Wykład 6

Linearyzacja otwartych i zamkniȩtych ukÃladów sterowania.
Pośrednia metoda Lapunowa
Pośrednia (pierwsza) metoda Lapunowa badania stabilności nieliniowych ukÃladów sterowania
Metoda ta określona jest jako pośrednia, gdyż za pomoca̧ tej metody badamy
stabilność ukÃladów nieliniowych pośrednio na podstawie badania stabilności
ich liniowych aproksymacji.
Metoda ta polega na linearyzacji zredukowanego nieliniowego równania
stanu ẋ = f (x) w otoczeniu zerowego punktu równowagi: ẋ = Ax + r(x), gdzie
A = (∂fi /∂xj ) jest macierza̧ Jacobiego ukÃladu, a r(x) jest nieskończenie maÃla̧
rzȩdu wyższego niż x tj. lim||x||→0 r(x)/x = 0. UkÃlad nieliniowy zastȩpujemy
jego liniowa̧ aproksymacja̧ ẋ = Ax i formuÃlujemy warunki stabilności lokalnej
ukÃladu nieliniowego (w maÃlym otoczeniu punktu równowagi) wynikaja̧ce z
badania stabilności liniowej aproksymacji tego ukÃladu.
Jeśli w pierwotnym ukÃladzie badamy niezerowy statyczny punkt pracy
(x̄, ū), to obliczanie macierzy Jacobiego w zerowym zredukowanym punkcie
równowagi A = (∂fi /∂xj )|x̃=0 jest równoważne z obliczaniem tej macierzy
w statycznym punkcie pracy ukÃladu pierwotnego A = (∂fi /∂xj )|x=x̄,u=ū , co
wynika z określenia przeksztaÃlcenia redukcyjnego x = x̃ + x̄.
Pośrednia metoda Lapunowa: UkÃlad nieliniowy jest lokalnie stabilny
asymptotycznie w zerowym punkcie równowagi, jeżeli jego liniowa aproksymacja jest stabilna asymptotycznie w tym punkcie. UkÃlad nieliniowy jest niestabilny , jeżeli jego liniowa aproksymacja jest niestabilna. Jeżeli liniowa
aproksymacja ukÃladu jest stabilna, lecz niekoniecznie asymptotycznie, to o stabilności ukÃladu nieliniowego nic nie można wnioskować na podstawie badania
stabilności ukÃladu zlinearyzowanego.
Dowód: ZaÃlóżmy, że dobraliśmy funkcjȩ Lapunowa dla ukÃladu zlinearyzowanego:
V (x) = xT M x, V̇ (x) = −xT N x, M > 0, N > 0.
1
Uwzglȩdniamy resztȩ z liniowej aproksymacji
V̇ (x) = xT (A + r(x))T M + M (A + r(x))
= xT (AT M + M A)x + xT (rT M + M r(x))x = −xT N x + 2r(x)x.
Dla maÃlych x wyrażenie 2r(x)x jest maÃle w porównaniu z wyrażeniem
x N x i o znaku wyrażenia V̇ (x) decyduje czÃlon −xT N x. Ponieważ jest on
ujemny, wiȩc ukÃlad nieliniowy jest lokalnie asymptotycznie stabilny (lokalnie
w obszarze, w którym ||2r(x)x|| < ||xT N x||.
Podobnie dla dodatniego wyrażenia −xT N x (ukÃlad zlinearyzowany jest
niestabilny) o znaku pochodnej V̇ (x) decyduje lokalnie dodatnie wyrażenie
−xT N x a zatem ukÃlad nieliniowy jest niestabilny w maÃlym otoczeniu punktu
równowagi.
Jeżeli liniowa aproksymacja ukÃladu jest stabilna, lecz niekoniecznie asymptotycznie, to wyrażenie −xT N x może przyjmować niezerowe wartości dla
stanów niezerowych i o znaku wyrażenia −xT N x + 2r(x)x nic nie można
powiedzieć.
