Szacowanie ryzyka zmian cen akcji metodČ podziaďu pola

Problemy ZarzÈdzania, vol. 10, nr 4 (39), t. 1: 178 – 187
ISSN 1644-9584, © Wydziaï ZarzÈdzania UW
DOI 10.7172.1644-9584.39.11
Szacowanie ryzyka zmian cen akcji
metodÈ podziaïu pola
Grzegorz Przekota
W pracy podjÚto problem szacowania ryzyka zmian cen akcji. Najbardziej
popularne sÈ miary klasyczne: wariancja, odchylenie standardowe oraz wspóïczynnik zmiennoĂci. WĂród miar nieklasycznych najbardziej popularny jest
wymiar fraktalny, w tym wykïadnik Hursta. W pracy zaproponowano alternatywny sposób liczenia wymiaru fraktalnego szeregów czasowych. OkreĂla on,
jak silnie szereg czasowy wypeïnia swojÈ przestrzeñ, i sïuĝy miÚdzy innymi do
charakteryzowania szeregów danych gieïdowych ze wzglÚdu na stopieñ „postrzÚpienia”. Wymiar fraktalny obliczano dla szeregów czasowych notowañ indeksów gieïdowych WIG i WIG20 w latach 2008–2011. Otrzymane wyniki ïatwo
moĝna interpretowaÊ oraz odnieĂÊ je do prezentacji graficznej szeregu, co jest
waĝne w praktycznych zastosowaniach.
1. WstÚp
W klasycznej teorii analizy ryzyka cen akcji stosuje siÚ popularne narzÚdzia statystyczne: wariancjÚ, odchylenie standardowe, wspóïczynnik zmiennoĂci czy semiodchylenie standardowe (Jajuga i Jajuga 2006: 182–187).
Praktyczna skutecznoĂÊ tych miar jest bezdyskusyjna, chociaĝ warto zwróciÊ
uwagÚ na fakt, iĝ dla cen akcji najwïaĂciwszÈ z wymienianych miar bÚdzie
wspóïczynnik zmiennoĂci, gdyĝ wartoĂÊ odchylenia standardowego zaleĝy
od poziomu cen, natomiast dla szeregów stóp zwrotu najwïaĂciwszÈ miarÈ
bÚdzie odchylenie standardowe.
Warto jednak poszukiwaÊ takĝe innych rozwiÈzañ. Mniej popularne sÈ
narzÚdzia teorii chaosu. NarzÚdzia pochodzÈce z teorii chaosu nie sÈ jeszcze powszechnie stosowane wĂród badaczy, gïównie ze wzglÚdu na trudnoĂci powstajÈce przy obliczaniach oraz czÚste niejasnoĂci interpretacyjne.
Niniejsza praca ma na celu przedstawienie jednego z narzÚdzi teorii chaosu – wymiaru fraktalnego. JednÈ z najpopularniejszych metod szacowania
wymiaru fraktalnego jest metoda wariacyjna VM (Dubuc i in. 1989: 1506).
Jej rozwiniÚciem jest metoda segmentowe-wariacyjna SVM zaproponowana
przez ZwolankowskÈ (2001: 63). W pracy zaprezentowano autorskÈ metodÚ
szacowania wymiaru fraktalnego metodÈ podziaïu pola.
178
Problemy ZarzÈdzania
Szacowanie ryzyka zmian cen akcji metodÈ podziaïu pola
2. Wymiar fraktalny szeregów czasowych
Geometria euklidesowa podaje wymiar przestrzeni, w której umieszczony jest szereg czasowy. PrzestrzeniÈ tÈ jest pïaszczyzna o wymiarze
euklidesowym – 2. RozpatrujÈc natomiast trajektoriÚ szeregu czasowego
jako ïamanÈ, otrzymujemy wymiar euklidesowy – 1. OdchodzÈc od wymiaru
euklidesowego, moĝna zauwaĝyÊ, ĝe wykres szeregu czasowego nie wypeïnia
caïej pïaszczyzny, na której zostaï umieszczony, zatem jego wymiar bÚdzie
mniejszy od 2 i róĝny od l, gdyĝ jest to wymiar euklidesowy prostej, a szeregi
czasowe nie majÈ na ogóï ksztaïtu linii prostej.
