Dynamika klasyczna 1

Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 3 – Dynamika – Ujęcie Klasyczne
Pcospt
Dla układu przedstawionego na rysunku i
następujących danych:
MASY[kg]: m1=350; m2=200; m3=100
WYMIARY[m]: l1=3,0; l2=2,5; l3=1,5
AMPLITUDA SIŁY WYMUSZAJĄCEJ[N]: P=8000
CZĘSTOTLIWOŚĆ SIŁY WYMUSZAJĄCEJ[Hz]: p=42
m1
m2
m3
l1
Należy:
1. Zaprojektować przekroje prętów przy
l1
l3
l3
l2
statycznym obciążeniu tak, aby maksymalne
naprężenia były rzędu 100 [MPa]. Przyjąć
I=const. oraz A=const.
2. Obliczyć częstości i postacie drgań własnych.
3. Obliczyć amplitudy drgań wymuszonych przez zadane obciążenie harmoniczne, znaleźć siły
dynamiczne działające na układ oraz sporządzić obwiednię dynamicznych momentów
zginających.
SSD=3
Przemieszczenia poziome wszystkich trzech mas są powiązane
z sobą zatem oznaczam jako jedno przemieszczenie poziome
q1, które jest prawdziwe dla wszystkich mas.
q1
q2
q3
Częstotliwości drgań własnych jest tyle ile stopni SSD.
Z każdym przemieszczeniem masy związana jest siła
bezwładności.
Zapisuję równanie ruchu poprzez współczynniki podatności:
..
-mq 1
..
-m2 q2
..
-m 3 q
q1=(-mq1”)δ11+(-m2q2”)δ12+(-m3q3”)δ13
q2=(-mq1”)δ21+(-m2q2”)δ22+(-m3q3”)δ23
q3=(-mq1”)δ31+(-m2q2”)δ32+(-m3q3”)δ33
współczynniki podatności obliczam z równania pracy
wirtualnej:
2
3
1
2
3
1.5
0.857
0.857
1.286
0.857
0.643
0.643
1.714
0.571
M1 [m]
EJδ11=
EJδ12=
EJδ13=
EJδ22=
EJδ23=
EJδ33=
M2 [m]
M3 [m]
10.162449
0.831594
-6.427286
3.005294
-1.701297
3.344612
q1=(-mq1”)δ11+(-m2q2”)δ12+(-m3q3”)δ13
q2=(-mq1”)δ21+(-m2q2”)δ22+(-m3q3”)δ23
q3=(-mq1”)δ31+(-m2q2”)δ32+(-m3q3”)δ33
Przyjmuję: m3=m=100kg, m2=2m=200kg, m1=3.5m=350kg
q1+(6.5m*16.2449/EJ)*q1”+(2m*0.831594/EJ)*q2”+(m*-2.510225/EJ)*q3”=0
q2+(6.5m*0.831594/EJ)*q1”+(2m*3.005294/EJ)*q2”+(m*-1.701297/EJ)*q3”=0
q3+(6.5m*-2.510225/EJ)*q1”+(2m*-1.701297/EJ)*q2”+(m*3.344612/EJ)*q3”=0
q1+66.0559*mq1”/EJ+1.6632*mq2”/EJ-2.5102*mq3”/EJ=0
q2+5.4054*mq1”/EJ+6.0106*mq2”/EJ-1.7013*mq3”/EJ=0
q3-16.3165*mq1”/EJ-3.4026*mq2”/EJ+3.3446*mq3”/EJ=0
Układ równań różniczkowych jednorodnych.
Posługiwać się będę metodą przewidywań do rozwiązania równania różniczkowego.
qi=Aicosωt
q”i=-Aiω2cosωt
-> przyjmuję, że układ wykonuje drgania harmoniczne cosωt
1
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 3 – Dynamika – Ujęcie Klasyczne
(1-66.0559*mω2/EJ)*A1-1.6632*(mω2/EJ)*A2+2.5102*(mω2/EJ)*A3=0
-5.4054*(mω2/EJ)*A1+(1-6.0106*mω2/EJ)*A2+1.7013*(mω2/EJ)*A3=0
16.3165*(mω2/EJ)*A1+3.4026*(mω2/EJ)*A2+(1-3.3446*mω2/EJ)*A3=0
Taki układ matematycznie nazywając nazywamy problemem własnym.
Układ ten posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik macierzy równa się zeru |W|=0
Wprowadzam λ=mω2/EJ
Z=
2.5102 ⋅ λ
 ( 1 − 66.0559 ⋅ λ ) −1.6632 ⋅ λ

( 1 − 6.0106 ⋅ λ ) 1.7013 ⋅ λ 
 −5.4054 ⋅ λ
 16.3165 ⋅ λ
3.4026 ⋅ λ
( 1 − 3.3446 ⋅ λ ) 