PrzykÃlad: Proces mieszania substancji prowadzony jest w mieszalniku,
do którego doprowadzany jest strumień substancji o dużym stȩżeniu skÃladnika
użytecznego c1 z natȩżeniem u1 (t) oraz strumień substancji o maÃlym stȩżeniu
skÃladnika użytecznego c2 z natȩżeniem u2 (t). Wyróżniaja̧c w charakterze zmiennych stanu zapeÃlnienie mieszalnika x1 (t) w chwili t oraz ilość substancji
użytecznej x2 (t) w mieszalniku w chwili t można równania stanu procesu przedstawić w postaci
T
ẋ1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − αx0.5
1 (t),
ẋ2 (t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) − αx2 (t)/x0.5
1 (t).
ZakÃladamy,że proces prowadzony jest w statycznym punkcie pracy ukÃladu
speÃlniaja̧cym równania
0 = ū1 + ū2 − αx̄10.5 , 0 = c1 ū1 + c2 ū2 − αx̄2 /x̄0.5
1 .
Linearyzujemy ukÃlad sterowania obliczaja̧c macierz Jacobiego w statycznym
punkcie pracy
∂f1 (x̄, ū)/∂x1 = −
α
, ∂f1 (x̄, ū)/∂x2 = 0,
2x̄0.5
1
2
∂f2 (x̄, ū)/∂x1 =
Tak wiȩc

A=
− 2x̄α0.5
1
αx̄2
3/2
2x̄1
αx̄2
3/2
2x̄1
, ∂f2 (x̄, ū)/∂x2 = −
α
.
x̄0.5
1



s + 2x̄α0.5
0
1
 , sI − A = 

2
− x̄α0.5
− αx̄3/2
s + x̄α0.5
0
2x̄1
1
1
i
α
α
)(s + 0.5 ).
0.5
2x̄1
x̄1
Wartości wÃlasne ukÃladu zlinearyzowanego s1 = − 2x̄α0.5 i s2 = − x̄α0.5 leża̧
1
1
w lewej póÃlpÃlaszczyźnie zmiennej zespolonej, a zatem ukÃlad zlinearyzowany
jest asymptotycznie stabilny dla dowolnych dodatnich wartości parametru α.
Oznacza to, że ukÃlad nieliniowy jest lokalnie asymtotycznie stabilny dla dowolnych dodatnich wartości parametru α.
PrzykÃlad: Chemiczny proces produkcyjny A + B− > C polegaja̧cy na
syntezie substancji użytecznej C ze skÃladników surowcowych A i B opisywany
jest za pomoca̧ równań stanu
det(sI − A) = (s +
ẋ1 (t) = u1 (t) − x1 (t) − x1 (t)xα2 (t),
ẋ2 (t) = u2 (t) − x2 (t) − xβ1 (t)x2 (t).
ZakÃladamy, że proces prowadzony jest w statycznym punkcie pracy ukÃladu
(x̄1 , x̄2 ) = (1, 1) wymuszanym przez statyczne sterowanie (ū1 , ū2 ) = (2, 2).
Równania punktu pracy ukÃladu przybieraja̧ postać
0 = ū1 − x̄1 − x̄1 x̄α2 ,
0 = ū2 − x̄2 − x̄β1 x̄2 .
Linearyzujemy ukÃlad sterowania obliczaja̧c macierz Jacobiego w statycznym
punkcie pracy
∂f1 (x̄, ū)/∂x1 = −1 − x̄α2 = −2, ∂f1 (x̄, ū)/∂x2 = −x̄1 αx̄α−1
= −α,
2
∂f2 (x̄, ū)/∂x1 = −β x̄β−1
x̄2 , ∂f2 (x̄, ū)/∂x2 = −1 − x̄β1 = −2.
1
Tak wiȩc
Ã
A=
!
Ã
!
−2 −α
s+2
α
, sI − A =
−β −2
β
s+2
3
i
det(sI − A) = (s + 2)2 − αβ = s2 + 4s + 4 − αβ.
Stosuja̧c kryterium Hurwitza stabilności ukÃladów liniowych uzyskujemy
warunek stabilności parametrycznej αβ < 4.