RozwiÈzaniem tej niedogodnoĂci jest wymiar fraktalny, scharakteryzowany przez Petersa: „Wymiar fraktalny, który opisuje, w jaki sposób obiekt
(lub szereg czasowy) wypeïnia swojÈ przestrzeñ, jest wynikiem wszystkich
czynników wpïywajÈcych na system, którego wytworem jest dany obiekt
(szereg czasowy)” (Peters 1997: 58).
Wymiar fraktalny oznacza siÚ przez D i nie musi on byÊ liczbÈ caïkowitÈ.
Dla wykresów szeregów czasowych przyjmuje wartoĂci z przedziaïu <1; 2>.
WartoĂÊ l wymiar szeregu czasowego przyjmowaÊ bÚdzie wówczas, gdy wykres
bÚdzie miaï ksztaït linii prostej, a wartoĂÊ 2, gdy bÚdzie wypeïniaÊ pewien
obszar dwuwymiarowy na pïaszczyěnie. W praktyce wartoĂci skrajne nie
sÈ osiÈgane.
Skoro wymiar fraktalny ma opisywaÊ, jak szereg czasowy wypeïnia obszar,
innymi sïowy, jak zagÚszcza siÚ na pïaszczyěnie, to wiÚksze zagÚszczenie
powodowaÊ bÚdzie zwiÚkszony wymiar fraktalny, a mniejsze zagÚszczenie
spowoduje mniejszy wymiar fraktalny. Dla szeregów czasowych oznacza
to, ĝe czÚste zmiany w róĝnych kierunkach bÚdÈ powodowaÊ zwiÚkszenie
wymiaru i szereg bÚdzie bardziej wypeïniaï pïaszczyznÚ, a szeregi jednokierunkowe, z maïÈ liczbÈ zmian, bÚdÈ miaïy mniejsze wymiary fraktalne, ich
ksztaïty zaĂ bÚdÈ bardziej zbliĝone do ksztaïtu prostej. Szeregi, w których
wystÚpujÈ czÚste zmiany w róĝnych kierunkach, charakteryzuje zjawisko
powrotu do Ăredniej, a szeregi o maïej liczbie zmian – zjawisko podtrzymania
trendu. Odpowiednie wnioski moĝna jednak wysnuÊ dopiero po obserwacji
danych empirycznych.
Przykïad zastosowania wymiaru fraktalnego do zjawisk naturalnych
podaje Mandelbrot (1983). Problem dotyczy pomiaru dïugoĂci linii brzegowej. Wynik zaleĝy od dïugoĂci miarki: im miarka jest krótsza, tym wynik
dokïadniejszy, gdyĝ pozwala uchwyciÊ wiÚcej krzywizn. Wymiar fraktalny
umoĝliwia odpowiedě na pytanie, jak postrzÚpione sÈ linie brzegowe. Im linie
brzegowe sÈ bardziej postrzÚpione, tym ich wymiar fraktalny jest wiÚkszy.
E. Peters podaje np. wymiar fraktalny linii brzegowej Norwegii – 1,52 i linii
brzegowej Wielkiej Brytanii – 1,26 (Peters 1997: 60). Wynik ten jest zgodny
z obserwacjÈ mapy – linia brzegowa Norwegii jest bardziej postrzÚpiona od
linii brzegowej Wielkiej Brytanii, a wiÚc jej wymiar fraktalny jest wiÚkszy
i bardziej zbliĝony do 2.
