szczególna teoria względnoości

Transkrypt

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
1
Wykład 29
WARIANT ROBOCZY
Względność.
Teoria względności składa się właściwie z dwóch różnych teorii: szczególnej teorii względności i
ogólnej teorii względności. Szczególna teoria względności przedstawiona przez Einsteina i innych w
1905 roku dotyczy porównania pomiarów wykonanych w dwóch różnych układach inercjalnych
poruszających się ze stałą prędkością względem siebie. Wnioski z niej wynikające, wyprowadzone
na bazie prostych przekształceń matematycznych mają zastosowanie w szeregu sytuacji w fizyce i
inżynierii. Z drugiej strony ogólna teoria względności przedstawiona około 1916 roku przez
Einsteina dotyczy układów podlegających przyspieszeniu i grawitacji. Dokładne zrozumienie tej
teorii wymaga znajomości zaawansowanej matematyki, a jej zastosowania dotyczą głównie dziedzin
związanych z grawitacją. Ma ona ogromne znaczenie w kosmologii, jednak rzadko spotykana jest w
innych dziedzinach fizyki i inżynierii. W wykładzie tym głównie zajmiemy się szczególną teorią
względności.
29.1 Zasada względności Galileusza.
Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że nie ma różnicy między cząstką znajdującą się w
spoczynku i poruszającą się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jeżeli nie działają zewnętrzne
siły, to cząstka pozostanie w swoim pierwotnym stanie – albo w spoczynku, albo poruszając się ze
stałą prędkością. Cząstka pozostająca w spoczynku względem ciebie, porusza się względem
obserwatora, który porusza się względem ciebie. Jak można określić czy cząstka i ty znajdujecie się
w spoczynku, a drugi obserwator porusza się, lub odwrotnie; drugi obserwator pozostaje w
spoczynku, a ty i cząstka poruszacie się?
Rozważmy prosty eksperyment. Załóżmy, że mamy wagon kolejowy poruszający się po prostych
torach kolejowych ze stałą prędkością V. Pamiętamy, że jeżeli piłka znajduje się w spoczynku
względem wagonu to pozostaje w spoczynku. Jeżeli puścimy piłkę, to spadnie ona pionowo
podlegając przyspieszeniu ziemskiemu g. Oczywiście jeżeli patrzymy z układu związanego z torami,
to piłka będzie poruszać się po paraboli, ponieważ ma prędkość początkową V w kierunku
poziomym. Żaden eksperyment mechaniczny na przykład mierzenie okresu wahadła, obserwowanie
zderzenia dwóch ciał, itp., nie odpowie nam, czy wagon się porusza, a tory są w spoczynku, czy tory
się poruszają, a wagon jest w spoczynku. Jeżeli mamy jeden układ współrzędnych związany z
wagonem, i drugi związany z torami, to zasady dynamiki Newtona będą spełnione w obu układach.
2
Układy współrzędnych związane z danymi ciałami (wagon, tory) nazywamy układami
odniesienia. Układ odniesienia, w którym spełnione są zasady dynamiki Newtona nazywamy
układem inercjalnym odniesienia. Wszystkie układy odniesienia poruszające się względem układu
inercjalnego ze stałą prędkością (oczywiście pamiętamy, że prędkość jest wektorem) są również
inercjalne. Jeżeli mamy dwa układy inercjalne poruszające się względem siebie ze stałą prędkością,
to nie istnieje żaden mechaniczny eksperyment, który byłby w stanie stwierdzić, który z dwu
układów spoczywa, a który się porusza lub czy oba się poruszają. Ten wniosek zwany jest jako
zasada względności Galileusza:
Nie można zaobserwować ruchu absolutnego.
Zasada względności Galileusza.
Zasada ta była znana już w siedemnastym wieku. Pod koniec dziewiętnastego wieku pogląd ten
uległ jednak zmianie. Zaczęto wtedy sądzić, że zasada względności Galileusza nie jest słuszna i ruch
absolutny może być zmierzony poprzez pomiar prędkości światła.
Eter i prędkość światła.
Z wcześniejszych wykładów wiemy, że prędkość fali zależy od własności ośrodka, w którym
rozchodzi się fala, a nie od prędkości źródła fali. Na przykład prędkość dźwięku względem
nieruchomego powietrza zależy od temperatury powietrza. Światło i inne fale elektromagnetyczne
(fale radiowe, promieniowanie rentgena, itp.) poruszają się w próżni z prędkością 𝑐 ≈ 3 ∙ 108 𝑚/𝑠,
zostało to przewidziane przez teorię elektromagnetyzmu Maxwella. Ale względem czego jest to
prędkość? Co jest ekwiwalentem nieruchomego powietrza w próżni? Zaproponowany ośrodek dla
propagacji fal nazwano eterem; sądzono, że wypełnia całą przestrzeń. Prędkość światła względem
eteru przyjmowano jako równą c, tak jak to przewidywały równania Maxwella. Prędkość dowolnego
obiektu względem eteru przyjmowano jako prędkość absolutną.
W 1887 Albert Michelson i Edward Morley przedstawili pomiar prędkości Ziemi względem eteru
za pomocą genialnego eksperymentu, w którym prędkość światła względem Ziemi była
porównywana z dwoma promieniami ; jeden w kierunku ruchu Ziemi względem Słońca i drugi w
kierunku prostopadłym do kierunku ruchu Ziemi. Pomimo wyjątkowo dokładnych pomiarów nie
zaobserwowali żadnych różnic. Ich eksperyment był wielokrotnie powtarzany wiele razy w różnych
warunkach i przez różnych ludzi i mimo tego nigdy nie zarejestrowano najmniejszych różnic.
Absolutnego ruchu Ziemi względem eteru nie można było zarejestrować.
29.2 Postulaty Einsteina.
W 1905 roku Albert Einstein opublikował artykuł na temat elektrodynamiki poruszających się
ciał. W artykule tym wysunął postulat, że ruch absolutny nie może być zaobserwowany za pomocą
3
żadnego eksperymentu. Oznacza to, że nie ma żadnego eteru. Ziemia mogłaby być nieruchoma, a i
tak prędkość światła byłaby taka sama we wszystkich kierunkach. Jego postulaty można
sformułować w prosty sposób:
Postulat 1.
Nie można zarejestrować prędkości absolutnej.
Postulat 2.
Prędkość światła jest niezależna od prędkości źródła.
Postulaty Einsteina.
Postulat 1. Jest po prostu rozszerzeniem zasady względności Galileusza uwzględniającym wszystkie
typy pomiarów fizycznych (nie tylko mechaniczne). Postulat 2. Opisuje dobrze znaną własność
wszystkich fal. Na przykład prędkość dźwięku nie zależy od ruchu źródła dźwięków.
Mimo, iż oba postulaty wyglądają na całkiem
sensowne, to wiele wniosków z nich wynikających
jest całkiem zaskakująca i przeciwstawia się temu
co nazywamy zdrowym rozsądkiem. Na przykład,
jedną z ważnych implikacji tych postulatów jest
Rysunek 29.1
fakt, że każdy z obserwatorów zawsze zmierzy taką
samą wartość prędkości w próżni, bez względu czy się porusza czy znajduje w spoczynku. Weźmy
pod uwagę źródło światła S i obserwatora R1 nieruchomego względem S i obserwatora R2
poruszającego się w kierunku S z prędkością v jak pokazuje to rysunek 29.1a. Prędkość zmierzona
przez obserwatora R1 wynosi 𝑐 = 3 ∙ 108 𝑚/𝑠. Jaka jest prędkość zmierzona przez obserwatora R2?
Odpowiedzią nie jest c+v. Na podstawie postulatu 1. rysunek 29.1a musi być ekwiwalentny
rysunkowi 29.1b, na którym R2 znajduje się w spoczynku, a źródło S i R1 poruszają się z prędkością
v. Jest tak ponieważ prędkość absolutna nie może wykryta, nie jest możliwe stwierdzenie, który z
obserwatorów porusza się, a który spoczywa. Na podstawie postulatu 2. Wynika, że prędkość
światła jest niezależna od tego, czy źródło porusza się czy nie. Tak więc patrząc na rysunek 29.1b,
widzimy, że R2 zmierzy taką samą prędkość światła c, taką zmierzy obserwator R1. Wniosek ten
często używany jest jako alternatywne sformułowanie drugiego postulatu:
Postulat 2: We wszystkich układach inercjalnych prędkość światła ma tę samą wartość c.
Postulat ten stoi w sprzeczności z naszym intuicyjnym pojęciem względności ruchu. Jeżeli samochód
oddala się z prędkością 50km/h, a drugi porusza się w tym samym kierunku z prędkością 80km/h, to
prędkość drugiego samochodu względem pierwszego wynosi 30km/h. Jednak, zgodnie z postulatami
Einsteina, jeżeli promień światła porusza się w kierunku ruchu samochodów, to obserwatorzy w obu
4
samochodach zmierzą te same prędkości promienia świetlnego. Nasze intuicyjne pojęcie na temat
tego jak zachowują się prędkości jest usprawiedliwione tylko gdy prędkości są małe w porównaniu z
prędkością światła.
29.3. Transformacja Lorentza.
Z postulatów Einsteina wynikają ważne wnioski dotyczące
pomiaru odstępów czasu, odcinków przestrzeni i względnych
prędkości. Zajmiemy się porównaniem pomiarów położeń i czasów
zdarzeń (takich jak błysk światła) wykonanych przez obserwatorów
poruszających się względem siebie. Będziemy używać prostokątnego
układu współrzędnych xyz z początkiem w O zwanego układem
odniesienia S i układu x’y’z’ z początkiem w O’ zwanego układem