Dla poprawy wÃlasności stabilnościowych procesu wprowadzamy sprzȩżenie
zwrotne
u1 (t) = ū1 − κ1 (x1 (t) − x̄1 ), u2 (t) = ū2 − κ2 (x2 (t) − x̄2 ),
gdzie κ1 i κ2 sa̧ dodatnimi wspóÃlczynnikami sprzȩżenia zwrotnego
Jeśli stȩżenie skÃladnika xi jest wiȩksze od zadanego poziomu, to sprzȩżenie
zwrotne zapewni jego zmniejszenie, jeśli zaś stȩżenie to jest mniejsze od zadanego
poziomu, to sprzȩżenie zwrotne zapewni jego zwiȩkszenie.
Równania stanu po wprowadzeniu sprzȩżenia zwrotnego przybiora̧ postać
ẋ1 (t) = ū1 − κ1 (x1 (t) − x̄1 ) − x1 (t) − x1 (t)xα2 (t),
ẋ2 (t) = ū2 − κ2 (x2 (t) − x̄2 ) − x2 (t) − xβ1 (t)x2 (t).
Uzyskujemy w tym przypadku
Ã
!
Ã
!
−2 − κ1
−α
s + 2 + κ1
α
A=
, sI − A =
−β
−2 − κ2
β
s + 2 + κ2
i
det(sI − A) = (s + 2 + κ1 )(s + 2 + κ2 ) − αβ
= s2 + (4 + κ1 + κ2 )s + 4 + 2(κ1 + κ2 ) + κ1 κ2 − αβ > 0.
Na podstawie kryterium Hurwitza uzyskujemy nowy warunek stabilności
parametrycznej
αβ < 4 + 2(κ1 + κ2 ) + κ1 κ2 .
Wprowadzenie sprzȩżenia zwrotnego poprawiÃlo wÃlasności stabilnościowe ukÃladu
rozszerzaja̧c jego obszar stabilności parametrycznej.
4
Stabilność zamkniȩtych nieliniowych ukÃladów sterowania - metoda
L
à urie
-
Urza̧dzenie steruja̧ce
ϕ(²)
sterowanie -
Obiekt sterowania
G(s)
wyjście-
ZaÃlożenia:
• Funkcja ϕ(²) jest nieliniowa̧ funkcja̧ taka̧, że ϕ(0) = 0, ²ϕ(²) > 0 dla
² 6= 0,
• Transmitancja czȩści liniowej ukÃladu jest wymierna G(s) = L(s)/M (s) i
równanie M (s) = 0 ma pojedyncze rzeczywiste i ujemne pierwiastki s1 , s2 , ..., sn .
Stosujemy rozkÃlad transmitancji na uÃlamki proste
n
X
ci
G(s) =
.
s
−
s
i
i=1
Przechodzimy od operatorowego opisu ukÃladu do jego opisu za pomoca̧
wektora stanu.
1
U (s) ⇒ ẋi (t) = si xi (t) + u(t)
s − si
n
X
ci xi (t)
u(t) = ϕ(²(t)), ²(t) = −y(t), y(t) =
Xi (s) =
i=1
Mamy wiȩc
ẋi (t) = si xi (t) + ϕ(−
n
X
i=1
5
ci xi (t)), i = 1, ..., n
czyli
ẋ(t) = Ax(t) + Bϕ(−cx(t)),
gdzie
.
.
A = diag1≤i≤n (si ), B = (1, 1, ..., 1)T , c = (c1 , c2 , ..., cn ).
Proponujemy funkcjȩ Lapunowa w postaci
V (x) = 0.5
n
X
αi x2i
−
i=1
gdzie αi > 0.
Ponieważ
Z
∞
e(si +sj )t dt =
0
n X
n
X
ai aj xi xj
i=1 j=1
si + sj
,
1
1
e(si +sj )t |∞
,
0 = −
si + sj
si + sj
wiȩc
V (x) = 0.5
n
X
Z
αi x2i
∞
+
0
i=1
n
X
(
ai xi esi t )2 dt.
i=1
Oznaczamy
R = 0.5diag(αi ), P = (pij ), pij = −
ai aj
.
si + sj
Oznacza to, że
V (x) = xT (R + P )x = xT Qx, Q = R + P.
