Meyer Z, Kowalow M., Bednarek R., Wplyw zmian parametrow

XVI SEMINARIUM NAUKOWE
z cyklu
REGIONALNE PROBLEMY OCHRONY ŚRODOWISKA
Geotechnika w projektach regionalnych UE na obszarze estuariowym
Szczecin – Praga 12 - 14 czerwca 2008 r.
ZYGMUNT MEYER1 , ROMAN BEDNAREK2, MARIUSZ KOWALÓW3
WPŁYW ZMIAN PARAMETRÓW GRUNTOWYCH
NA SZYBKOŚĆ KONSOLIDACJI TORFU
1. Wstęp
Jednoosiowa teoria konsolidacji gruntów została sformułowana przez Terzaghiego [3].
Teoria ta zakłada, iŜ warstwa konsolidowana poddana jest obciąŜeniu zewnętrznemu,
najczęściej nasypem z innego gruntu i w ten sposób uruchamia się zjawisko filtracji
wymuszonej w kierunku pionowym. NadwyŜka wody oprowadzona jest na zewnątrz na
poziom terenu. Uzyskana w ten sposób objętość przeznaczona jest na osiadanie gruntu
poprzez zmniejszenie porowatości. Teoria ta zakłada, Ŝe parametry gruntu konsolidowanego
nie zmieniają się w czasie. Badania analityczne i terenowe przeprowadzone w Katedrze
Geotechniki Politechniki Szczecińskiej [1, 2] wskazują, Ŝe w miarę jak zmienia się
porowatość gruntu, na skutek osiadania, rośnie moduł ściśliwości oraz maleje współczynnik
filtracji w torfie. Wzrost modułu ściśliwości wraz z konsolidacją powoduje, Ŝe docelowe
osiadanie torfu jest mniejsze niŜ by to wynikało z teorii liniowej, natomiast zmniejszenie się
współczynnika filtracji spowolnia proces konsolidacji. Zmiana współczynnika filtracji nie
wpływa bezpośrednio na wielkość osiadania ale powoduje, Ŝe osiągnięcie pewnego poziomu
osiadania następuje później niŜ przy stałym współczynniku filtracji. Celem niniejszego
opracowania jest określenie wpływu zmian parametrów gruntu na proces konsolidacji.
2. Podstawowe równania
Podstawowe równia, które opisują proces konsolidacji to równanie Terzagiego:
s (t ) =
σ ⋅ H 0 
M0
8
1 − 2
 π
2


1
t   
2 π
⋅
exp
−
2
n
+
1
⋅
⋅

(
)

 
∑
2
4 T0   
n = 0  ( 2 n + 1)



∞
gdzie:
1
Prof. dr hab.inŜ.; Politechnika Szczecińska, Katedra Geotechniki
dr inŜ., Politechnika Szczecińska, Katedra Geotechniki
3
dr inŜ., GCO Geotechnical Consulting Office, Szczecin
2
(1)
Zygmunt Meyer , Roman Bednarek, Mariusz Kowalów
98
T0 =
H 2 ⋅γ w
M 0 ⋅ k0
(2)
M0
n0
H0
k0
H0 - s
M (s )
k (s )
Rys. 1 Schemat próbki gruntu przyjęty do analizy
Badanie przeprowadzone w Katedrze Geotechniki Politechniki Szczecińskiej wskazują, Ŝe
parametry gruntu zmieniają się w następujący sposób:

s 
M ( s ) = M 0 ⋅ 1 −

 n0 ⋅ H 0 
−κ
(3)
κf

s 
k ( s ) = k0 ⋅  1 −
(4)

 n0 ⋅ H 0 
Na podstawie tych równań moŜna otrzymać teŜ, Ŝe:
−1


κ −1


κ
−
1
σ


s (σ ) = n0 ⋅ H 0 1 − 1 +
⋅
(5)
 