odniesienia S’, który porusza się względem układu S z prędkością V .

Względem układu S’ układ S porusza się ze stałą prędkością - V . Dla
uproszczenia będziemy zakładać, że układ S’ porusza się wzdłuż
dodatniego kierunku x względem S. Będziemy również zakładać, że
w każdym układzie znajduje się nieodzowna ilość obserwatorów
Rysunek 29.2
potrzebnych do dokonania odpowiednich pomiarów i każdy z nich wyposażony jest takie przyrządy
jak zegary i linijka, które są identyczne, jeżeli porównać je w stanie spoczynku (Rysunek 29.2).
Zastosujemy postulaty Einsteina w celu znalezienia ogólnego związku między współrzędnymi x, y,
z i czasem t zdarzenia widzianego w układzie S, a współrzędnymi x’, y’, z’ i czasem t’ tego samego
zdarzenia widzianym w układzie S’, który porusza się ze stałą prędkością względem S. Zakładamy, że
w chwili początkowej t = t’ = 0. Klasyczny związek między tymi współrzędnymi dany jest
transformacją Galileusza:
x = x’ + Vt,
y = y’,
z = z’,
t = t’
29.1a.
z’ = z,
t’ = t
29.1b.
Trasformacja odwrotna ma postać :
x’ = x - Vt,
y’ = y,
Równania te są zgodne z danymi doświadczalnymi, jeżeli V jest dużo mniejsza niż c. Otrzymujemy z
nich dobrze znaną klasyczną zależność łączącą prędkości. Jeżeli cząstka ma prędkość ux = dx/dt w
układzie S, to jej prędkość w układzie S’ wynosi:
u 'x 
5
dx' dx' dx


 V  ux  V
dt ' dt dt
29.2.
Po zróżniczkowaniu otrzymujemy, że przyspieszenia w obu układach są takie same:
ax 
du x du '

 a' x
dt
dt
Widać, że transformacja Galileusza nie zgadza się z postulatami Einsteina. Jeżeli światło porusza się
wzdłuż osi x z prędkością ux’ = c w układzie S’, to z równań tych otrzymujemy, że prędkość światła w
układzie S wynosi ux = c + V, a nie ux = c, co zgadza się z postulatem Einsteina i doświadczeniem.
Zatem transformację Galileusza należy tak zmodyfikować, aby była zgodna z postulatem Einsteina.
Zastanówmy się jak to zrobić.
Załóżmy, że transformacja dla x w szczególnej teorii względności jest taka sama jak klasyczna
(równanie 1a.) oprócz stałego mnożnika po prawej stronie:
x = γ(x’ + Vt’)
29.3.
gdzie γ jest stałą zależną od V i c ale nie zależy od współrzędnych. Transformacja odwrotna będzie
miała postać:
x’ = γ(x - Vt)
29.4.
Rozważmy błysk światła, który ma miejsce w początku układu współrzędnych S w chwili t = 0.
Ponieważ zakładamy, że układy pokrywają się w chwili początkowej t = t’ = 0, to błysk również ma
miejsce w początku układu S’ w t’ = 0. Postulaty Einsteina wymagają, aby równanie dla współrzędnej
x frontu fali pochodzącego od błysku światła wynosiło x = ct w układzie S i x’ = ct’ w układzie S’.
Podstawiając za x ct i za x’ ct’ do równań 29.3. i 29.4. otrzymujemy:
ct = γ(ct’ +Vt’) = γ(c + V)t’
29.5.
ct’ = γ(ct -Vt) = γ(c - V)t
29.6.
I
Po pozbyciu się t i t’ otrzymujemy wyrażenie na γ:

1
1  V 2 / c2
29.7.
Zwróćmy uwagę, że γ jest zawsze większe od 1 i kiedy V jest dużo mniejsze od c, to   1 . W
rezultacie w szczególnej teorii względności transformacja współrzędnych dana jest równaniami 29.3. i
29.4., gdzie γ dane jest równaniem 29.7. Możemy otrzymać równania na t i t’ podstawiając x = γ(x’ +
Vt’) do równania 29.4. otrzymujemy:
6
x’ = γ[γ(x’ + Vt’) - Vt],
29.8.
z czego możemy wyliczyć t.
Ostateczna postać transformacji w szczególnej teorii względności ma postać:
x  x'Vt ' ,
y = y’,
z = z’
 Vx 2 
t   t ' 2 
c 

29.9
29.10
Transformacja Lorentza.
Transformacja odwrotna ma postać:
x'  x  Vt  ,
y’ = y,
z’ = z
 Vx 2 
t '   t  2 
c 

29.11
29.12
Powyższe transformacje noszą nazwę transformacji Lorentza. Podają one związek między
współrzędnymi przestrzennymi x, y, z i czasem t zdarzenia w układzie S, a współrzędnymi
przestrzennymi x’, y’, z’ i czasem t’ zdarzenia w układzie S’, który porusza się z prędkością V
względem S.
Przyjrzymy się zastosowaniom transformacji Lorentza.
Dylatacja czasu.
Rozważmy dwa zdarzenia zachodzące w punkcie x0’ w chwilach t1’ i t2’ w układzie S’. Z równania
29.10. możemy znaleźć chwile t1 i t2 dla tych wydarzeń w układzie S:
Vx ' 

t1   t '1  2 0 
c 

i
Vx ' 