Sta̧d
V̇ (x) = xT (AQ + QA)x + xT (2QB − cT )ϕ(²) − ²ϕ(²).
Uzyskujemy sta̧d nastȩpuja̧ce warunki stabilności ukÃladu zamkniȩtego:
• Macierz AQ + QA powinna być ujemnie określona,
• WspóÃlczynniki ai , i = 1, ..., n powinny być dobrane tak, aby byÃlo speÃlnione
równanie 2QB − cT = 0.
Stabilność okresowych procesów sterowania
Niech wyróżniony proces sterowania bȩdzie procesem τ -okresowym tj.
x̆(t + τ ) = x̆(t), ŭ(t + τ ) = ŭ(t)
6
speÃlniaja̧cym równanie stanu z warunkiem okresowości
˙
x̆(t)
= f (x̆(t), ŭ(t), t), t ∈ [0, τ ], x̆(τ ) = x̆(0),
przy czym funkcja f może bezpośrednio zależeć okresowo od czasu tj. f (x, u, t+
τ ) = f (x, u, t) dla każdej dopuszczalnej pary (x, u) (okresowy przebieg procesu jest wymuszany przez okresowo zmienne warunki funkcjonowania obiektu
sterowania) albo funkcja ta może pośrednio okresowo zależeć od czasu ze
wzglȩdu na okresowy przebieg sterowania f (x, u(t + τ )) = f (x, u(t)) (okresowy
przebieg procesu wymuszany jest przez stosowanie okresowego sterowania).
Zredukowany ukÃlad sterowania dla wyróżnionego okresowego procesu sterowania przybiera postać
˙
x̃(t)
= f˜(x̃(t), t),
f˜(x̃(t), t) = f (x̃(t) + x̆(t), ŭ(t), t) − f (x̆(t), ŭ(t), t)
UkÃlad zlinearyzowany bȩdzie wiȩc w tym przypadku ukÃladem niestacjonarnym
z macierza̧ stanu zależna̧ od czasu
A(t) = fx (x̆(t), ŭ(t)), A(t + τ ) = A(t).
Zastosowanie pośredniej (pierwszej) metody Lapunowa do badania stabilności okresowych procesów sterowania sprowadza siȩ do badania stabilności
niestacjonarnego ukÃladu liniowego
ẋ(t) = A(t)x(t), A(t + τ ) = A(t).
Lemat: Znormalizowana macierz fundamentalna Φ(t) = Φ(t, 0) liniowego
okresowego ukÃladu sterowania posiada reprezentacjȩ
Φ(t) = Γ (t)eΛt , t ∈ [0, +∞),
gdzie Γ (t) jest nieosobliwa̧ macierza̧ okresowa̧, zaś Λ jest macierza̧ staÃla̧.
Dowód: Macierz Φ(t) speÃlnia z definicji równanie
Φ̇(t) = A(t)Φ(t), Φ(0) = I.
˜
Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że każda macierz fundamentalna Φ(t)
może być uzyskana ze znormalizowanej macierzy fundamentalnej Φ(t) za pomoca̧ nieosobliwego przeksztaÃlcenia liniowego C tj. Φ̃(t) = Φ(t)C. Ponieważ
dla ukÃladu okresowego Φ(t + τ ) jest jego macierza̧ fundamentalna̧
7
d(t + τ )
dΦ(t + τ )
= Φ0 (t + τ )
= A(t + τ )Φ(t + τ ) = A(t)Φ(t + τ ),
dt
dt
wiȩc Φ(t + τ ) = Φ(t)C i Φ(τ ) = C (t = 0). Oznacza to, że Φ(t + τ ) =
Φ(t)Φ(τ ).
Z teorii macierzy wiadomo, że kaḋa macierz nieosobliwa posiada reprezentacjȩ logarytmiczna̧ tj.
Φ(τ ) = eΛτ
.