Wyznacznik z macierzy:
|W|=0
1-75.4111*λ+582.33242548*λ2-761.626775684122*λ3=0
Pamietamy, że podstawiamy do obliczeń wartości w jednostkach podstawowych tj. m[kg] i EJ[Nm2]
Wartości własne:
3o λ1=0.604351257
1o λ2=0.014953622
2o λ3=0.1452853914
Dobór przekroju:
M/W<σdop
σdop=100 MPa = 100000 kPa=kN/m2
Max mom. na pręcie 01 to 1.286
W>=Mmax/σdop
W>=2.101426/(100*103) [kNm/(kN/m2)=m3]
W>=0.00002101426 [m3]
W≈21.01426 [cm3]
Dobrałem przekrój: I100; I=171 [cm4]
I=171 [cm4] = 171*10-8 [m4]
E=205 [GPa] = 205*109 [N/m2]
Obliczam częstotliwości drgań własnych:
ω :=
EJ ⋅ λ
m
[rad/s]
3o ω1=46.02773545
1o ω2=7.240160
2o ω3=22.56763035
One mówią nam jakie wartości są pożądane dla naszego układu.
Każda z otrzymanych wartości jest NIEBEZPIECZNA dla naszego układu. NAJNIEBEZPIECZNIEJSZA jest
wartość najmniejsza. Dla każdej z nich powstanie REZONANS.
Obliczam amplitudy drgań, przyjmując za jedną z amplitud np. A1=1, inaczej nie otrzymamy
żądanych wartości.
Dla 1o λ2=0.014953622 otrzymuje wartości Ai:
A1=1
A2=-0.096151
A3=0.261972
Dla 2o λ3=0.1452853914 otrzymuje wartości Ai:
A1=1
A2=17.352657
A3=-12.075463
Dla 3o λ1=0.604351257 otrzymuje wartości Ai:
A1=1
A2=-11.825621
A3=-33.45501
2
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 3 – Dynamika – Ujęcie Klasyczne
Dla ω=7.240160 rad/s
Dla ω=22.56763035 rad/s
Dla ω=46.02773545 rad/s
Sprawdzenie ortogonalności postaci drgań (wektory własne muszą być ortogonalne) I-II i II-III:
1o
AI={A1=1,A2=-0.096151,A3=0.261972}
AII={A1=1,A2=17.352657,A3=-12.075463}
AI*M*AII=0
I
II
I
II
I
M:=




6.5 m
0
0
0
2m 0
0
0
m

Macierz mas, macierz
diagonalna.

II
A1 *6.5m*A1 +A2 *2m*A2 +A3 *m*A3 =0
6.5m+(-0.096151)*2m*17.352657+0.261972*m*(-12.075463)=0
6.5m-3.336951m-3.163433m=0
błąd procentowy 0.000000059%<<1%
2o
AII={A1=1,A2=17.352657,A3=-12.075463}
AIII={A1=1,A2=-11.825621,A3=-33.45501}
A1II*6.5m*A1III+A2II*2m*A2III+A3II*m*A3III=0
6.5m+17.352657*(-11.825621)*2m+12.075463*33.45501*m=0
6.5m-410.411890m+403.984735m=0
-0.072845/-41041.1890=0.00000177<<1%
Obliczenia uznaję za poprawne.
3
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 3 – Dynamika – Ujęcie Klasyczne
Obliczam amplitudy drgań wymuszonych przez zadane obciążenie harmoniczne. Znajduję siły
dynamiczne działające na układ oraz sporządzam obwiednię dynamicznych momentów zginających.
m=100kg
m1
m2
m3
AMPLITUDA SIŁY WYMUSZAJĄCEJ:
P=8000 [N]
CZĘSTOTLIWOŚĆ SIŁY WYMUSZAJĄCEJ:
p=42 [Hz] =263.9 [rad/s]
siły bezwładności działające na układ:
..
-6.5mq 1
..
..
-mq3
-2mq2
q1= δ11(-6.5mq1”)+δ12[(-2mq2”)+Pcospt]+δ13(-mq3”)
q2= δ21(-6.5mq1”)+δ22[(-2mq2”)+Pcospt]+δ23(-mq3”)
q1= δ31(-6.5mq1”)+δ32[(-2mq2”)+Pcospt]+δ33(-mq3”)
q1+δ116.5mq1”+δ122mq2”+δ13mq3”=δ12Pcospt
q2+δ216.5mq1”+δ222mq2”+δ23mq3”=δ12Pcospt
q3+δ316.5mq1”+δ322mq2”+δ33mq3”=δ12Pcospt
qi=Aicospt
q”i=-p2Aicospt
gdzie p jest dane
2
A1cospt+δ116.5m(-p A1cospt)+δ122m(-p2A2cospt)+δ13m(-p2A3cospt)=δ12Pcospt
A2cospt+δ216.5m(-p2A1cospt)+δ222m(-p2A2cospt)+δ23m(-p2A3cospt)=δ12Pcospt
A3cospt+δ316.5m(-p2A1cospt)+δ322m(-p2A2cospt)+δ33m(-p2A3cospt)=δ12Pcospt
Dzielę równania przez cospt:
A1+δ116.5m(-p2A1)+δ122m(-p2A2)+δ13m(-p2A3)=δ12P
A2+δ216.5m(-p2A1)+δ222m(-p2A2)+δ23m(-p2A3)=δ12P
A3+δ316.5m(-p2A1)+δ322m(-p2A2)+δ33m(-p2A3)=δ12P
A1+(-1312.322409)*A1+(-33.042291)*A2+127.689867*A3=0.01897804
A2+(-107.387446)*A1+(-119.411394)*A2+33.799396*A3=0.01897804
A3+829.984135*A1+67.598783*A2+(-66.446874)*A3=0.01897804
Otrzymujemy amplitudy sił wymuszonych:
A1=-0.00013634
A2=-0.00017048
A3=-0.001592935
B=-mq”=(mp2A)cospt
[m]
gdzie mp2A-amplituda siły bezwładności
|B1|=3.5*100*(-0.000136)*263.92=-3315.017 [N]= -3.3 [kN]
|B2|=2*100*(-0.000171)*263.92= -2381.798 [N]= -2.4 [kN]
|B3|=100*(-0.001593)*263.92= -11094.163 [N]=-11.1 [kN]
dla cospt=1
Obwiednia momentów dynamicznych [kNm]
6.493
0.257
5.411
16.393
16.650
4