t 2    t '2  2 0 
c 

W rezultacie:
t2 – t1 = γ(t2’ – t1’)
Czas między dwoma wydarzeniami, które miały miejsce w tym samym miejscu układu współrzędnych
nazywa się czasem własnym tp. W tym konkretnym przypadku czasem własnym jest przedział czasu
7
t2’ – t1’ zmierzony w układzie S’. Przedział czasu Δt zmierzony w każdym innym układzie
współrzędnych jest zawsze dłuższy niż czas własny. To wydłużenie czasu nazywa się dylatacją czasu:
t  t p 
t
1  V / c2
29.13
Dylatacja czasu.
Przykład 1.
Dwa zdarzenia zachodzą w tym samym punkcie x0’ w chwilach t1’ i t2’ w układzie S’, który porusza
się z prędkością V względem S. Jaka jest odległość przestrzenna między tymi wydarzeniami w
układzie S?
Rozwiązanie. Odległość tę x2 – x1 w układzie S znajdziemy podstawiając równanie 9.
1.
Położenie x1 w układzie S w chwili t1’ dane jest równaniem x1 = γ(x0’ + Vt1’)
2.
Analogicznie, w chwili t2’
3.
Odejmując stronami otrzymujemy
x2 = γ(x0’ + Vt2’)
x2 –x1 = γV(t2’ – t1’) = V(t2 – t1)
Uwaga. Odległość przestrzenna tych dwóch wydarzeń w układzie S jest równa odległości, jaką
pokonuje pojedynczy punkt, taki jak x0’ w układzie S’, poruszający się w układzie S w ciągu
przedziału czasu między tymi zdarzeniami.
Dylatację czasu możemy zrozumieć bezpośrednio z postulatów Einsteina, bez odwoływania się do
transformacji Lorentza. Rysunek 29.3a. przedstawia obserwatora A’ w odległości D od zwierciadła.
Obserwator i zwierciadło znajdują się w statku kosmicznym, który znajduje się w spoczynku w
układzie S’. Obserwator wywołuje błysk światła i mierzy odstęp czasu Δt’ między jego powstaniem a
powrotem po odbiciu od zwierciadła. Ponieważ światło porusza się z prędkością c, to czas ten wynosi:
t ' 
2D
c
Rozpatrzmy teraz te same dwa wydarzenia obserwowane w układzie S, w którym obserwator A’ i
zwierciadło poruszają się z prędkością V jak pokazano na rysunku 29.3b. Zdarzenia te wydarzą się w
dwóch różnych miejscach x1 i x2 w układzie S. W ciągu przedziału czasu Δt (mierzonego w S) między
powstaniem błysku, a jego powrotem, obserwator A’ i jego statek przebędą w kierunku poziomym
8
drogę V Δt. Widzimy, że droga przebyta przez światło w układzie S jest większa niż w układzie S’.
zwierciadło
zwierciadło
Rysunek 29.3
Jednak, zgodnie z postulatem Einsteina światło porusza się z taką samą prędkością c zarówno w
układzie S, jak i Układzie S’. Ponieważ w układzie S przebywa dłuższą drogę poruszając się z tą samą
prędkością, to więcej czasu upłynie aż osiągnie zwierciadło i powróci do obserwatora. Przedział czasu
w układzie S jest zatem dłuższy niż w układzie S’. Z trójkąta na rysunku 29.3c. mamy:
 ct 
 Vt 
2

