞
11. Wykaż, że funkcja f (x) = n=1 sinnxnx w obszarze x > 2 jest ciągła i ma ciągłą pochodną.
12. Uzasadnij jednostajną zbieżność podanych szeregów za pomocą kryteriów Abela i Dirichlen
P∞
P∞ sin nx
P∞
nx
√
√(−1) , x ­ 0. Dlaczeta: n=1 √cos
,
,
0
<
δ
¬
x
¬
2π
−
δ
oraz
2
2
n=1
n=1
n+x
n +x
n(n+x)
13.
14.
15.
16.
go pierwsze dwa szeregi nie są zbieżne jednostajnie na całym przedziale [0, 2π]? Podstaw
xn = 1/n.
q
1
0
2
Niech fn (x) =
n + x . Pokaż, że ciągi funkcyjne {fn } i {fn } są zbieżne punktowo, ale
0
nieprawdą jest, że limn→∞ fn (x) = limn→∞ fn0 (x), x ∈ R.
P∞
xn
Udowodnij, że szereg n=1 1+x
2n jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale [−η, η],
gdzie 0 < η < 1, ale nie w (−1, 1).
P∞
P∞
P∞
Określ obszar zbieżności szeregów: n=1 n2 sinn x, n=1 3n sin 4n1x , n=1 nxe−nx ,
P
P∞
P
P
∞
∞
∞
n
1
xn
2n +xn
n=1 log (x + 2),
n=1 1+xn ,
n=1 1+xn ,
n=1 1+3n xn .
Udowodnij, że podane niżej szeregi są jednostajnie zbieżne:
∞
∞
X
X
sin nx
log(1 + nx)
(x
∈
R),
(x ­ 2),
2 + x2
n
nxn
n=1
n=1
∞
X
1 −n|x−n|
e
(x ∈ R),
n
n=1
∞
X
n2 x2 e−n
2
|x|
(x ∈ R).
n=1
P∞
17. Pokaż, że funkcja f (x) = k=1 log(1+kx)
ma pochodne wszystkich rzędów.
kxk
x n −2x
18. Pokaż, że ciąg ϕn (x) = (1 + x ) e
jest zbieżny monotonicznie i jednostajnie.
P∞ (−1)n
19. Pokaż, że szereg n=1 nx jest zbieżny jednostajnie na [1, ∞).