vol. 10, nr 4 (39), t. 1, 2012
179
Grzegorz Przekota
3. Geometryczny sposób wyznaczenia
wymiaru fraktalnego
Jeden ze sposobów znalezienia wymiaru fraktalnego szeregów czasowych podaje E. Peters (1997). Wymiar fraktalny ustala siÚ, mierzÈc stopieñ
postrzÚpienia linii. Naleĝy policzyÊ liczbÚ kóï o okreĂlonej Ărednicy, które
potrzebne sÈ do pokrycia caïej linii. NastÚpnie trzeba zmniejszyÊ ustalonÈ
ĂrednicÚ kóï i powtórzyÊ obliczenia. Po przeprowadzeniu odpowiedniej liczby
takich operacji moĝna zauwaĝyÊ, ĝe liczba kóï jest zwiÈzana wykïadniczo
zb dïugoĂciÈ promienia kóï nastÚpujÈcÈ relacjÈ:
Nr = (2r)D,
(1)
gdzie:
Nr – najmniejsza liczba kóï przy ustalonym r,
r – promieñ,
D – wymiar fraktalny.
StÈd wymiar fraktalny D jest wspóïczynnikiem kierunkowym prostej
regresji:
(2)
log Nr = Dlog(2r).
Jest to jednak maïo efektywny sposób wyliczenia wymiaru fraktalnego,
gdyĝ wymaga wielu geometrycznych konstrukcji. Podobnie liczy siÚ wymiar
fraktalny metodÈ pudeïkowÈ BCM, z tym ĝe zamiast kóï zlicza siÚ kwadraty ob okreĂlonej dïugoĂci boku potrzebne do pokrycia wykresu szeregu
czasowego.
4. Szacowanie ryzyka metodÈ podziaïu pola
Autorska metoda szacowania wymiaru fraktalnego przedstawiona
wb niniejszym opracowaniu ïÈczy elementy metod segmentowo-wariacyjnej
oraz tradycyjnych metod geometrycznych. Podobnie jak w metodzie segmentowo-wariacyjnej wykres szeregu czasowego pokrywany bÚdzie przez
prostokÈty, samo szacowanie wymiaru fraktalnego bÚdzie natomiast odbywaÊ
siÚ poprzez szacowanie wspóïczynnika regresji, podobnie jak w metodach
geometrycznych.
Naleĝy zaïoĝyÊ, ĝe ma siÚ do dyspozycji kawaïek pïaszczyzny w ksztaïcie
prostokÈta o podstawie a i wysokoĂci b. Pole tego prostokÈta bÚdzie wynosiÊ
P = ab (rysunek 1). ProstokÈt ten zostanie podzielony na poïowy, dlatego teĝ
pole P nazwiemy pierwotnym (przed podziaïem). NastÚpnie dzieli siÚ pierwotny prostokÈt na dwie równe czÚĂci pionowÈ prostÈ (rysunek 2). ’Èczne
pole powstaïych dwóch prostokÈtów bÚdzie wynosiÊ p i p = P, poniewaĝ:
a
a
2ab
2 $ b + 2 $ b = 2 = ab = P .
180
(3)
Problemy ZarzÈdzania
Szacowanie ryzyka zmian cen akcji metodÈ podziaïu pola
b
a
P=ab
Rys. 1. ProstokÈt o polu P. ½ródïo: opracowanie wïasne.
b
a/2
a/2
P=ab
Rys. 2. ProstokÈt o polu P po podziale. ½ródïo: opracowanie wïasne.
Kolejne przepoïawianie prostokÈtów nie zmieni faktu, ĝe suma pól zawsze
bÚdzie wynosiÊ P. Oznacza to, ĝe suma pól P po podziale prostokÈta na
dowolnÈ liczbÚ równych prostokÈtów pionowymi liniami bÚdzie taka sama,
jak suma pól p po podziale dwukrotnie gÚstszym od danego (pierwotnym
moĝe byÊ podziaï np. na trzy prostokÈty, a nastÚpny na szeĂÊ). Zatem dla
dowolnego podziaïu zachodzi tutaj zwiÈzek:
P
p = 2$ 2.
(4)
W prostokÈcie naleĝy umieĂciÊ wykres szeregu czasowego.
Rys. 3. Szereg czasowy na pïaszczyěnie. ½ródïo: opracowanie wïasne.