  D 

 2 
 2 
2
2
lub
t 
2D
c V
2
2

2D
1
c 1  V 2 / c2
Podstawiając Δt’ = 2D/c otrzymamy:
t 
t '
1  V 2 / c2
 t '
Skrócenie długości.
Zjawiskiem ściśle powiązanym z dylatacją czasu jest zjawisko relatywistycznego skrócenia długości.
Długość obiektu mierzonego w układzie odniesienia, w którym obiekt znajduje się w spoczynku
nazywa się długością własną Lw. W układzie odniesienia, w którym obiekt porusza się zmierzona
długość jest mniejsza niż długość własna. Rozpatrzmy pręt znajdujący się w spoczynku w układzie S’,
którego współrzędne końców wynoszą x2’ i x1’. Długość własna pręta w tym układzie wynosi Lw = x2’
– x1’. Należy uważnie podejść do zagadnienia badając długość pręta w układzie S. W tym układzie
pręt porusza się z prędkością układu S’ V. Długość pręta w układzie S zdefiniowana jest jako L = x 2 –
x1, gdzie x2 jest położeniem jednego końca w pewnym momencie t2, a x1 jest położeniem drugiego
końca w tej samej chwili t1 = t2 zmierzonej w układzie S. Wygodnie jest użyć równanie 29.11, aby
obliczyć x2 – x1 dla tej samej chwili:
𝑥2′ = 𝛾 𝑥2 − 𝑉𝑡2
i
9
𝑥1′ = 𝛾 𝑥1 − 𝑉𝑡2
Ponieważ t1 = t2, to otrzymamy:
𝑥2′ − 𝑥1′ = 𝛾 𝑥2 − 𝑥1
1
𝑥2 − 𝑥1 = 𝛾 𝑥2′ − 𝑥1′ = 1 − 𝑉 2 /𝑐 2 𝑥2′ − 𝑥1′
lub
1
L = γ LP =
1 − V 2 /c 2 LP
29.24
Skrócenie długości.
Tak więc, długość pręta jest mniejsza kiedy jest mierzony w układzie, w którym się porusza.
Przed publikacją artykułu Einsteina Lorenz i Fitzgerald próbowali zerowy wynik doświadczenia
Michelsona – Morleya poprzez założenie, że odległości w kierunku ruchu ulegają skróceniu zgodnie z
zależnością 29.14. To skrócenie nazywa się obecnie skróceniem Lorentza – Fitzgeralda.
Ciekawym przykładem dylatacji czasu lub skrócenia długości jest obecność mionów w
promieniowaniu kosmicznym. Miony zanikają zgonie ze statystycznym prawem zaniku:
𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒 −𝑡/𝜏
29.25
gdzie N0 jest początkową liczbą mionów w chwili t = 0, N(t) jest ich ilością pozostającą po czasie t, a
τ jest średnim czasem życia, który wynosi około
dla mionów w spoczynku. Ponieważ miony
powstają (z rozpadu pionów) wysoko w atmosferze, zwykle kilka tysięcy metrów powyżej poziomu
morza, to bardzo mała ich ilość powinna osiągnąć poziom morza. Typowy mion poruszający się z
prędkością 0,9978c powinien przebyć jedynie 600m w ciągu 2μs. Jednak ich średni czas mierzony w
układzie odniesienia związanym z Ziemią ulega zwiększeniu razy czynnik 1/ 1 − 𝑉 2 /𝑐 2 , który jest
równy w przypadku tej prędkości. Dlatego też średni czas życia mierzony w układzie związanym z
Ziemią wynosi 30μs i w związku z tym mion
poruszający się z prędkością 0,9978c przebędzie
w tym czasie około 9000m. Z punktu widzenia
Mion
Mion
mionu, żyje on tylko 2μs, jednak względem nich
atmosfera porusza się do tyłu z prędkością
0,9978c. Odległość 9000m w układzie związanym
z Ziemią ulega skróceniu do 600m w układzie
Rysunek 29.4
związanym z mionem. Pokazuje to rysunek 29.4.
Łatwo policzyć ze wzoru 29.25, że po czasie t potrzebnym do dotarcia mionów do powierzchni
Ziemi, gdyby nie było efektu relatywistycznego powinna przetrwać ich około 31 z początkowej ich
ilości 100 milionów. Tymczasem obserwuje się ich około 37 milionów docierających do poziomu
morza. Ta liczba dobrze zgadza się teorią, jeżeli uwzględnić efekty relatywistyczne opisane wyżej.
10
29.4 Synchronizacja zegarów i jednoczesność.
Jak było wcześniej wspomniane czas własny, to czas między dwoma zdarzeniami, które zachodzą
w tym samym punkcie układu odniesienia. Dlatego może być on zmierzony za pomocą pojedynczego
zegara. Jednak w innym układzie odniesienia poruszającym się względem pierwszego te same
zdarzenia zachodzą w różnych miejscach, dlatego potrzebne są dwa zegary do zapisu czasów. Czas
każdego zdarzenia jest mierzony na innym zdarzeniu i przedział czasu znajduje się poprzez odjęcie
czasów wskazanych przez oba zegary. Taka procedura wymaga aby zegary były zsynchronizowane.
Pokażemy, że:
Dwa
zegary,
które
są
zsynchronizowane
w
jednym
układzie
odniesienia,
nie
są
zsynchronizowane w żadnym innym układzie poruszającym się względem pierwszego układu.
Wnioskiem z tego jest:
Dwa zdarzenia, które są jednoczesne w jednym układzie odniesienia, nie są jednoczesne w innym
układzie poruszającym się względem pierwszego.
Zrozumienie tych faktów zwykle rozwiązuje wszystkie paradoksy szczególnej teorii względności.
Niestety, intuicyjna (i nieprawidłowa) wiara, że jednoczesność jest absolutnym związkiem jest trudna
do przezwyciężenia.
Załóżmy, że mamy dwa zegary w spoczynku w punkcie A i B w odległości L od siebie w układzie
S. W jaki sposób możemy zsynchronizować te dwa zegary? Jeżeli obserwator przy zegarze A patrzy
na zegar B i ustawi swój zegar, tak aby wskazywał ten sam czas co B, to zegary nie będą
zsynchronizowane, z powodu czasu L/c jaki upłynie zanim światło dotrze z jednego zegara do
drugiego. Aby zsynchronizować zegary obserwator A musi ustawić swój zegar do przodu o czas L/c.
Wtedy będzie on widział, że zegar B wskazuje czas, który późni się w stosunku do jego zegara o L/c,
jednak obliczy, że oba zegary są zsynchronizowane po uwzględnieniu czasu L/c, który jest potrzebny
aby światło dotarło do niego. Każdy inny obserwator, oprócz równooddalonych od tych zegarów,
stwierdzą, że oba zegary wskazują różne czasy, jednak również mogą obliczyć, że oba zegary są
zsynchronizowane, jeżeli uwzględnią czas jaki upłynie zanim światło dotrze do nich. Równoważnym
sposobem synchronizacji dwóch zegarów może być taki, że obserwator znajduje się w punkcie C
pośrodku między tymi zegarami i wysyła jednocześnie sygnał świetlny do obserwatorów przy
zegarach A i B. Gdy sygnał dociera do obserwatorów oba zegary są ustawiane na z góry zaplanowaną
godzinę.
11
Zbadajmy teraz problem jednoczesności. Załóżmy, że A i B uzgodnili, iż wystrzelą z pistoletu
sygnalizacyjnego w chwili t0 (mając wcześniej zsynchronizowane swoje zegary). Obserwator C
zobaczy światło z obu wystrzałów i ponieważ jest on równoodległy od A i B i stwierdzi, że oba błyski
są równoczesne. Inni obserwatorzy w układzie S będą widzieć najpierw błysk z A lub B, w zależności