 
n0 M 0 


Aby moŜna było uwzględnić zmienne parametry gruntu moŜemy wyprowadzić następujące
podstawienia. Za występujący w równaniu Terzaghi (1) człon stały, który mnoŜy nawias:
H0
σ
(6)
M0
podstawiamy człon zaleŜny od osiadania s w postaci:
H0
σ
(7)
M∗ (s)
Obliczenie wielkości M ∗ ( s ) odbywa się zgodnie z zaleŜnością (3). Mamy:
−κ

s 
M ∗ ( s ) = M 0∗ ⋅  1 −
(8)

 n0 ⋅ H 0 
Wielkość zastępczego modułu obliczeniowego M ∗ ( s ) otrzymamy z warunku t → ∞ kiedy
lim s = s∞ . Mamy wtedy z zaleŜności (5)
t →∞
Wpływ zmian parametrów gruntowych na szybkość konsolidacji torfu
−1


κ −1


κ
−
1
σ


s∞ (σ ) = n0 ⋅ H 0 ⋅ 1 − 1 +
⋅
 
 
n0 M 0 


99
(9)
Natomiast z zaleŜności (7) otrzymamy:
s∞ (σ ) = H 0
σ
(10)
M ∗ ( s∞ )
Po porównaniu zaleŜności (9) i (10) otrzymamy:
1
⋅σ
n0
M ∗ ( s∞ ) =
−1


κ −1


−
1
κ
σ
1 − 1 +

⋅
 
 
n0 M 0 


(11)
MoŜemy teraz wrócić do określenia stałej M 0∗ i do obliczenia zmiennego zastępczego
modułu M ∗ ( s ) . Porównując zaleŜności (8) i (11) i podstawiając za s = s∞ we wzorze (8) tak
jak to wynika z równania (9) otrzymamy:
1
⋅σ
n0
M 0∗ =
−1
κ


 κ − 1 σ  κ −1   κ − 1 σ  κ −1 
⋅
⋅
1 +
 ⋅ 1 − 1 +

n0 M 0 
n0 M 0  




(12)
Ponadto uzmienniamy stałą czasową:
κ −κ f

H 2 ⋅γ w
s 
T0 ( s ) =
= T0 ⋅ 1 −

M (s)⋅ k (s)
 n0 ⋅ H 0 
(13)
gdzie funkcje M ( s ) oraz k ( s ) są opisane wzorami (3) i (4). Pionowe osiadanie s jest
funkcją czasu i mamy s = s ( t ) . Wielkości M ( s ) oraz k ( s ) są rzeczywistym chwilowym
modułem ściśliwości oraz chwilowym współczynnikiem filtracji.
Przy załoŜeniu (7) oraz (8) równanie konsolidacji staje się nieliniowe i nie moŜna go
rozwiązać w postaci zamkniętej funkcji analitycznej. PoniewaŜ jest to równanie typu
parabolicznego względem czasu uzyskanie dobrej zbieŜności przy zastosowaniu metod
numerycznych jest bardzo skomplikowane. Dlatego autorzy zaproponowali poniŜsze
rozwiązanie, które z dostateczną dla celów praktycznych dokładnością pozwala uwzględnić
zmiany parametrów gruntu w procesie konsolidacji. Rozwiązanie, to zasadza się na
uproszczeniu, Ŝe w następnym kroku czasowym ti +1 moduł ściśliwości oraz współczynnik
filtracji bierzemy z korku poprzedniego ti . JeŜeli krok czasowy nie jest zbyt duŜy, to moŜemy
uzyskać satysfakcjonującą dla celów praktycznych obliczeń dokładność.
Zygmunt Meyer , Roman Bednarek, Mariusz Kowalów
100
Mamy dla kroku czasowego ti +1 :
M i +1 = M ( si )
(14)
ki +1 = k ( si )
(15)
κ −κ f

si 
Ti +1 = T0 ⋅ 1 −

 n0 ⋅ H 0 
i wtedy
(16)
κ

si 
si +1 = H 0 ⋅
⋅ 1 −

M 0∗  n0 ⋅ H 0 
σ

8
1 − 2
 π
2


1
t   
2 π
exp
2
n
1
⋅
−
+
⋅
⋅

(
)

