15. Zadania z analizy B, ćwiczenia 26/03, kolokwium 01
Transkrypt
15. Zadania z analizy B, ćwiczenia 26/03, kolokwium 01
#15. Zadania z analizy B, ćwiczenia 26/03, kolokwium 01/04 1. Zbadaj jednostajną zbieżność ciągów funkcjyjnych a) fn (x) = xn (1 − xn ) na [0, 1], b) 1 na (0, 1]. fn (x) = nx 1 2. Udowodnij, że funkcje a) f (x) = 1+|x| na R, b) g(x) = e−x na [0, ∞), c) h(x) = xx sin x na [0, 1] są jednostajnie ciągłe. 3. Udowodnij, że funkcja f ciągła na R i mająca granice liczbowe w ±∞ jest jednostajnie ciągła. 4. Niech un ⇒ u na I i niech v ∈ C(I) będzie ograniczona. Pokaż, że vun ⇒ vu. P∞ n P∞ 2n sinn x , 5. Określ obszar zbieżności bezwzględnej i warunkowej szeregów: n=1 n=1 xn , n2 P∞ P∞ P∞ n32n n xn −nx n , n=1 1−xn , n=1 2n x (1 − x) . n=1 ne P∞ 6. Pokaż, że jeśli szereg Dirichleta n=1 nanx jest zbieżny dla pewnego x = x0 , to jest zbieżny jednostajnie dla x x0 . P∞ P∞ 7. Określ obszar zbieżności szeregów Newtona: n=1 nx , n=1 n1p nx . 8. Niech f : [a, b] → R będzie dowolną funkcją. Niech fn (x) = [nfn(x)] . Pokaż, że fn dąży jednostajnie do f na [a, b]. 9. Posługując się kryterium Weierstarassa, udowodnij, że podane szeregi są jednostajnie zbieżn P∞ P∞ P∞ 2 −nx nx ne: n=1 (−1) , (x 0). n=1 1+n5 x2 , (x ∈ R); n=1 x e x+2n , (−1 < x < ∞); P∞ sin kx 10. Wykaż, że funkcja f (x) = k=1 k3 jest ciągła i ma ciągła pochodną w R. P∞ 11. Wykaż, że funkcja f (x) = n=1 sinnxnx w obszarze x > 2 jest ciągła i ma ciągłą pochodną. 12. Uzasadnij jednostajną zbieżność podanych szeregów za pomocą kryteriów Abela i Dirichlen P∞ P∞ sin nx P∞ nx √ √(−1) , x 0. Dlaczeta: n=1 √cos , , 0 < δ ¬ x ¬ 2π − δ oraz 2 2 n=1 n=1 n+x n +x n(n+x) 13. 14. 15. 16. go pierwsze dwa szeregi nie są zbieżne jednostajnie na całym przedziale [0, 2π]? Podstaw xn = 1/n. q 1 0 2 Niech fn (x) = n + x . Pokaż, że ciągi funkcyjne {fn } i {fn } są zbieżne punktowo, ale 0 nieprawdą jest, że limn→∞ fn (x) = limn→∞ fn0 (x), x ∈ R. P∞ xn Udowodnij, że szereg n=1 1+x 2n jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale [−η, η], gdzie 0 < η < 1, ale nie w (−1, 1). P∞ P∞ P∞ Określ obszar zbieżności szeregów: n=1 n2 sinn x, n=1 3n sin 4n1x , n=1 nxe−nx , P P∞ P P ∞ ∞ ∞ n 1 xn 2n +xn n=1 log (x + 2), n=1 1+xn , n=1 1+xn , n=1 1+3n xn . Udowodnij, że podane niżej szeregi są jednostajnie zbieżne: ∞ ∞ X X sin nx log(1 + nx) (x ∈ R), (x 2), 2 + x2 n nxn n=1 n=1 ∞ X 1 −n|x−n| e (x ∈ R), n n=1 ∞ X n2 x2 e−n 2 |x| (x ∈ R). n=1 P∞ 17. Pokaż, że funkcja f (x) = k=1 log(1+kx) ma pochodne wszystkich rzędów. kxk x n −2x 18. Pokaż, że ciąg ϕn (x) = (1 + x ) e jest zbieżny monotonicznie i jednostajnie. P∞ (−1)n 19. Pokaż, że szereg n=1 nx jest zbieżny jednostajnie na [1, ∞).