od ich położenia, jednak po uwzględnieniu poprawek na czas jaki światło potrzebuje na dotarcie do
nich, również stwierdzą, że oba błyski były równoczesne. Możemy w związku z tym zdefiniować
jednoczesność jako:
Dwa zdarzenia w danym układzie odniesienia są jednoczesne, jeżeli sygnały świetlne z tych
zdarzeń osiągają obserwatora równoodległego od nich w tym samym czasie.
Definicja jednoczesności.
W celu pokazania, że dwa zdarzenia, które są
jednoczesne w układzie S nie są jednoczesne w
układzie S’ poruszającym się względem układu S
posłużymy się przykładem przedstawionym przez
Einsteina. Pociąg porusza się z prędkością V
względem peronu. Załóżmy, że pociąg jest w
spoczynku w S’ i peron jest w spoczynku w S.
S
Pociąg
S’
B’
B
C’
C
V
A’
A
LP
Rysunek 29.5
Mamy obserwatorów A’, B’ i C’ na początku
końcu i pośrodku pociągu. Załóżmy teraz, że
pociąg i peron zostają uderzone przez piorun z
przodu i tyłu pociągu i, że oba błyski są
jednoczesne w układzie związanym z peronem
S (Rysunek 29.5). Oznacza to, że obserwator
stojący po środku peronu widzi między
punktami A i B, w które uderzają oba pioruny,
widzi oba błyski jednocześnie. Wygodnie jest
założyć, że oba pioruny nadpalają i pociąg i
peron, dzięki czemu oba zdarzenia można
łatwo zlokalizować. Ponieważ C’ jest w
połowie drogi między miejscami w pociągu,
Rysunek 29.6
gdzie zostały wypalone znaki, to te zdarzenia
są jednoczesne w S’, tylko w tym wypadku,
12
jeżeli C’ widzi te zdarzenia jednocześnie. Jednak błysk na początku pociągu jest obserwowany przez
C’ przed błyskiem na końcu pociągu Można to zrozumieć analizując ruch C’ obserwowany z układu
S (Rysunek 29.6).
Zanim światło z przedniego błysku osiągnie C’, C’ zdąży przebyć pewną
odległość w kierunku przedniego błysku i oddali się o pewną odległość od tylnego błysku. Tak więc,
światło z tylnego błysku nie zdąży dotrzeć do C’ tak jak to widać na rysunku. Dlatego też obserwator
C’ musi w związku z tym wywnioskować, że zdarzenia te nie są jednoczesne i, że w początek
pociągu piorun uderzył wcześniej niż w tył. Co więcej, wszyscy obserwatorzy w S’ w pociągu
zgodzą się z C’ kiedy uwzględnią poprawkę na czas potrzebny, aby światło dotarło do nich.
Rysunek 29.7 przedstawia sytuację uderzeń piorunów widzianą w układzie odniesienia pociągu
(S’). W układzie tym peron porusza się, w rezultacie czego odległość między uderzeniami piorunów
w peron ulega skróceniu. Peron jest krótszy niż układzie S i ponieważ pociąg znajduje się w
spoczynku, pociąg jest dłuższy niż jego skrócona długość w układzie S. Kiedy piorun uderza w
początek pociągu w A’, początek pociągu jest w punkcie A, a tył pociągu nie dotarł jeszcze do B.
Rysunek 29.7
Później, kiedy piorun uderza w tył pociągu w B’, jego tył osiąga punkt B na peronie.
Niezgodność dwóch zegarów zsynchronizowanych w układzie S, a obserwowane w układzie S’
można policzyć wykorzystując równania transformacji Lorentza. Załóżmy, że mamy dwa zegary w
punkcie x1 i x2, które są zsynchronizowane w S. Jaki jest czas t1 i t2 wskazywany przez te zegary,
jeżeli są one obserwowane w układzie S’ w chwili t1’? Z równania 29.12 otrzymujemy:
𝑡0′ = 𝛾 𝑡1 −
𝑉𝑥 1
𝑡0′ = 𝛾 𝑡2 −
𝑉𝑥 2
𝑐2
i
𝑐2
Wtedy
𝑡2 − 𝑡1 =
𝑉
𝑐2
𝑥2 − 𝑥1
Zwróćmy uwagę, że spieszący się zegar (w x2) wyprzedza pierwszy (w x1) o wielkość, która jest
proporcjonalna do długości własnej Lp = x2 – x1.
13
Jeżeli dwa zegary są zsynchronizowane w układzie, w którym znajdują się w spoczynku, to nie
będą zsynchronizowane w innym układzie. W układzie odniesienia, w którym zegary poruszają
się spieszący się zegar spieszy się (pokazujący późniejszy czas) o
𝐕
𝚫𝐭 𝐒 = 𝐋𝐏 𝐜𝟐 ,
29.16
gdzie LP długością własną między zegarami.
Przykład liczbowy pozwoli lepiej zrozumieć dylatację czasu, synchronizację czasu i wewnętrzną
spójność otrzymanych wyników.
Przykład 1.
Obserwator w statku kosmicznym ma lampę błyskową i zwierciadło jak pokazane jest na rysunku
29.3. Odległość między lampą a zwierciadłem wynosi 15 minut świetlnych i statek porusza się w
układzie S’ z prędkością V = 0,8c względem bardzo długiego peronu w układzie S, który posiada
dwa zsynchronizowane zegary, jeden w położeniu x1 statku, kiedy obserwator wytwarza błysk lampą
i drugi w położeniu x2 statku, kiedy światło wraca do lampy odbite od lustra. Znajdź przedział czasu
między tymi zdarzeniami (błyskiem i powrotem do lampy) (a) w układzie odniesienia statku i (b) w
układzie platformy. (c) Znajdź odległość przebytą przez statek i (d) o ile zegary na peronie nie są
zsynchronizowane z punktu widzenia statku.
∆𝑡 ′ =
(a) 1. W statku kosmicznym światło porusza się z lampy
𝐷
𝑐
=
30𝑐∙𝑚𝑖𝑛
𝑐
= 30𝑚𝑖𝑛
do zwierciadła i z powrotem, całkowita odległość
wynosi D = 30c∙min. Czas wynosi D/c
∆𝑡𝑃 = 30𝑚𝑖𝑛
2. Ponieważ zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu,
to otrzymany przedział czasu jest czasem własnym:
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡 ′ = 𝛾 ∙ 30𝑚𝑖𝑛
(b) 1. W układzie S czas między zdarzeniami jest dłuższy:
2. Oblicz γ
3. Użyj wartości γ do obliczenia czasu między
Zdarzeniami w układzie S
(c) 1. Odległość przebyta przez statek w układzie S
𝛾=
1
1−𝑉 2 𝑐 2
=
1
1− 0,8 2
5
=3
5
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡𝑃 = 3 ∙ 30𝑚𝑖𝑛 = 50𝑚𝑖𝑛
Poruszający się z prędkością V w czasie Δt: 𝐷 = 𝑉 ∙ ∆𝑡 = 0,8𝑐 50𝑚𝑖𝑛 = 40𝑐 ∙ 𝑚𝑖𝑛
2. Odległość jest odległością własną między
zegarami na peronie:
(d) Wartość czasu, o którą różnią się zegary na
peronie od zegarów zsynchronizowanych,
𝐿𝑃 = 𝐷 = 40𝑐 ∙ 𝑚𝑖𝑛
14
∆𝑡𝑆 = 𝐿𝑃
a które znajdują się w odległości LP
𝑉
𝑐2
=
40𝑐∙𝑚𝑖𝑛
𝑐2
0,8𝑐
= 32𝑚𝑖𝑛
Uwagi. Obserwatorzy na peronie powiedzą, że zegar statku kosmicznego spóźnia się ponieważ
wskazuje czas tylko 30min między zdarzeniami, podczas gdy czas zmierzony na peronie wynosi
50min. Rysunek 29.8 przedstawia sytuację widzianą ze statku kosmicznego w S’. Peron porusza się
w kierunku tyłu statku Z prędkością 0,8C. Jeden zegar znajduje się w punkcie x 1, który pokrywa się
ze statkiem w momencie gdy lampa błyskowa błyska, a drugi znajduje się w x2, który pokrywa się ze
statkiem gdy światło wraca po odbiciu od zwierciadła. Załóżmy, że zegar w punkcie x1 wskazuje
12:00 w momencie kiedy następuje błysk światła. Zegary w x 1 i x2 są zsynchronizowane w S ale nie
