1 Algebra I - e-WMP

1
Algebra I
22 lutego 2012
Liczby zespolone, postać trygonometryczna.
1. Przedstawić w postaci a + bi następujące liczby zespolone:
1−i
,
1+i
(3 + 4i)(2 − i) + (−5 − 7i)(−2 − 3i),
2−i
,
3 + 4i
(1 − i)2 ,
−
√ 1
3 3
+
i
2
2
(1 + 3i)(8 − i)
.
(2 + i)2
(1 + i)(1 − i) + (−1 + i)(−1 − i),
2. Wyznaczyć liczby rzeczywiste x, y spełniające równania:
x + yi
9 − 2i
=
x − yi
9 + 2i
1 + yi
= 3i − 1,
x − 2i
(1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i,
3. Rozwiązać układy równań:
(
(1 + i)z1 + (2 − i)z2 = 2 − i
(
(1 − i)z1 − (3 + i)z2 = −3 + 3i
,
iz1 + (1 + i)z2 = 2 + 2i
2iz1 + (3 + 2i)z2 = 5 + 3i
4. Znaleźć pierwiastki kwadratowe z liczb: 2i, 2 + i, −1 + 3i, 5 − 12i.
5. Rozwiązać równania w ciele liczb zespolonych:
z 2 = i,
z 2 − z = −1,
z 2 − 6z + 13 = 0,
z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0.
6. Podać i udowodnić wzór na in , n ∈ N.
7. Udowodnić, że liczba zespolona z jest:
(a) liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z̄ = z.
(b) liczbą czysto urojoną wtedy i tylko wtedy, gdy z̄ = −z.
8. Wykazać, że:
z1 + z2 = z1 + z2 ,
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
z1 · z2 = z1 · z2 ,
z1 |z1 |
=
z2 |z2 | ,
Re(z) ¬ |z|,
z 1
z2
=
z1
,
z2
Im(z) ¬ |z|,
zz = |z|2 .
9. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające:
z = z2,
iz + (1 − 2i)z = 3 + i,
1+i
2 − 3i
=
,
z
z
2z + z = 6 − 5i,
zz + z − z = 5 + 2i,
i(z + z) + i(z − z) = 2i − 3.
10. Udowodnić, że dla każdych liczb zespolonych z1 , z2 prawdziwa jest tożsamość:
2
2
2
2
|z1 + z2 | + |z1 − z2 | = 2 |z1 | + |z2 | .
1
Definicja 1 Liczbę zespoloną z = a + bi, z 6= 0 można przedstawić w postaci trygonometrycznej
z = r(cos φ + i sin φ),
gdzie liczbę rzeczywistą r > 0 nazywamy modułem liczby z (r oznaczamy też przez |z|) i obliczamy
ze wzoru
p
r = a2 + b2 ,
natomiast liczbę rzeczywistą φ nazywamy argumentem liczby z, wyznaczamy ją (z dokładnością
do 2kπ, k ∈ Z) z równań
a
b
cos φ = ,
sin φ = .
r
r
Argument liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z. Argumentem głównym liczby z nazywamy ten argument, który leży w przedziale [0, 2π), oznaczamy go przez Arg z.
Twierdzenie 2 Niech z1 , z2 ∈ C, n, k ∈ Z. Zachodzą następujące związki:
(i) arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 + 2kπ,
(ii) arg( zz12 ) = arg z1 − arg z2 + 2kπ, dla z2 6= 0
(iii) arg(z1n ) = n arg z1 + 2kπ.
Twierdzenie 3 (Wzór de Moivre’a) Niech z 6= 0, n ∈ N
z n = |z|n (cos nφ + i sin nφ).
1. Podać interpretację geometryczną zbiorów
(a) {z ∈ C : z = (2 − i)t, 0 ¬ t ¬ 2}
(b) {z ∈ C : |z − 1 − 3i| = 2}
(c) {z ∈ C : |z + 1| + |z − 1| = 3}
(d) {z ∈ C : 0 < 2 Re z < Im z < 3}
(e) {z ∈ C : |z 2 + 9| ¬ |z + 3i|}
(g) {z ∈ C : Re(z + 1) < 0 ∧ |i − z| ¬ 3}
(i) {z ∈ C :
π
< arg(z 3 ) < π}
2
z2 − 1
(f) {z ∈ C : Im
> 0}
z−2
z − 2i (h) {z ∈ C : < 1}
z+1
π
z−1
3π
(j) {z ∈ C : < arg
<
}
4
z−i
4
2. Zbadać i narysować zbiór f −1 (S) := {z : f (z) ∈ S}, jeśli
(a) S := {z ∈ C : Re z > 0}, f (z) := z 3
(b) S := {z ∈ C : |z| < 1}, f (z) :=
2z−3i
3z+2i
3. Zbadać i narysować zbiór f (S) := {f (z) : z ∈ S}, jeśli
(a) S := {z ∈ C : Re z > 0, Im z > 0}, f (z) :=
(b) S := {z ∈ C : |z| ¬ 2}, f (z) :=
z−i
z+1
z−3i
z+4
z+i
4. Niech K := {z ∈ C : |z − 1| ¬ 1}, f (z) := z−i
. Znaleźć i narysować zbiór f (K) oraz
wyznaczyć maksymalną wartość |f (z)| dla z ∈ K.
√
5. Przedstawić√w postaci√trygonometrycznej
liczby zespolone: 1, −2, i, −3i, 1 + i, 3 − i, −2 +
√
√
2i, 1 − (2 + 3)i, 1 − 3 + i(1 + 3), 2 + 3 + i.
6. Pokazać, ze (a + bi)/(a − bi) ma moduł 1 bez obliczania tego iloczynu.
√
√
√
7. Wyznaczyć wszystkie wartości wyrażeń: 1 + i, 3 i, 5 −i
√
√
√
2i3 (1−i)15
3 100
√
8. Obliczyć: (2 3 − 2i)30 , ( 1−i
, (1 − i)50 ( 3 + i)60 , −3(−i)
,
5 (−1+i 3)9
1−i )
2
√ 1−i 3 n
.
2
9. Wyrazić:
(a) cos 3x przez funkcję cos x
(b) sin 3x przez funkcję sin x
(c) sin 4x przez funkcje sin x i cos x
(d) ctg 5x przez funkcję ctg x
10. Wykorzystując wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego obliczyć:
(a) 1 + cos x + cos 2x + · · · + cos nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R
(b) 1 + sin x + sin 2x + · · · + sin nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R
11. Udowodnić stosując zasadę indukcji matematycznej wzór:
z + 2z 2 + · · · + nz n = z
1 − (n + 1)z n + nz n+1
,
(1 − z)2
a następnie znaleźć wzory na sumy:
(a) cos x + 2 cos 2x + · · · + n cos nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R
(b) sin x + 2 sin 2x + · · · + n sin nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R
3