ZADANIA PL

Programowanie liniowe
Zadanie 1
Dany jest mostek przedstawiony na rys. zawierający pięć rezystorów. Rezystancje, napięcia
oraz prądy na poszczególnych rezystorach podano w tab.1. Prądy płynące przez rezystory
dodatkowo muszą spełniać nierówność:
Ii  i  Ii  Ii  i
Dobrać wartości rezystancji w taki sposób, by całkowita moc rozproszona na mostku była
minimalna. Schemat mostka przedstawiono na rys.1.
Tab. 1 Zakresy prądów na poszczególnych rezystorach
i
1
2
3
4
5
Ui [V]
6
10
4
7
3
Ii [mA]
4
2
2
2
4
Δi [mA]
1
1
1
1
?
R4
R
1
I4
I1
I3
I2
R2
R3
I5
R5
Rys. 1 Schemat mostka
Zadanie 2
Firma KANT i BUBEL zajmuję sie produkcją glebogryzarek spalinowych. W wyniku
przeprowadzonych badań rynku firma określiła zapotrzebowanie glebogryzarek na najbliższe
cztery miesiące. Ilościowa zdolność produkcyjna jest różna w poszczególnych miesiącach.
Jednostkowe koszty produkcji zmieniają sie w zależności od dostępnych środków produkcji
oraz dostępnej siły roboczej. Oczywiście firma posiada magazyn w którym może
przechowywać wyprodukowany produkt i sprzedać go w kolejnych miesiącach. W takim
przypadku jednak firma musi ponieść koszty magazynowania proporcjonalne do czasu
przechowywania (liczonego w miesiącach) i ilości przechowywanego produktu. Koszt
magazynowania produktu wyprodukowanego i sprzedanego w jednym miesiącu pomijamy.
W chwili przystąpienia do produkcji firma nie posiada żadnego zapasu produktu. Kierownik
zakłada też iż po czterech miesiącach produkcji nie będzie żadnego zapasu produktu.
Wszystkie dane liczbowe zebrano w tab.2.
Tab. 2 Dane charakteryzujące produkcje w firmie KANT i BUBEL
Miesiąc
Zapotrzebowanie
Zdolność
produkcyjna
1
2
3
4
20
30
50
40
40
50
50
50
Koszt
jednostkowy
produkcji
14
16
15
17
Jednostkowy
koszt
magazynowania
1
1
1
-
Na podstawie danych liczbowych określić wielkość produkcji w każdym z czterech miesięcy
aby zminimalizować łączne koszty.
Zadanie 3
Zakład ślusarski produkuje trzy rodzaje (A, B oraz C) części zamiennych do ciągników
rolniczych. Każdy z trzech rodzajów części musi przejść przez dział montażu , kontroli
jakości oraz pakowania. Liczbę godzin przeznaczoną na każdą część zamienną w każdym
dziale przedstawiono w tab. 3.
Dostępne tygodniowe moce przerobowe (w roboczogodzinach) wynoszą odpowiednio: 1800
dla montażu, 800 dla kontroli jakości oraz 700 dla pakowania. Sprzedaż poszczególnych
części zamiennych przynosi firmie zysk odpowiednio: A - 400 zł/szt., B - 300 zł/szt. oraz
C - 335 zł/szt.
Tab. 3 Zapotrzebowanie na roboczogodziny dla każdego rodzaju
części w zależności od procesu
Rodzaj części
A
B
C
Montaż Kontrola
jakości
0,30
0,10
0,50
0,08
0,25
0,12
Pakowanie
0,06
0,04
0,05
Określić tygodniowy plan produkcji maksymalizujący zysk.
Rozważyć również wariant w którym zakład ślusarski musi wyprodukować co najmniej 1000
szt. wyrobu A i B, oraz nie może więcej niż 1500 szt. wyrobu B i 3000 szt. wyrobu C.
Zadanie 4
Spółka składająca sie z czterech zakładów otrzymała zamówienie z czterech instytucji na
dostarczenie odpowiednio 27, 24, 35 i 34 maszyn drukarskich. Poszczególne zakłady mogą
wyprodukować odpowiednio 40 30 20 oraz 30 maszyn drukarskich. Sumaryczne koszty
produkcji i transportu przedstawiono w tab. 4.