są w S’. W S’ zegar w x2,
który
spieszy
Zwierciadło
się,
Zwierciadło
wyprzedza zegar w x1 o
32min,
czyli
będzie
wskazywać
12:32
odczytaną
przez
obserwatora w S’. W
momencie
gdy
statek
pokrywa się z x2, zegar
Rysunek 29.8
wskaże 12:50. Dlatego też czas między zdarzeniami wynosi 50min w układzie S. Zwróć uwagę, że
według obserwatora w S’ zegar ten odmierzy 50min – 32min = 18min rejestrując drogę, która trwa w
S’ 30min. W rezultacie obserwatorzy w S’ widzą zegary, które chodzą wolniej 30/18 = 5/3 razy.
Każdy obserwator w jednym układzie widzi, że zegary w drugim układzie odniesienia chodzą
wolniej. Według obserwatorów w S, którzy zmierzą 50-cio minutowy przedział czasu, przedział
czasu w S’ (30min) jest zbyt mały, czyli widzą pojedynczy zegar w S’, który spóźnia się 5/3 razy.
Według obserwatorów w układzie S’, obserwatorzy w S mierzą czas, który jest zbyt długi pomimo
faktu, że ich zegary chodzą zbyt wolno ponieważ zegary w S nie są zsynchronizowane. Zegary
odmierzą jedynie 18min, ale drugi wyprzedza pierwszy o 32min, czyli przedział czasu wynosi 50min.
29.5 Transformacja prędkości.
Możemy znaleźć transformację prędkości z jednego układu do drugiego poprzez zróżniczkowanie
równań transformacji Lorentza współrzędnych. Załóżmy, że cząstka ma prędkość 𝑢𝑥′ =
𝑑𝑥 ′
𝑑𝑡′
w
układzie S’, który porusza się w prawo z prędkością V względem układu S. Prędkość cząstki w
układzie S wynosi:
𝑢𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Z równań 29.9 i 29.10 mamy:
15
𝑑𝑥 = 𝛾(𝑑𝑥 ′ + 𝑉𝑑𝑡′)
i
𝑉𝑑𝑥 ′
` 𝑑𝑡 = 𝛾(𝑑𝑡 ′ +
𝑐2
)
Zatem prędkość w S jest równa:
𝑑𝑥
𝑢𝑥 =
𝛾 𝑑𝑥 ′ +𝑉𝑑𝑡 ′
=
𝑑𝑡
𝑉𝑑𝑥 ′
𝛾 𝑑𝑡 ′ + 2
𝑐
=
𝑑𝑥 ′
+𝑉
𝑑𝑡 ′
𝑉 𝑑𝑥 ′
1+ 2
𝑐 𝑑𝑡 ′
=
𝑢 𝑥′ +𝑉
𝑉𝑢 ′
1+ 2𝑥
𝑐
Jeżeli cząstka ma składowe wzdłuż osi y lub z, to podobnie możemy policzyć składowe prędkości:
𝑑𝑦
𝑢𝑦 =
=
𝑑𝑡
𝑑𝑦′
𝑢𝑦′
𝑑𝑦′
𝑑𝑡′
=
=
𝑉𝑑𝑥′
𝑉 𝑑𝑥′ 1 + 𝑉𝑢𝑥′
𝛾 𝑑𝑡 ′ + 2
1+ 2
𝑐2
𝑐
𝑐 𝑑𝑡′
i
𝑢𝑧 =
𝑢 𝑧′
𝑉𝑢 ′
1+ 2𝑥
𝑐
Ostatecznie transformacja prędkości ma postać:
𝐮𝐱 =
𝐮𝐲 =
𝐮𝐳 =
𝐮′𝐲 +𝐕
29.17a
𝐕𝐮′
𝟏+ 𝟐𝐱
𝐜
𝐮′𝐲
29.17b
𝐕𝐮′
𝛄 𝟏+ 𝟐𝐱
𝐜
𝐮′𝐳
29.17c
𝐕𝐮′
𝛄 𝟏+ 𝟐𝐱
𝐜
Transformacja odwrotna prędkości:
𝐮′𝐱 =
𝐮′𝐲 =
𝐮′𝐳 =
𝐮𝐱 −𝐕
𝐕𝐮
𝟏− 𝟐𝐱
𝐜
𝐮𝐲
𝐕𝐮
𝛄 𝟏− 𝟐𝐱
𝐜
𝐮𝐳
𝐕𝐮
𝛄 𝟏− 𝟐𝐱
𝐜
29.17a
29.17b
29.17c
Równania te różnią się od intuicyjnych klasycznych równań ponieważ mianowniki nie są równe 1.
Jeżeli V i ux’ są małe w porównaniu z prędkością światła c, to 𝛾 ≈ 1 i 𝑉𝑢𝑥′ /𝑐 2 ≪1. Wtedy
relatywistyczne i klasyczne wyrażenia są takie same.
Przykład 2.
16
Jedna rakieta porusza się z prędkością V = 0,8c względem nas wzdłuż osi x, a druga rakieta porusza
się wzdłuż osi x w tym samym kierunku co pierwsza z prędkością 0,8c względem pierwszej rakiety.
Jak szybko porusza się druga rakieta względem nas?
ux =
Należy użyć transformacji 29.17a:
u ′y +V
Vu′
1+ 2x
c
=
0,8c+0,8c
1+
0,8c (0,8c )
c2
= 0,98c
Jak widać wynik ten jest zupełnie inny o intuicyjnego klasycznego rezultatu. Jak zobaczymy dalej,
musi tak być, ponieważ do rozpędzenia ciała do prędkości światła potrzeba nieskończenie wielkiej
energii.
Przykład 3.
Dwa statki kosmiczne każdy mający
100m
długości
zmierzonej
kiedy
znajdują się w spoczynku poruszają
się naprzeciw siebie z prędkościami
0,85c względem Ziemi. (a) Ile wynosi
długość każdego ze statków mierzona
przez kogoś na Ziemi? (b) Jak szybko
porusza
się
każdy
ze
Ziemia
Rysunek 29.9
statków
względem obserwatora na jednym ze
statków? (c) Jaka jest długość każdego ze statków jeżeli mierzona jest przez obserwatora na statku?
(d) W chwili t = 0 na Ziemi początki statków pokrywają się – zaczynają się wymijać. Po jakim czasie
na Ziemi wyminą się.
Analiza. (a) Długość statków zmierzona na Ziemi ulega skróceniu i wynosi L =
1 − V 2 /c 2 LP . Aby
rozwiązać (b) przyjmijmy, że Ziemia jest w układzie odniesienia S i statek po lewej stronie znajduje
się w układzie S’ i porusza się z prędkością V = 0,85c względem Ziemi. Drugi statek po prawej
stronie porusza się z prędkością ux = -0,85c względem Ziemi (Rysunek 29.9). (c) Długość każdego ze
statków widziana z drugiego jest równa L =
1 − V22 /c 2 LP gdzie V2 jest prędkością jednego statku
względem drugiego.
L=
(a) Długość każdego ze statków widziana z układu
z Ziemią jest równa długości własnej podzielonej
=
1 − (0,85c)2 /c 2 100m =
= 52,7𝑚
przez γ:
u′x =
(b) Użyj transformacji prędkości, aby znaleźć
u x −V
Vu
1− 2x
c
=
−0,85c−0,85c
1−
0,85c (−0,85 c )
c2
=
= −0,987𝑐
prędkość ux’ statku po prawej zmierzonej w układzie S’:
(c) W układzie statku, prawy statek porusza się z
1 − V 2 /c 2 LP = związanego
L=
V2
1 − c 22 LP 1 −
(0,987c)2
c2
100m
17
= 16,1𝑚
prędkością V2 = -0,987c. Użyj jej do obliczenia długości
statku prawego:
(d) Jeżeli początki statków pokrywają się w chwili t = 0 na
𝐿
𝑡=𝑉=
52,7𝑚
0,85𝑐
= 2,07 ∙ 10−7 𝑠.
Ziemi, to ich końce pokryją się po czasie jaki zajmie
każdemu ze statków przebycie drogi równej długości
statku jaki jest widziany z Ziemi:
29.6 Relatywistyczny pęd.
Jak widzieliśmy postulaty Einsteina wymagają istotnej modyfikacji pojęcia jednoczesności i
pomiaru długości i czasu. Równie ważnej modyfikacji wymagają pojęcia masy, pędu, czy energii. W
mechanice klasycznej pęd cząstki jest iloczynem masy i prędkości 𝑝 = 𝑚𝑢 , gdzie 𝑢 jest prędkością.
W izolowanych układach, w których nie działają żadne siły pęd układu pozostaje stały.
Za pomocą prostego myślowego eksperymentu możemy się przekonać, że 𝑝 = 𝑚𝑢 nie jest
zachowany.
obserwatorów:
Rozważmy
obserwator
dwóch
A
w
układzie S i obserwator B w układzie
S’, który porusza się na prawo w
kierunku x z prędkością V względem
układu S. Każdy z nich ma piłkę o
masie m. Piłki są jednakowe, jeżeli
porównywać, je w spoczynku. Jeden
obserwator rzuca swoją piłkę do góry z
prędkością u0 względem siebie, a drugi
Rysunek 29.10
rzuca swoją piłkę do dołu z prędkością u0 względem siebie. Obie piłki przebywają odległość L,
następuje zderzenie sprężyste i powrót. Rysunek 29.10 pokazuje jak wygląda zderzenie w każdym z
układów. Klasyczne każda piłka ma pęd o wartości mu0. Ponieważ pionowe składowe pędów są
równe i przeciwnie skierowane, to całkowity pęd w kierunku pionowym jest równy zero przed
zderzeniem. Zderzenie jedynie zmieni pędy na przeciwne, a zatem całkowity pęd pozderzaniu
