9. Operatory liniowe i zasada nieoznaczoności. [ ] [ ] ̂H =

9. Operatory liniowe i zasada nieoznaczoności.
Ćw. 9.1. Udowodnij że wartości własne operatora hermitowskiego A są liczbami rzeczywistymi.
Wskazówka: Skorzystaj z własności iloczynu skalarnego:
1. hϕ | ψi ­ 0
2. hϕ | ψi = hψ | ϕi∗
3. hϕ | α1 ψ1 + α2 ψ2 i = α1 hϕ | ψ1 i + α2 hϕ | ψ2 i
4. hα1 ψ1 + α2 ψ2 | ϕi = α1∗ hψ1 | ϕi + α2∗ hψ2 | ϕi
5. hψ | ψi = 0 ⇔ ψ = 0
oraz z definicji operatora hermitowskiego: hϕ | Aψi = hAϕ | ψi Załóż także że mamy funkcję własną | ϕi
odpowiadającą wartości własnej a.
Odp.: Ćw. 9.2. Rozwiąż zagadnienie własne dla operatora pędu pbx = h̄
Odp.: Wartości własne: h̄k, k ∈ R, wektory własne: eikx
∂
. Wyznacz komutator [x
e, pex ].
∂x
b który jest operatorem różniczkowania w przeĆw. 9.3. Wyznacz zagadnienie własne dla operatora D
strzeni wielomianów stopnia co najwyżej n i wyznacz współrzędne wektora v reprezentujacego wielomian
Pn
x2
xn
Wn (x) =
b · xn oraz macierz tego operatora w bazie: v0 = 1, v1 = x, v2 =
, . . . vn =
. Jakiej
i=0 n
2!
n!
operacji geometrycznej w tej bazie odpowiada różniczkowanie.
Wskazówka: Każdy punkt w przestrzeni wielomianów jest równoważny wielomianowi: Wn (x) = b0 + b1 · x +
b2 · x2 + . . . + bn · xn ≡ [b0 , b1 , . . . , bn ].
Odp.: v = [b0 , b1 , 2b2 , 3!b3 , . . . , n! · bn ]
0 1 0 ···
0 0 1 · · ·
. . .
..
..
D=
.
 .. ..
0 0 0 · · ·
0 0 0 ···
Jest to operator rotacji.


0
0



1
0
Ćw. 9.4. Udowodnij że eax jest wartością własną operatora różniczkowania odpowiadającą wartości własnej a, zaś eiax i eax są funkcjami własnymi kwadratu tego operatora odpowiadającymi wartości własnej
−a2 i a2 , odpowiednio.
Odp.: -
e = A − hAi i B
e = B − hBi jeśli komutator [A, B] = iC, gdzie
Ćw. 9.5. Wyznacz komutator operatorów A
C-pewien operator.
h
i
eB
e | Ψi.
Wskazówka: Wyznacz wartość średnią komutatora hΨ | A,
h
i
eB
e = iC
Odp.: A,
10. Kwantowy oscylator harmoniczny.
Kwantowy oscylator harmoniczny ma hamiltonian w postaci:
b=
H
p̂2
mω 2 2
+
x̂
2m
2
(1)
Jego rozwiązaniem są funkcje własne postaci:
Ψn (ξ) = Cn exp
−ξ 2
Hn (ξ)
2
(2)
gdzie:
n ∈ [0, ∞[
(3)
α1/2
Cn = p
√
2n n! π
(4)
Cn to czynnik normujący równy:
mω
α2 =
, zaś ξ = αx. Symbol Hn oznacza wielomian n-tego stopnia z rodziny wielomianów Hermite’a - jest
h̄
to reprezentant klasy wielomianów ortogonalnych - można ich używać jako bazy w przestrzeni funkcyjnej.
n-ty wielomian Hermite’a zadany jest przez tzw funkcję tworzącą:
Hn (ξ) = (−1)n expξ 2
dn
exp(−ξ 2 )
dξ n
Do rozwiązywania zadań przydatne będą tzw operatory drabinkowe: Operator kreacji:
q
mω
ip
def
• ↠=
(x −
)
2h̄
mω
i operator anihilacji:
q
mω
ip
def
• â =
(x +
).
2h̄
mω
Operatory te to tzw operatory drugiej kwantyzacji. Pozwala ona na elegancką (jak Państwo zobaczycie)
redukcję złożonej postaci hamiltonianu do prostego iloczynu operatorów.
Ćw. 10.1. Wyznacz wielomiany Hermite’a od H0 do H3 . Udowodnij dwie relacje rekurencyjne: H˙n =
Hn+1 − 2xHn = 2nHn−1 (x), gdzie kropka oznacza różniczkowanie po x.
Odp.: Ćw. 10.2 Wyznacz funkcję własną stanu podstawowego oscylatora harmonicznego | 0i(≡ ϕ0 ) wiedząc
że operator anihilacji działając na tę funkcję daje 0: â | 0i = 0.
2
Odp.: Z dokładności do stałej normującej: ϕ0 = Ce−ξ
Ćw. 10.3. Udowodnij że n-tą funkcję własną oscylatora harmonicznego można uzyskać działając n-krotnie
n
1
↠| 0i
operatorem ↠na stan | 0i: | ni = √
n!
Wskazówka: To zadanie można zrealizować na dwa sposoby. Albo (trudniejszy sposób) pokazać że
działanie operatorem ↠na stan | 0i prowadzi do wzoru, który jest tożsamy z definicją funkcji tworzącej
wielomiany Hermite’a (i tu i tam jest pochodna n-tego rzędu). Albo (łatwiejszy sposób) pokazać dla kilku
niskich wartości n że funkcje są sobie równe. Obliczenia można prowadzić z dokładnością do stałej normującej.
Odp.: Ćw. 10.4. Wyraź hamiltonian oscylatora harmonicznego za pomocą operatorów drabinkowych.
Wskazówka: Wyraź najpierw operator p̂ oraz x̂ oraz p̂2 oraz x̂2 za pomocą operatorów drabinkowych, a
następnie podstaw tę postać do hamiltonianu.
Wskazówka 2: Łatwiej jest podstawić definicje operatorów drabinkowych do hamiltonianu danego w
odpowiedzi, a następnie po przekształceniach uzyskać hamiltonian oscylatora harmonicznego.
b = h̄ω(↠â +
Odp.: H
1
)
2
Ćw. 10.5. Wyznacz komutator â, ↠.
Wskazówka: Zamiast liczyć z definicji ↠i â skorzystaj z tego, że  + B̂, Ĉ + D̂ = Â, Ĉ + Â, D̂ +
B̂, Ĉ + B̂, D̂ i wyraź ten komutator przez komutator [x̂, p̂].
Odp.: [â, ↠] = 1.