Tab. 4 Zestawienie sumarycznych kosztów produkcji i transportu
Zakład/Instytucja
I1
I2
I3
I4
Z1
Z2
Z3
Z4
5
7
6
4
7
6
4
5
4
5
7
6
6
4
5
7
Zaprojektować dostawę maszyn drukujących tak aby łączy koszt maszyn był jak najmniejszy.
Zadanie 5
Firma WAR w ramach zlecenia ma przetestować trzy nowe systemy A, B, C naprowadzania
pocisków. Każdy jednorazowy test systemu naprowadzania wymaga jego instalacji,
sprawdzenia pocisku i systemu naprowadzania oraz odpalenia i przeprowadzenia czynności
dodatkowych. Czas trwania poszczególnych czynności przedstawiono w tab. 5.
Tab. 5 Zestawienie czasów trwania poszczególnych czynności
Czynność
Instalacja systemu
Sprawdzenie pocisku i
systemu
Odpalenie i czynności
dodatkowe
6
Czas trwania
10
6
10
6
4
2
2
2
Firma WAR ma na sprawdzenie systemów naprowadzania jeden miesiąc. W ciągu tego
jednego miesiąca firma musi sprawdzić co najmniej 2 systemy typu A, cztery typu B oraz
dwa typu C. Na każdy rodzaj czynności firma może przeznaczyć maksymalnie 160 roboczo
godzin. Za każdą próbę systemy firma otrzymuje odpowiednio 80 000, 120 000 oraz 40 000zł.
Określić optymalny, pod względem zysku, schemat testów. Ile wyniesie maksymalny zysk
firmy.
Zadanie 6
W firmie ODLEW produkowane są dwa rodzaje tulei A i B. Produkcja obu rodzaju tulei
wymaga wykonania operacji odlewania, toczenia i przygotowania. Pewna część operacji
odlewania można powierzyć zaprzyjaźnionej firmie. Firma może sprzedać nieograniczoną
liczbę tulei typu A w cenie 31 zł/szt. oraz nie więcej niż 1500 szt. tulei typu B w cenie 36
zł/szt. Koszty poszczególnych operacji przedstawiono w tab. 6.
Tab. 6 Koszty jednostkowe poszczególnych operacji dla dwóch rodzajów tulei
Koszt jednostkowy [zł/szt.]
odlewu na miejscu
odlewu przez kooperanta
obrabiania
przygotowania
Tuleja A
8
12
5
6
Tuleja B
12
14
3
5
Maksymalne zdolności przerobowe wynoszą odpowiednio 5000, 8000, 6000 min/ tydzień.
Czas poszczególnych czynności przedstawiono w tab. 7.
Tab. 7 Jednostkowe czasy operacyjne poszczególnych operacji
dla dwóch rodzajów tulei
Jednostkowy
czas
operacji [min/szt. ]
odlewanie
obrabianie
przygotowanie
Tuleja A
Tuleja B
5
8
4
10
4
3
Na podstawie powyższych danych określić wielkość produkcji zapewniającą największy
zysk.
Zadanie 7
Firma produkcyjna otrzymała kontrakt na dostawę komponentów (C114 i H118) dla
czeskiego producenta samochodów ciężarowych. W ramach kontraktu firma ma dostarczyć
w ciągu trzech miesięcy 1500 szt. C114 i 1700 szt. H118. Z racji innych zamówień konieczne
będzie wyprodukowanie określonej liczby komponentów w miesiącu 1, miesiącu 2 oraz
miesiącu 3 i ich przechowywanie do końca 3 miesiąca. Koszty jednostkowe produkcji
poszczególnych komponentów przedstawiono w tab. 8.
Tab. 8 Koszty jednostkowe produkcji poszczególnych komponentów w
poszczególnych miesiącach
Komponent
C114
H118
Miesiąc 1
30
70
Miesiąc 2
40
50
Miesiąc 3
40
50
Dostępność i zapotrzebowanie siły roboczej i stali przedstawiono w tab. 9.
Tab. 9 Dostępność surowców w poszczególnych miesiącach
Zasób
produkcyjny
Siła robocza [h]
Stal [kg]
Zapotrzebowanie na szt.
C114
H118
0,4
0,5
0,8
0,8
Miesiąc 1
500
1600
Możliwe dostawy
Miesiąc 2
750
100
Miesiąc 3
500
750
Określić wielkość produkcji każdego komponentu w każdym z trzech miesięcy. W kolejnym
etapie zmodyfikować funkcję celu uwzględniając koszty przechowywania na poziome 20%
kosztów produkcji w danym miesiącu. Dla uproszczenia przyjąć iż zapasy pojawiają sie na
końcu każdego miesiąca.