również będzie równy zero.
Relatywistycznie, jednak, pionowe składowe prędkości tych dwóch piłek widziane przez każdego
obserwatora nie będą równe i przeciwne. Rozważmy zderzenie widziane przez A w układzie S.
Prędkość jego piłki wynosi uAy – u0. Ponieważ, prędkość piłki B w układzie S’ jest uBx’ = 0,
uBy’=
= -u0, to składowa pionowa prędkości piłki B w układzie S będzie równa uBy = - u0/γ. W rezultacie
jeżeli wziąć klasyczną definicję pędu 𝑝 = 𝑚𝑢, wtedy pionowe składowe pędu tych dwóch piłek nie
będą jednakowe dla obserwatora A. Ponieważ po zderzeniu ruch piłek zostaje odwrócony, to pęd
18
układu nie zostanie zachowany. Oczywiście ten sam wynik uzyska obserwator B. Dla przypadku
klasycznego, gdy u jest znacznie mniejsze od c, γ praktycznie równa się jeden i pęd w obu układach
jest zachowany.
Powód, dla którego całkowity pęd układu jest ważny w mechanice klasycznej, jest fakt, że jest
zachowany, jeżeli nie działają siły zewnętrzne, jak to ma miejsce w przypadku zderzenia. Jednak
widzieliśmy, że
𝑚𝑢 jest tylko zachowana, gdy 𝑢 ≪ 𝑐. Zdefiniujemy pęd relatywistyczny 𝑝 jako
wielkość posiadającą następujące własności:
1. W zderzeniach, 𝑝 jest zachowany.
2. Gdy u/c dąży do zera, to𝑝 dąży 𝑚𝑢 do .
Zobaczymy poniżej, że wielkość
𝑝=
𝑚𝑢
29.18
1−𝑢 2 /𝑐 2
Jest zachowana w zderzeniu sprężystym pokazanym na rysunku 29.10. Ponieważ ta wielkość
również dąży do 𝑚𝑢 gdy u/c dąży do zera, to możemy przyjąć to wyrażenie jako definicją
relatywistycznego pędu cząstki.
Jedną z interpretacji 29.18 jest to, że masa obiektu wzrasta wraz z prędkością. Wielkość
𝑚/ 1 − 𝑢2 /𝑐 2 jest nazywana masą relatywistyczną. Masa cząstki kiedy znajduje się w spoczynku
w danym układzie odniesienia nazywa się masą spoczynkową m0. Masa spoczynkowa jest taka
sama we wszystkich układach odniesienia. W rezultacie możemy zapisać wzór definicyjny dla pędu
relatywistycznego w postaci:
𝐩=
𝐦𝟎 𝐮
29.19
𝟏−𝐮𝟐 /𝐜 𝟐
Ilustracja zasady zachowania pędu relatywistycznego.
Policzmy składową y-ową relatywistycznego pędu każdej z cząstek w układzie S w zderzeniu z
rysunku 29.10 pokażmy, że y-owa składowa całkowitego pędu relatywistycznego wynosi zero.
Prędkość piłki A w S wynosi u0, zatem jej składowa y-owa pędu:
pAy =
m 0u0
1−u 2o /c 2
.
Prędkość piłki B w układzie S jest bardziej skomplikowana. Jej składowa x-owa jest równa V,
a składowa y-owa jest równa −u0 /γ. Czyli:
u2B = u2Bx + u2By = V 2 + − 1 − V 2 c 2 = V 2 + u20 −
Wykorzystując ten wynik, aby obliczyć
u 20 V 2
c2
1 − u2B /c 2 , otrzymujemy:
1−
u 2B
c2
19
= 1−
V2
c2
−
u 20
c2
+
u 20 V 2
c4
= 1−
V2
c2
1−
u 20
c2
i
1 − u2B c 2 =
1 − V 2 c 2 1 − u20 c 2 = 1 γ
1 − u20 c 2
Składowa y-owa relatywistycznego pędu piłki B widziana z układu S jest w rezultacie równa
pBy =
m u By
1−u 2B c 2
−mu 0 /γ
=
1−u 20 c 2
1 γ
=
−mu 0
1−u 20 c 2
Ponieważ pBy = −pAy składowe y-owe całkowitego momentu pędu tych dwóch piłek jest równa
zero. Jeżeli prędkość każdej z piłek zmieni się na przeciwną po zderzeniu, to całkowity pęd
pozostanie zero i pęd ulegnie zachowaniu.
29.7 Energia relatywistyczna.
W mechanice klasycznej praca wykonana przez niezrównoważoną siłę działająca na cząstkę jest
równa zmianie energii kinetycznej cząstki. W mechanice relatywistycznej przyrównuje się
niezrównoważoną siłę do szybkości zmian pędu relatywistycznego cząstki. Można wtedy obliczyć
pracę wykonaną przez taką siłę i przyrównać ją do zmiany energii kinetycznej.
Tak samo jak w mechanice klasycznej, zdefiniujemy energię kinetyczną jako pracę wykonaną
przez niezrównoważoną siłę podczas przyspieszania cząstki od stanu spoczynku do pewnej
prędkości. Rozpatrując zagadnienie tylko w jednym wymiarze otrzymujemy:
𝐾=
𝑢
𝑢=0
𝑢 𝑑𝑝
𝑜 𝑑𝑡
𝐹 𝑑𝑠 =
𝑑𝑠 =
𝑢
0
𝑢𝑑𝑝 =
𝑢
0
𝑚0𝑢
𝑢𝑑
1−𝑢 2 𝑐 2
,
29.20
Gdzie u =ds./dt. Różniczkując mamy:
𝑑
𝑚0𝑢
1−𝑢 2 𝑐 2
𝑢2
= 𝑚0 1 − 𝑐 2
−3/2
𝑑𝑢
Jeżeli podstawimy to pod całkę w wyrażeniu 29.20, to otrzymamy
𝐾=
𝑢
0
𝑢2
𝑚0 1 − 𝑐 2
−3/2
𝑢𝑑𝑢 = 𝑚0 𝑐 2
1
1−𝑢 2 𝑐 2
−1
29.21
lub
𝐊=
𝐦𝟎 𝐜 𝟐
𝟏−𝐮𝟐 𝐜 𝟐
− 𝐦𝟎 𝐜 𝟐
29.22
Relatywistyczna energia kinetyczna.
Wyrażenie na energię kinetyczną składa się z dwu czynników. Pierwszy czynnik zależy od
prędkości cząstki. Drugi, 𝐦𝟎 𝐜 𝟐 jest niezależny od prędkości. Wielkość m0c2 nazywa się energią
spoczynkową E0 cząstki:
20
𝐄𝟎 = 𝐦𝟎 𝐜 𝟐
29.23
Energia spoczynkowa.
Całkowita energia relatywistyczna E jest zdefiniowana jako suma energii kinetycznej i energii
spoczynkowej:
𝐄 = 𝐊 + 𝐦𝟎 𝐜 𝟐 =
𝐦𝟎 𝐜 𝟐
29.24
𝟏−𝐮𝟐 𝐜 𝟐
Energia relatywistyczna.
Tak więc praca wykonana przez niezrównoważoną siłę zwiększa energię od energii spoczynkowej
m0c2 do końcowej energii 𝑚𝑜 𝑐 2 / 1 − u2 c 2 = mr c 2 , gdzie mr = m0 / 1 − u2 c 2 jest masą
relatywistyczną. Możemy otrzymać pożyteczne równanie na prędkość cząstki poprzez pomnożenie
równania 29.19 na pęd relatywistyczny przez c2 i porównanie wyniku z 29.24. Otrzymujemy
m 0c2u
𝑝𝑐 2 =
1−u 2 c 2
= Eu
lub
𝐮
𝐜
=
𝐩𝐜
29.25
𝐄
Energie w fizyce atomowej lub w jądrowej są wyrażane na ogół w jednostkach elektronowoltach
(eV) lub megaelektronowoltach (MeV):
1𝑒𝑉 = 1,6 ∙ 10−19 𝐽
Wygodną jednostką dla mas jest eV/c2 lub MeV/c2. W tabeli przedstawione są energie
spoczynkowe dla kilku cząstek elementarnych.
Energia spoczynkowa cząstek elementarnych
Cząstka
Symbol
Energia spoczynkowa, MeV
Foton
γ
0
Elektron
e
0,5110
Mion
μ+
105,7
Pion
π0
135
π+
139,6
p
938,280
n
939,573
H lub d
1875,628
Proton
Neutron
Deuteron
2
Tryton
3
3
Hel-3
Cząstka α
H lub t
4
2808,944
He
2808,41
He lub α
3727,409
21
Wyrażenie na energię kinetyczną dane równaniem 29.22 nie jest zbyt podobne do klasycznego
1
równania 2 𝑚0 𝑢2 . Jednak kiedy u jest znacznie mniejsze od c możemy zapisać wartość przybliżoną
1/ 1 − u2 c 2 stosując rozłożenie w szereg:
1+𝑥
𝑛
= 1+
𝑛𝑥
1!
+
𝑛 𝑛 −1 𝑥 2
2!
+ ⋯ ≈ 1 + 𝑛𝑥
29.26
Wtedy
1
1−u 2 c 2
u2
= 1 − c2
−1/2
1 u2
≈ 1 + 2 c2
Tak więc, kiedy u jest dużo mniejsze od c wzór na relatywistyczną energię kinetyczną przybiera
postać:
m0 c 2
1
1−u 2 c
1 u2
1
− 1 ≈ m0 c 2 1 + 2 c 2 − 1 = 2 m0 u2
2
Widać, że dla małych prędkości wyrażenie relatywistyczne ma taką samą postać jak klasyczne.
Zwróćmy uwagę, że jeżeli prędkość zbliża się do prędkości
światła c, to wyrażenie na energię cząstki staje się bardzo duże
E2 = (pc)2 + (m0c2)2