Niech szereg czasowy ma dïugoĂÊ N, wtedy pole obszaru zajmowanego
przez szereg moĝna wyliczyÊ nastÚpujÈco:
P = N $ ^ x max - x minh ,
(5)
gdzie: xmax i xmin sÈ odpowiednio najwiÚkszÈ i najmniejszÈ wartoĂciÈ wbszeregu.
vol. 10, nr 4 (39), t. 1, 2012
181
Grzegorz Przekota
Naleĝy podzieliÊ prostokÈt, zajmowany przez szereg czasowy, pionowÈ
prostÈ na poïowy i znaleěÊ sumÚ pól p powstaïych poïówek, stosujÈc wzór
(5) do kaĝdej poïówki:
N
N
p = 2 $ ^ x max - x min h + 2 $ ^ x max - x min h .
1
1
2
2
(6)
PomiÚdzy p a P zachodzi nierównoĂÊ:
p m P.
(7)
PowtarzajÈc czynnoĂÊ przepoïawiania skoñczonÈ iloĂÊ razy, za kaĝdym
razem okaĝe siÚ, ĝe suma pól poïówek w stosunku do sumy pól pierwotnych
jest od nich niewiÚksza. Oznacza to, ĝe przy dowolnym podziale pierwotnym
na k czÚĂci pole zajmowane przez wykres szeregu bÚdzie wynosiÊ:
k
N
Pk = k / ^ x max - x min h ,
i
i
i 1
=
(8)
a przy podziale na 2k czÚĂci:
2k
N
p 2k = 2k / ^ x max - x min h .
i
i
i=1
(9)
PomiÚdzy Pk i p2k zachodzi nierównoĂÊ:
P
p 2k # 2 $ 2k .
(10)
RównoĂÊ we wzorze (10) zachodzi jedynie dla wykresów szeregów czasowych caïkowicie wypeïniajÈcych swojÈ pïaszczyznÚ. Jeĝeli szereg bÚdzie
miaï ksztaït linii prostej, to pomiÚdzy p a P zachodziÊ bÚdzie równoĂÊ:
P
p 2k = 1 $ 2k .
(11)
RównoĂÊ ta zachodzi takĝe dla ïamanej poczÈwszy od pewnego podziaïu.
Dla dowolnego szeregu:
P
p 2k = D $ 2k ,
(12)
gdzie: D zawieraÊ siÚ bÚdzie w przedziale <1;b2> i bÚdzie tym wiÚksze, im
ksztaït trajektorii szeregu czasowego bÚdzie bardziej postrzÚpiony, czyli im
czÚĂciej w szeregu wystÚpowaÊ bÚdzie zmiana trendów na przeciwne. WartoĂÊ
D natomiast bÚdzie tym bliĝsza 1, im ksztaït szeregu bliĝszy bÚdzie prostej,
czyli im mniej bÚdzie w szeregu zmian trendów na przeciwne. JeĂli wbukïadzie wspóïrzÚdnym na osi x bÚdzie siÚ odkïadaÊ wartoĂci P/2, a na osi y
wartoĂci p, to wartoĂÊ D bÚdzie wspóïczynnikiem regresji prostej oszacowanej
182
Problemy ZarzÈdzania
Szacowanie ryzyka zmian cen akcji metodÈ podziaïu pola
dla punktów (P/2; p). Tak zdefiniowania wartoĂÊ D moĝe byÊ traktowana
jako miara postrzÚpienia szeregów, czyli jako wymiar fraktalny szeregów.
W praktycznym zastosowaniu dla danych gieïdowych na podstawie wartoĂci wymiaru fraktalnego moĝna wnioskowaÊ o ryzyku inwestycyjnym.
Przykïad 1. Zakïada siÚ, ĝe szereg o N=100 ma nastÚpujÈcÈ postaÊ: 1,
2, 1, 2, 1, 2 itd. Dla caïego szeregu N=100, xmax=2, xmin=1, stÈd P=100.