Jeśli macierz Φ(τ ) posiada jednokrotne wartości wÃlasne s1 , s2 , ..., sn , to
reprezentacjȩ taka̧ można Ãlatwo uzyskać stosuja̧c nieosobliwe przeksztaÃlcenie
diagonalizuja̧ce P :
P −1 Φ(τ )P = diag1≤i≤n (si ).
Macierz P jest określona przez wektory wÃlasne Pi , i = 1, ..., n macierzy
Φ(τ ) zwia̧zane z poszczególnymi wartościami wÃlasnymi. Wektory te speÃlniaja̧
równania
Φ(τ )Pi = si Pi , i = 1, ..., n
i moga̧ być wyznaczone przez rozwia̧zanie tych równań. Ponieważ det(si I −
Φ(τ )) = 0, wiȩc jedna̧ wspóÃlrzȩdna̧ wektora Pi zakÃladamy jako dowolna̧ wartość
niezerowa̧, a pozostaÃle wspóÃlrzȩdne tego wektora obliczamy z ukÃladu n − 1
równań liniowo niezależnych. Wartości wÃlasne si przedstawiamy w postaci
wykÃladniczej
1
si = eλi τ , λi = (ln|si | + (argsi + 2kπ).
τ
i uzyskujemy zależności
Φ(τ ) = P diag1≤i≤n (si ) P −1 = P diag1≤i≤n (eλi τ ) P −1
= P (I + diag1≤i≤n (λi τ ) + diag1≤i≤n ((λi τ )2 /2!) + ...) P −1
1
= I+P diag1≤i≤n (λi τ ) P −1 + P diag1≤i≤n (λi τ ) P −1 P diag1≤i≤n (λi τ ) P −1 +...
2!
= eP diag1≤i≤n (λi τ ) P
−1
= eP diag1≤i≤n (λi ) P
8
−1 τ
= eΛτ , Λ = P diag1≤i≤n (λi ) P −1
Mamy wiȩc
Φ(t) = Φ(t)e−Λt eΛt = Γ (t)eΛt , Γ (t) = Φ(t)e−Λt .
Z zależności
Γ (t + τ ) = Φ(t + τ )e−Λ(t+τ ) = Φ(t)Φ(τ )e−Λτ e−Λt = Φ(t)e−Λt = Γ (t)
wynika,że macierz Γ (t) jest macierza̧ τ -okresowa̧. Elementy tej macierzy
sa̧ jednostajnie ograniczone na osi czasu jako cia̧gÃle funkcje okresowe.
Twierdzenie: Liniowy okresowy ukÃlad sterowania jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości wÃlasne macierzy Φ(τ ) leża̧
wewna̧trz koÃla jednostkowego |si | < 1, i = 1, ..., n.
Dowód: SkÃladowa rozwia̧zania liniowego ukÃladu okresowego pochodza̧ca
od zaburzenia warunku pocza̧tkowego ma postać
x(t) = Γ (t)eΛt δx0 .
Ze wzglȩdu na jednostajna̧ ograniczoność macierzy Γ (t) na osi czasu zachodzi
oszacowanie
||x(t)|| ≤ c||eΛt ||.
Oznacza to, że badany ukÃlad jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy,
gdy wartości wÃlasne λi macierzy Λ leża̧ w lewej póÃlpÃlaszczyźnie zmiennej zespolonej. Warunek ten jest jednak równoważny z poÃlożeniem wartości wÃlasnych
macierzy Φ(τ ) wewna̧trz koÃla jednostkowego z uwagi na zwia̧zek
si = eλi τ .
PrzykÃlad: Niech macierz A(t) bȩdzie określona jak nastȩpuje:
Ã
!
Ã
!
0 1
a
0
1
A(t)t∈[0,π) = Ā =
, A(t)t∈[π,2π) = Ā¯ =
−1 0
0 a2
Mamy wiȩc
Ã
Φ(t) = eĀt
!
Ã
!
Ã
!
cos t sin t
−1 0
−ea1 π
0
, Φ(π) =
, Φ(2π) =
.
−sin t cos t
0 −1
0
−ea2 π
Sta̧d wynika, że si = −eai π i warunek stabilności ukÃladu okresowego przybiera postać ai < 0, i = 1, 2..
9