(równanie 29.24). Dla u = c energia jest nieskończona. Prosta
interpretacja tego, że potrzeba nieskończenie dużej energii do
E
pc
przyspieszenia cząstki do prędkości światła jest taka, że żadna
cząstka, która jest zawsze w spoczynku w dowolnym inercyjnym
m0c2
układzie odniesienia nie może poruszać się tak szybko, lub
Rysunek 29.11
szybciej niż prędkość światła. Jak było pokazane w przykładzie 2, jeżeli prędkość cząstki jest
mniejsza od c w jednym układzie odniesienia, to jest mniejsza we wszystkich układach odniesienia
poruszających się względem danego z prędkością mniejszą niż c.
W zastosowaniach praktycznych pęd lub energia cząstki jest częściej używana niż prędkość.
Równanie 29.19 i równanie 29.24 mogą zostać do wyeliminowania u. W rezultacie otrzymamy:
𝐄𝟐 = 𝐩𝟐 𝐜 𝟐 + 𝐦𝟎 𝐜 𝟐
𝟐
29.27
Związek między pędem, całkowitą energią i energią spoczynkową.
Ten pożyteczny związek łatwo zapamiętać jeżeli posłużyć się trójkątem prostokątnym jak na
rysunku 29.11. Jeżeli drugi składnik jest znacznie większy od energii spoczynkowej m 0c2,
otrzymamy użyteczny przybliżenie:
𝐄 ≈ 𝐩𝐜
dla
𝐄 ≫ 𝐦𝟎 𝐜 𝟐
29.28
22
Przybliżenie 29.28 jest dokładną równością między energią, a pędem dla cząstek nie mających
masy spoczynkowej takich jak fotony.
Masa spoczynkowa i energia.
Einstein traktował równanie 29.23 wiążące energię cząstki z jej masą jako najważniejszy wniosek
szczególnej teorii względności. Energia i bezwładność, które wcześniej stanowiły dwie odrębne
pojęcia, są powiązane przez to słynne równanie. Jak było już wspominane w wykładzie
wcześniejszym, zamiana energii spoczynkowej w energię kinetyczną z towarzyszącym jej ubytkiem
masy spoczynkowej jest typowym zjawiskiem w rozpadach promieniotwórczych i reakcjach
jądrowych, włączając w to rozszczepienie i syntezą jądrową. Można to zilustrować na przykład
rozpatrując deuteron, którego masa spoczynkowa wynosi 2,22MeV/c2 i jest mniejsza niż masa
spoczynkowa jego składowych – protonu i neutronu. Kiedy proton i neutron ulegają połączeniu, to
energia jest uwalniana. Rozbicie deuteronu na proton i neutron wymaga użycia energii 2,22MeV.
Czyli proton i neutron są związane z sobą energią wiązania 2,22MeV. Dowolna złożona cząstka,
taka jak deuteron lub jądro helu, która jest zbudowana z innych cząstek ma masę spoczynkową i
energię spoczynkową mniejszą niż suma mas spoczynkowych i energii spoczynkowych składników.
Ta różnica mas spoczynkowych jest właśnie energią wiązania składowych cząstek./Energie wiązania
atomów i cząstek chemicznych są rzędu kilku elektronowoltów, co powoduje, że możemy zaniedbać
różnicę między masą całości, a masą części składowych. Energie wiązania jąder atomowych są
rzędu MeV, z czym wiąże się znaczna różnica mas. Niektóre bardzo ciężkie jądra mają, takie jak
rad, są radioaktywne i rozpadają się na lżejsze jądra plus cząstka alfa. W takim przypadku pierwotne
jądro ma energię spoczynkową większą niż energia spoczynkowa produktów rozpadu. Nadmiar
energii przejawia się w energii kinetycznej produktów rozpadu.
W celu dalszego zilustrowania związku
między masą spoczynkową, a energią
rozpatrzmy
idealnie
niesprężyste
zderzenie. W podejściu klasycznym cała
energia jest tracona w takim zderzeniu.
Relatywistycznie
strata
Rysunek 29.12
energii
kinetycznej przejawia się we wzroście energii spoczynkowej, czyli całkowita energia systemu jest
zachowana. Weźmy cząstkę o masie spoczynkowej m0,1 poruszającą się z prędkością u1, która zderza
się z cząstką o masie spoczynkowej m0,2 poruszającą się z prędkością u2. Cząstki zderzają się i
ulegają zlepieniu tworząc cząstkę o masie spoczynkowej M0, która porusza się z prędkością uf, tak
jak widać to na rysunku 29.12. Początkowa energia całkowita cząstki 1wynosi
23
𝐸1 = 𝐾1 + 𝑚0,1 𝑐 2
gdzie K1 jest początkową energią kinetyczną Podobnie energia całkowita drugiej cząstki:
𝐸2 = 𝐾2 + 𝑚0,2 𝑐 2
Energia całkowita układu wynosi:
𝐸𝑖 = 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐾1 + 𝑚0,1 𝑐 2 + 𝐾2 + 𝑚0,2 𝑐 2 = 𝐾𝑖 + 𝑚0,1 + 𝑚0,2 𝑐 2
Gdzie Ki = K1 + K2 jest całkowitą początkową energią kinetyczną układu. Całkowita energia
końcowa układu wynosi:
𝐸𝑓 = 𝐾𝑓 + 𝑀0 𝑐 2
Jeżeli Ei = Ef, to:
𝐾𝑓 + 𝑀0 𝑐 2 = 𝐾𝑖 + 𝑚0,1 + 𝑚0,2 𝑐 2
W związku z tym zmiana energii kinetycznej wynosi:
𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑀0 − 𝑚0,1 + 𝑚0,2 𝑐 2 = ∆𝑚0 𝑐 2
Gdzie ∆𝑚0 = 𝑀0 − 𝑚0,1 + 𝑚0,2 jest wzrostem masy spoczynkowej układu.
Przykład 4.
Cząstka o masie spoczynkowej 2MeV/c2 i energii kinetycznej 3MeV zderza się z cząstką w
spoczynku o masie spoczynkowej 2MeV/c2. Po zderzeniu obie cząstki sklejają się. Znajdź (a)
początkowy pęd układu, (b) końcową prędkość układu i (c) masę spoczynkową układu dwu cząstek.
Rozwiązanie.
(a) 1. Pęd początkowy nadlatującej cząstki
związany jest z energią:
E 2 = p2 c 2 + m0 c 2
2
𝐸12 − 𝑚0 𝑐 2
2
𝑝𝑐 =
2. Całkowita energia nadlatującej cząstki,
to jej energia kinetyczna i energia spoczynkowa:
3. Użyj wzór powyżej do obliczenia pędu:
E1 = 3MeV + 2MeV = 5MeV
𝑝𝑐 = 𝐸12 − 𝑚0 𝑐 2
= 21𝑀𝑒𝑉
2
=
5𝑀𝑒𝑉
2
− 2𝑀𝑒𝑉
𝑝 = 4,28𝑀𝑒𝑉/𝑐
(b) 1. Można znaleźć prędkość końcową układu
u
c
=
pc
E
korzystając z równania 29.25:
2. Z zasady zachowania energii całkowitej,
Ef = Ei = E1 + E2 = 5MeV + 4MeV = 9MeV
energia końcowa jest równa sumie energii
całkowitych obu cząstek
3. Z zasady zachowania pędu pęd końcowy
𝑝 = 4,28𝑀𝑒𝑉/𝑐
2
=
24
Układu równy jest pędowi początkowemu:
4. Możemy wyliczyć u z 1. :
(c)
Możemy znaleźć masę spoczynkową układu
Obu cząstek z równania 29.27 podstawiając
pc = 4,58MeV, E = 9MeV:
u
c
=
pc
E
=
4,58MeV
9MeV
= 0,509
9MeV 2 = 4,58MeV
M0 = 7,75MeV/c 2
2
+ M0 c 2
2
Uwaga. Zwróć uwagę, że energia spoczynkowa wzrosła z 6MeV do 7,75MeV. Ten wzrost razy c 2
jest równy stracie energii kinetycznej układu.
Ćwiczenie. (a) Znajdź końcową energię kinetyczną układu sklejonych dwu cząstek z powyższego
przykładu. (b) Znajdź stratę energii kinetycznej w zderzeniu. (c) Pokaż, że Kstrac = ΔMc2, gdzie ΔM
jest wzrostem masy układu. (Odpowiedzi: (a) Kf = 1,25MeV, (b) Kstrac = 1,75MeV, (c) ΔMc2 = M0c2
– Mic2 = 1,75MeV = Kstrac.

szczególna teoria względnoości

Transkrypt

Podobne dokumenty

Energia i moc - Akademia Morska w Gdyni