Po przepoïowieniu szeregu otrzymuje siÚ dwa szeregi dïugoĂcib 50, w których xmax=2, xmin=1. Pole kaĝdego jest równe 50, a suma p=100. Szeregi
dïugoĂci 50 sÈ z kolei pierwotnymi dla szeregów dïugoĂcib 25, wb których
xmax=2, xmin=1, a stÈd pole kaĝdego prostokÈta jest równe 25, absuma 100.
Jest to jeden z moĝliwych podziaïów szeregu dïugoĂci 100 na poïowy. Drugi
podziaï to podziaï najpierw na szeregi dïugoĂci 20, potem 10, a nastÚpnie
5. W kaĝdym z tych przypadków suma pól równa jest 100. PrzeprowadzajÈc
oszacowanie wymiaru fraktalnego D, dostajemy wartoĂÊ 2, co jest równoznaczne z tym, ĝe powyĝszy szereg zajmuje caïÈ swojÈ pïaszczyznÚ, a to
oznacza takĝe, ĝe mamy do czynienia ze zjawiskiem powrotu do Ăredniej.
N
N/2
P
p
100
50
100
100
50
25
100
100
20
10
100
100
10
5
100
100
Tab. 1. Pola zajmowane przez szereg w kolejnych podziaïach szeregu z przykïadu 1.
½ródïo: opracowanie wïasne.
Przykïad 2. Zakïada siÚ, ĝe szereg o N=100 ma nastÚpujÈcÈ postaÊ: 1,
2, 3, 4 itd. Dla caïego szeregu N=100, xmax=100, xmin=1, stÈd P=9900. Po
przepoïowieniu szeregu otrzymujemy dwa szeregi dïugoĂci 50, w pierwszym
xmax=50, xmin=1, w drugim xmax=100, xmin=51, a stÈd pole kaĝdego jest
równe 2450, a suma p=4900. Szeregi dïugoĂci 50 sÈ zbkolei pierwotnymi dla
szeregów dïugoĂci 25, w których kaĝde pole równe 600, a suma p=2400 (przy
polu pierwotnym P=4900, dla N=50). Jest to jeden z moĝliwych podziaïów
szeregu dïugoĂci 100 na poïowy. Drugi podziaï to podziaï najpierw na szeregi
dïugoĂci 20, potem 10, a nastÚpnie 5. Wyniki tych podziaïów umieszczono
w tabeli 2. PrzeprowadzajÈc oszacowanie wymiaru fraktalnegobD, otrzymuje
siÚ dla takich danych wartoĂÊ 0,9861, co jest równoznaczne zbtym, ĝe wykres
szeregu stanowi liniÚ prostÈ. Oznacza to równieĝ zjawisko jednokierunkowego trendu. Gdyby dopuĂciÊ wszystkie wartoĂci rzeczywiste leĝÈce na linii
prostej, wartoĂÊ D byïaby równab1. WartoĂÊ 1 oznacza liniÚ prostÈ i nie jest
osiÈgana dla szeregów innego typu.
vol. 10, nr 4 (39), t. 1, 2012
183
Grzegorz Przekota
N
N/2
P
p
100
50
9 900
4 900
50
25
4 900
2 400
20
10
1 900
900
10
5
900
400
Tab. 2. Pola zajmowane przez szereg w kolejnych podziaïach szeregu z przykïadu 2.
½ródïo: opracowanie wïasne.
5. Wymiar fraktalny dla szeregu cen i stóp zwrotu
WIG i WIG20
Praktyczne zastosowanie wymiaru fraktalnego pokazano na przykïadzie
wartoĂci indeksów gieïdowych WIG i WIG20 oraz stóp zwrotu tych indeksów w latach 2008–2011. Na rysunku 4 przedstawiono ksztaïtowanie siÚ
wartoĂci indeksu WIG oraz stopy zwrotu tego indeksu w badanym okresie,
a na rysunku 5 ksztaïtowanie siÚ wartoĂci indeksu WIG20 oraz stopy zwrotu
tego indeksu w tym samym okresie.
pkt
55 000
50 000
45 000
40 000
35 000
30 000
25 000
20 000
2008
2009
2010
2011
rok
%
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
2008
2009
2010
2011
rok
Rys. 4. WartoĂci i stopy zwrotu indeksu WIG w latach 2008–2011. ½ródïo: opracowanie
wïasne na podstawie danych GPW.