 
∑
2
4 Ti +1   
n = 0  ( 2 n + 1)



∞
(17)
W ten sposób ustalając krok czasowy otrzymamy naszą wartość si .
3.
Przykład obliczeniowy
Przedstawioną w niniejszej pracy metodę przedstawiono w przykładzie obliczeniowym. Do
obliczeń przyjęto następujące dane wejściowe:
H 0 = 8m , n0 = 0, 6 , M 0 = 200kPa , k0 = 10−6 m / s , σ = 50kPa . Dodatkowo przyjęto:
κ = 1,86 oraz κ f = 7, 5 .
Obliczenia przeprowadzono wykorzystując wcześniejsze zaleŜności:
−1


κ −1


κ
−
1
σ

 = 1, 438m
s∞ (σ ) = n0 ⋅ H 0 ⋅ 1 −  1 +
⋅

 
n0 M 0  


Odpowiednie zastępcze moduły obliczeniowe do prognozy osiadania w czasie wynoszą:
1
⋅σ
n0
M 0∗ =
= 143, 42kPa
κ
−1


 κ − 1 σ  κ −1   κ − 1 σ  κ −1 
⋅
⋅
1 +
 ⋅ 1 − 1 +

n0 M 0 
n0 M 0  




1
⋅σ
n0
M ∗ ( s∞ ) =
= 278,14kPa
−1


κ −1
1 − 1 + κ − 1 ⋅ σ  


 
n0 M 0  


MoŜna teŜ sprawdzić ze wzoru (10) czy otrzymamy zgodność:
σ 
κ
s∞ 
H0
1 −
 = 1, 438m = s∞
M 0∗  n0 ⋅ H 0 
Wpływ zmian parametrów gruntowych na szybkość konsolidacji torfu
101
Ponadto naleŜy zaznaczyć, Ŝe zastępczy moduł ściśliwości gruntu po zakończeniu
konsolidacji będzie wynosił:


s
M ( s∞ ) = M 0 ⋅ 1 − ∞ 
 n0 ⋅ H 0 
−κ
= 390kPa
Oznacza to, Ŝe obliczenia zostały przeprowadzone poprawnie. Dla przyjętych na wstępnie
wielkości wejściowych oraz zastępczego modułu obliczeniowego M 0∗ przeprowadzono
obliczenia numeryczne zgodnie z zaleŜnościami (13, 14, 15, 16, 17).
Wyniki obliczeń przedstawiono na rys. 2 i rys. 3.
s [m]
2,5
2
1,5
M0=200kPa=const
1
0,5
0
M(s)
t [dni]
0
100
200
s [m]
300
400
M0=300kPa=const
1,5
1
M(s)
0,5
t [dni]
0
0
100
200
300
400
s [m]
1,5
M0=400kPa=const
1
0,5
M(s)
t [dni]
0
0
100
200
300
400
Rys. 2 Wykresy zaleŜności s = s ( t ) dla wybranych wielkości M 0 dla modułu stałego
i zmieniającego się wraz z osiadaniem
Zygmunt Meyer , Roman Bednarek, Mariusz Kowalów
102
∆t = 5dni
s(t) [m]
s(t) [m]
∆t = 1dzień
∆t = 2dni
∆t = 2dni
t [dni]
t [dni]
Rys. 3 Wpływ długości kroku czasowego na obliczenia osiadań s ( t )
Wyniki obliczeń przedstawione na rysunkach 2 oraz 3 potwierdzają moŜliwość
wykorzystania proponowanej metody rozwiązania zadania konsolidacji przy zmiennych
parametrach. Uzyskane wyniki oznaczają, Ŝe w czasie konsolidacji moduł zwiększa się
200kPa < M < 390kPa
natomiast współczynnik filtracji maleje:
10 −6 m / s > k > 0, 7 ⋅10−7 m / s
stała czasowa T0 zmienia się w granicach:
37 dni < T0 < 272dni
Krok czasowy ∆t przyjęty do obliczeń nie powinien przekraczać jednego dnia. Wiadomo,
Ŝe filtracja praktycznie ustaje i konsolidacja kończy się po czasie t = T0 ( s∞ ) . Oznacza to w
rozpatrywanym przypadku, Ŝe T0 ( s∞ ) = 272dni obliczone przy pomocy wzoru (13).
4. Wnioski
− W pracy przedstawiono metodę obliczania osiadania warstwy torfów w czasie
konsolidacji z uwzględnieniem zmian parametrów gruntu w procesie konsolidacji.
− Przeprowadzone obliczenia, które stanowią przykład zmian osiadania wskazują, Ŝe dla
celów praktycznych obliczeń krocz czasowy ∆t , który odpowiada skali logarytmicznej
1
log10 T0 , aby uzyskać dokładność rzędu 3 cm.
10
− Z przeprowadzonej analizy i przykładowych obliczeń wynika, Ŝe w praktycznych
obliczeniach inŜynierskich moŜna stosunkowo szybko uzyskać wielkość osiadania warstwy
konsolidowanej z uwzględnieniem zmian parametrów gruntu.
− Osiadanie uwzględniające zmiany parametrów gruntu jest mniejsze od tego, które
wynika z przyjęcia M 0 , k0 = const , w praktycznych obliczeniach nawet o 30%. Ma to
znaczenie przy projektowaniu przeciąŜeń, które powinny spoziomować powierzchnię terenu
po konsolidacji.
Wpływ zmian parametrów gruntowych na szybkość konsolidacji torfu
103
Oznaczenia
H 0 – miąŜszość warstwy konsolidowanej ,
i
k
k0
– indeks sumowania,
– współczynnik filtracji,
– współczynnik filtracji gruntu przed przystąpieniem do konsolidacji,
M – moduł ściśliwości gruntu konsolidowanego w chwili t,
M 0 – moduł ściśliwości gruntu konsolidowanego przed obciąŜeniem,
M ∗ – zastępczy moduł obliczeniowy,
M 0∗ – zastępczy stały moduł obliczeniowy,
n0
– porowatość warstwy konsolidowanej przed przeciąŜeniem,
s
s∞
– osiadanie warstwy konsolidowanej pod obciąŜeniem,
– docelowe osiadanie warstwy konsolidowanej,
t
κ
κf
– czas,
– wykładnik potęgi we wzorze na zmianę modułu ściśliwości,
– wykładnik potęgi we wzorze na zmianę współczynnika filtracji,
σ
– obciąŜenie warstwy konsolidowanej
Literatura
[1]
[2]
[3]
Dereczenik M., Seul C.: Wpływ konsolidacji na zmianę współczynnika filtracji dla gruntów
organicznych. InŜynieria Morska i Geotechnika, nr 3/1992
Meyer Z., Dereczenik M.: Effect of consolidation on compressibility modulus in organic soil.
The second international seminar on environment protection – regional problems. Kalmar,
Sweden, September 7-8 1992
Terzaghi K.: Theoretical Soil Mechanics, New York 1948
Streszczenie
W artykule autorzy opisują wpływ zmian parametrów gruntu na proces konsolidacji. Przedstawiono
metodę obliczania osiadania warstwy torfów w czasie konsolidacji z uwzględnieniem zmian
parametrów gruntu w procesie konsolidacji. W praktycznych obliczeniach inŜynierskich moŜna
stosunkowo szybko uzyskać wielkość osiadania warstwy konsolidowanej z uwzględnieniem zmian
parametrów gruntu.