W obwodzie z rys

B. Oblicz prąd i L (t ) w stanie nieustalonym. Przed komutacją układ był w stanie ustalonym.
j2 = 2 A ,
Narysuj przebiegi napięcia i prądu w cewce. Dane: e3 = 10V ,
R1 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1Ω , L = 0.1H .
e3
t=0 R3
R4
R6
R1
iL
j2
uL
R5
L
Rozwiązanie:
1. Wyznaczamy warunki początkowe – wyłącznik zamknięty
Ponieważ wszystkie źródła są źródłami napięcia i prądu stałego cewkę idealną zastępujemy
zworą. Otrzymujemy więc schemat, w którym dowolną metodą wyznaczamy zaznaczoną
wielkość i L 0 − .
( )
e3
1
R3
2
R4
R6
R1
j2
V1
V2
R5
iL(0)
Najłatwiej wyznaczyć tę wielkość korzystając z metody napięć węzłowych:
V − V2 + e3 V1 − V2
V
1 : 1 − j2 + 1
+
=0
R1
R3
R4
V2 V2 − V1 V2 − V1 − e3 V2
+
+
+
=0
R6
R4
R3
R5
Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy układ dwóch równań liniowych:
3V1 − 2V2 = −8
2:
− 2V1 + 4V2 = 10
1
Ponieważ do wyznaczenia warunku początkowego potrzebna jest tylko znajomość napięcia
węzłowego V2 mnożymy pierwsze równanie przez 2, drugie przez 3 i dodajemy stronami.
W rezultacie otrzymujemy:
V2 = 1.75V
Na tej podstawie wyznaczamy warunek początkowy:
V
i L (0 − ) = 2 = 1.75 A
R6
2. Obecnie rozpatrzymy układ dla czasów większych od zera, czyli po otwarciu wyłącznika.
W efekcie usuwamy opornik R4 i wyznaczamy dwójnik Thevenina widziany z zacisków
cewki:
e3
R3
R6
R1
R5
A
j2
B
Aby wyznaczyć parametry tego dwójnika należy obliczyć rezystancję zastępczą widzianą z
zacisków AB po usunięciu wszystkich źródeł niezależnych oraz napięcie na rozwartych
zaciskach AB, czyli ez.
a) obliczamy napięcie ez metodą węzłową:
e3
R3
1
R1
j2
2
V1
R6
V2
R5
A
ez
B
Ponieważ zaciski są rozwarte, na oporniku R6 napięcie równa się zero, a zatem napięcie ez=V2
V − V 2 + e3
V
1 : 1 − j2 + 1
=0
R1
R3
2:
V2 − V1 − e3 V2
+
=0
R3
R5
2
Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy układ dwóch równań liniowych:
2V1 − V2 = −8
− V1 + 2V2 = 10
Ponieważ do wyznaczenia warunku początkowego potrzebna jest tylko znajomość napięcia
węzłowego V2 mnożymy drugie przez 2 i dodajemy stronami.
W rezultacie otrzymujemy:
V2 = e z = 4V
Następnie obliczamy rezystancję zastępczą
R3
R6
R1
A
R5
B
Najpierw obliczamy rezystancję zastępczą szeregowego połączenia R1 oraz R3 otrzymując:
R A = R1 + R3 = 2Ω . W rezultacie otrzymujemy układ:
R6
RA
A
R5
B
Następnie obliczamy rezystancję zastępczą równoległego połączenia RA oraz R5 otrzymując
RB = R A R5 =
2
Ω . W rezultacie otrzymujemy układ
3
3
R6
RB
A
B
Następnie obliczamy rezystancję zastępczą szeregowego połączenia R6 oraz RB otrzymując:
5
R Z = R6 + R B = Ω .
3
Z zatem dwójnik Thevenina ma postać:
A
ez=4V
5
RZ= Ω
3
B
Stąd obliczamy:
składową wymuszoną: i Lw =
stałą czasową: τ =
eZ
= 2.4 A
RZ
L
= 0.06s
RZ
W efekcie prąd kondensatora wyraża się wzorem:
t
iL (t ) = iLw (t ) + (iL (0) − iLw (0)) ⋅ e τ = 2.4 − 0.65e-16.67t
-
4
3,0
2,7
2,4
IL
2,1
1,8
1,5
1,2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t
Napięcie na cewce wyznaczamy z zależności:
di
u L (t ) = L L = 1.083e −16.67 t
dt
1,2
0,9
UL
0,6
0,3
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t
5
Wyniki ze SPICEa
1. warunki poczatkowe
V3
10
R3
1
1
2
R4
1
1.75V
3
I1
2
R6
1
R1
1
R5
1
stan nieustalony
V3
10
1
I1
2
R3
1
2
3
R6
1
R1
1
R5
1
UL
6
IL
L1
0.1
prąd cewki
6
1 il
2.50
1
Plot1
il in amperes
2.30
2.10
1.90
1.70
50.0m
150m
250m
time in seconds
350m
450m
napięcie na cewce
1 ul
1.40
Plot1
ul in volts
1.00
600m
200m
1
-200m
50.0m
150m
250m
time in seconds
350m
450m
Wyniki te w pełni potwierdzają obliczenia ręczne.
7