184
Problemy ZarzÈdzania
Szacowanie ryzyka zmian cen akcji metodÈ podziaïu pola
pkt
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
2008
%
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
2008
2009
2009
2010
2010
2011
2011
rok
rok
Rys. 5. WartoĂci i stopy zwrotu indeksu WIG20 w latach 2008–2011. ½ródïo: opracowanie
wïasne na podstawie danych GPW.
Obserwacja ksztaïtu szeregu wartoĂci indeksów WIG i WIG20 wskazuje na wyraěne podobieñstwa, tj. punkty zwrotne wystÚpujÈ w podobnym
czasie, trendy majÈ podobnÈ siïÚ i dïugoĂÊ. Gdyby scharakteryzowaÊ te
szeregi odchyleniem standardowym (tabela 3), to dla indeksu WIG otrzymano 7361,77, a dla WIG20b409,08. Tak duĝa róĝnica jest wynikiem innego
poziomu wartoĂci tych indeksów. Pomiar wspóïczynnikiem zmiennoĂci wskazuje na wyĝszÈ wzglÚdnÈ zmiennoĂÊ wartoĂci indeksu WIG niĝ WIG20 –
jest to odpowiednio 18,4% i 17,1%. Ryzyko zatem lepiej tutaj przedstawiÊ
za pomocÈ wspóïczynnika zmiennoĂci. Dla tych danych wyznaczono takĝe
wymiar fraktalny D szacowany metodÈ podziaïu pola; wyniósï on odpowiednio 1,4218 oraz 1,4119. Takie wyniki z jednej strony potwierdzajÈ podobieñstwo w ksztaïtowaniu siÚ wartoĂci indeksów WIG i WIG20, ale dodatkowo,
znajÈc zakres wymiaru fraktalnego <1;b 2>, moĝna powiedzieÊ, iĝ mamy
tutaj do czynienia z przeciÚtnie silnym zjawiskiem podtrzymania trendu.
W tabeli 4 zaprezentowano charakterystyki dla szeregu czasowego stóp
zwrotu indeksów WIG i WIG20. Dla indeksu WIG otrzymano odchylenie
standardowe na poziomie 1,5991%, dla indeksu WIG20 1,9082%. Wynika
stÈd, iĝ ryzyko zmiany wartoĂci stopy zwrotu indeksu WIG20 jest znaczÈco
vol. 10, nr 4 (39), t. 1, 2012
185
Grzegorz Przekota
wyĝsze niĝ dla indeksu WIG, tymczasem obserwacja ksztaïtu szeregów stóp
zwrotu wskazuje na doĂÊ duĝe podobieñstwo. Wynik z wymiaru fraktalnego
to odpowiednio 1,6998 oraz 1,7088 i tutaj mamy informacjÚ o wyraěnym
podobieñstwie tych szeregów. JednoczeĂnie wartoĂci wymiaru fraktalnego
wskazujÈ, iĝ w szeregach stóp zwrotu wystÚpuje silne zjawisko oscylacji
wokóï poziomu Ăredniego.
Statystyka
¥rednia
Odchylenie standardowe
Wspóïczynnik zmiennoĂci
Wymiar fraktalny
WIG
WIG20
39 913,83
2 389,02
7 361,77
409,08
18,4%
1,4218
17,1%
1,4119
Tab. 3. Charakterystyki dla szeregu wartoĂci indeksów WIG i WIG20. ½ródïo: obliczenia
wïasne.
Statystyka
¥rednia
WIG
WIG20
–0,0165%
–0,0221%
Odchylenie standardowe
1,5991%
1,9082%
Wspóïczynnik zmiennoĂci
–
–
Wymiar fraktalny
1,6998
1,7088
Tab. 4. Charakterystyki dla szeregu stóp zwrotu indeksów WIG i WIG20. ½ródïo: obliczenia
wïasne.