Zadanie 8
Firma posiada budżet reklamowy w wysokości 500 000 zł. Zamierza przeznaczyć go na
reklamę w telewizji, radiu i czasopismach. Reklama w telewizji kosztuje 50 000 zł i oczekuje
sie że dotrze do 300 000 potencjalnych klientów. Dla radia analogicznie 20 000 zł i 10 000
klientów a dla czasopism 2000zł i 50 000. Dyrektor chce mieć przynajmniej 2 ogłoszenia w
telewizji, 5 w radiu i 10 w czasopismach, ponadto ze względów marketingowych liczba
ogłoszeń w czasopismach nie może być większa niż 2,5 krotność sumarycznej liczby
ogłoszeń w radiu i telewizji. Określić strategię reklamową firmy przy założeniu ze firma
oczekuje iż reklama dotrze do jak największej liczby potencjalnych klientów.
Zadanie 9
Klient zainteresowany jest 5 rodzajami papierów wartościowych. Doradca skalkulował
oczekiwany zwrot każdego z nich. Zestawieni kalkulacji przedstawiono w tab. 10
Tab. 10 Zysk z poszczególnych rodzajów inwestycji
Rodzaj inwestycji
Elektronika
Petrochemia
Nieruchomości
Energia
Krótkoterminowe obligacje rządowe
Oczekiwany
roczny zwrot
13
9
12,5
10
8
Klient życzy sobie by nie mniej niż 40% kapitału ulokować na krótkoterminowych
obligacjach rządowych. Życzeniem klienta jest również by inwestycja była jak najbardziej
zróżnicowana - przynajmniej po 5% kapitału ulokowane na każdym rodzaju inwestycji,
jednak nie więcej niż 25% na każdym z 4 pierwszych rodzajów inwestycji. Doradca zaleca
by nie więcej niż 15% kapitału zainwestować w elektronikę oraz nieruchomości i nie więcej
niż 25% do obydwu razem. Określić udział procentowy kapitału w każdy rodzaj inwestycji
by zmaksymalizować zysk.
Zadanie 10
Firma GRAFFITI zajmuje sie produkcją elektrycznych rozpylaczy farb. Zapotrzebowanie na
rynku jest tak duże że firma nie jest w stanie zaspokoić potrzeb. Dyrektor firmy negocjuje
dostawy części przez firmę zewnętrzną. Problemem kierownika jest określenie liczby
poszczególnych części jaka ma dostarczyć firma zewnętrzna. Zapotrzebowanie rynku na
rozpylacze wynosi 500 szt. tygodniowo.
Produkowany rozpylacz składa sie ze zbiornika, dyszy, silnika i obudowy. Każdy rozpylacz
podczas produkcji przechodzi przez trzy procesy: wytworzenie montaż i kontrola. W tab. 11
przedstawiono wymagania produkcyjne.
Tab. 11 Zestawienie czasów jednostkowych potrzebnych na poszczególnych etapach dla każdego elementu
Etap
Wytwarzania
Montaż
Kontrola
Zbiornik
Dysza
Silnik
Obudowa
3
2
1
2
1
1
8
3
1
1
1
1
Czas do
wykorzystania
5000
3000
7000
Ponadto firma oszacowała koszty produkcji każdej części u siebie oraz firmy zewnętrznej.
Wyniki szacunków przedstawiono w tab. 12.
Tab. 12 Koszty wytworzenia poszczególnych elementów w zależności od miejsca wytwarzania
Miejsce wykonania
Na miejscu
Firma zewnętrzna
Zbiornik
1,00
1,25
Dysza
1,50
3,00
Silnik
5,00
7,50
Obudowa
2,00
2,75
Określić liczbę części produkowaną na miejscu i w firmie zewnętrznej, zapewniającą
minimalizację kosztów.
Zadanie 11
Zbudować model matematyczny do zadania transportowego, którego dane liczbowe
zawiera tab. 13:
Tab. 13 Dane liczbowe do zadania transportowego
bk
20
40
30
3
6
5
3
8
2
ai
70
80
Występujące w tabeli symbole oznaczają: ai – zasoby jednorodnego produktu w i-tym
miejscu, bk – zapotrzebowanie na ten produkt w k-tym miejscu. Przez cik oznaczono
jednostkowe nakłady na przewóz jednorodnego produktu z miejsc wysyłki i do miejsc
zapotrzebowania k.