6. Podsumowanie
Analiza zaprezentowanych przykïadów dostarcza bardzo ciekawych informacji. Moĝna zauwaĝyÊ kilka prawidïowoĂci. Szeregi bardziej postrzÚpione
majÈ wyĝsze wymiary fraktalne od szeregów mniej postrzÚpionych. Szeregi
obprzewaĝajÈcym trendzie bocznym majÈ wyĝsze wymiary fraktalne od szeregów o wyraěnym trendzie wzrostowym lub spadkowym. OczywiĂcie te dwie
informacje przenikajÈ siÚ wzajemnie, gdyĝ na odcinku o tej samej dïugoĂci
szereg o trendzie bocznym najczÚĂciej jest bardziej postrzÚpiony od szeregu
o wyraěnym trendzie, a to ze wzglÚdu na czÚstszÈ liczbÚ zmian w róĝnych
kierunkach. Szereg taki bardziej upodabnia siÚ do szeregu rozpatrywanego
w przykïadzie l, a wiÚc szeregu wypeïniajÈcego bardziej zajmowany obszar,
a co z tym idzie do szeregu, w którym wystÚpuje zjawisko powrotu do
Ăredniej. Szeregi o wyraěnym trendzie wzrostowym lub spadkowym upodabniajÈ siÚ natomiast bardziej do prostej analizowanej w przykïadzie 2,
dlatego ich wymiary fraktalne sÈ mniejsze. OczywiĂcie siïa takiego trendu
moĝe byÊ róĝna.
W praktyce wymiar fraktalny moĝe byÊ traktowany jako miara ryzyka
inwestycyjnego. JeĂli ryzyko zdefiniujemy jako zmiennoĂÊ i przyjmiemy, ĝe
186
Problemy ZarzÈdzania
Szacowanie ryzyka zmian cen akcji metodÈ podziaïu pola
wiÚksza zmiennoĂÊ oznacza wiÚksze ryzyko, to niĝsze wartoĂci wymiaru fraktalnego bÚdÈ oznaczaÊ niĝsze ryzyko, a wyĝsze wartoĂci wymiaru fraktalnego
wyĝsze ryzyko. Warto takĝe zwróciÊ uwagÚ na fakt, iĝ miara ta moĝe byÊ
z powodzeniem stosowana zarówno dla szeregów cen, jak i stóp zwrotu.
OczywiĂcie nie ma sensu porównywanie wymiaru fraktalnego szeregu cen
ibszeregu stóp zwrotu, bo wiadomo, ĝe ten drugi w praktyce zawsze bÚdzie
miaï wiÚkszy wymiar. PorównywaÊ naleĝy ten sam typ szeregu (albo cen
albo stóp zwrotu) dla róĝnych papierów wartoĂciowych. JednÈ z najwaĝniejszych zalet wymiaru fraktalnego jest jego prosta interpretacja graficzna, co
moĝe byÊ z powodzeniem wykorzystane nawet przez mniej doĂwiadczonych
inwestorów.
Informacje o autorze
Dr Grzegorz Przekota – Instytut Ekonomii i ZarzÈdzania, Politechnika Koszaliñska. E-mail: [email protected].
Bibliografia
Dubuc, B., RoÈues-Carmes, J.F., Tricot, C. i S.W. Zucker 1989. Evolving the Fractal
Dimension of Profiles. Physical Review, nr 39.
Jajuga, K. i T. Jajuga 2006. Inwestycje, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Mandelbrot, B. 1983. The Fractal Geometry of Nature. American Journal of Physics,
nrb 3 (51), DOI: 10.1119/1.13295.
Peters, E.E. 1997. Teoria chaosu a rynki kapitaïowe, Warszawa: WIG-Press.
Zwolankowska, M. 2001. Fraktalna geometria polskiego rynku akcji. Rozprawy i Studia,
t. 382, Uniwersytet Szczeciñski.
vol. 10, nr 4 (39), t. 1, 2012
187