Zbudować modele matematyczne dla zadań transportowych, do których dane liczbowe są
podane w tab. 14, 15 i 16 (przyjęte symbole zachowują identyczne znaczenie jak w zadaniu
poprzednim).
Tab. 14 Dane liczbowe do zadania transportowego
bk
80
140
110
4
10
9
3
1
8
5
2
6
ai
100
150
80
Tab. 15 Dane liczbowe do zadania transportowego
bk
80
60
30
90
3
5
7
3
5
4
2
7
ai
70
130
Tab. 16 Dane liczbowe do zadania transportowego
bk
40
30
70
50
5
3
6
2
4
5
3
7
3
8
2
4
ai
110
50
80
Zadanie 12
Określić najkorzystniejszą drogę, pod względem kosztów, z węzła 1 do węzła 6. Siatka
połączeń została scharakteryzowana w tab. 17. Użytkownik może poruszać sie z węzła z
kolumny 1 do odpowiadającego węzła z kolumny 2. W kolumnie 3 zawarto koszt przejścia
miedzy poszczególnymi węzłami.
Tab. 17 Charakterystyka siatki połączeń
Węzeł początkowy
1
1
2
2
3
3
4
4
5
Węzeł końcowy
2
3
3
4
4
5
5
6
6
Koszt
24000
48320
25520
52186
27993
36360
30233
60869
32652
Powyższą tabelę dla ułatwienia można przedstawić w postaci grafu (rys.2)
Rys. 2 Graf połączeń
Przy rozwiązywaniu tego typu zadań należy kierować sie zasadą iż to co wypływa ma się
równać temu co wpływa.
Zadanie 13
W magazynie firmy kurierskiej znajduje sie 7 paczek. Każda z paczek ma określoną wagę
i wartość. Dane te zebrano w tab.18.
Tab. 18 Dane charakteryzujące paczki
Paczka
1
2
3
4
5
6
7
Waga
5
2
7
1
6
8
2
Wartość
8
3
10
1
9
11
2
W zadaniu tym należy uwzględnić iż samochód posiada ładowność 15 jednostek. Ze
względów prawnych w jednej ciężarówce nie mogą być przewożone paczki 4 i 7. Dodatkowo
klient wymaga by paczki 1 i 2 przewożono razem. Określić które paczki powinny być zabrane
by łączna wartość ładunku była maksymalna.
Bibliografia
1. Brdyś Mieczysław, Ruszczyński Andrzej, Metody optymalizacji w zadaniach,
Wydawnictwa Nauko-Techniczne, Warszawa 1985
2. Jędrzejczyk Zbigniew, Skrzypek Jerzy, Kukuła Karol, Walkosz Anna, Badania
operacyjne w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1996
3. Kozubski Jerzy J., Wprowadzenie do badań operacyjnych, Wydawnictwo
Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 1999
4. Nowak Andrzej, Optymalizacja Teoria i Zadania, Wydawnictwo Politechniki
Ślaskiej, Gliwice 2007
5. Ostanin Aleksander, Laboratorium metod optymalizacji, Politechnika Białostocka,
Białystok 2004
6. Ostanin Aleksander, Metody Optymalizacji z MATLAB Ćwiczenia Laboratoryjne,
Wydawnictwo NAKOM, Poznań 2009
7. Ostanin Aleksander, Optymalizacja liniowa i nieliniowa, Politechnika Białostocka,
Białystok 2005
8. Stachurski Andrzej, Wierzbicki Andrzej P., Podstawy optymalizacji, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2001
9. Tarnowski Wojciech, Optymalizacja o polioptymalizacja w technice, Politechnika
Koszalińska, Koszalin 2011
10. Trzaskalski Tadeusz, Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, Polskie
Wydawnictwa Ekonomiczne, Warszawa 2008
11. Trzaskalik Tadeusz, Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, Polskie
Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2003
12. http://aq.ia.agh.edu.pl/aquarium/Dydaktyk/Wyklady/MO/PDF.php
13. http://aq.ia.agh.edu.pl/Aquarium/LABS/OPT/metopt.htm
14. http://freeshell.de/~lukasl/Praca%20magisterska.pdf
15. http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/metopty.html
16. http://rg1.polsl.pl/kaula/Opt_proc_gorn.pdf
17. http://www.ely.pg.gda.pl/~aandy/files/mue_sem6_energetyka/mue_sem6_en_w06.pdf