Tadeusz Hofman, WYKŁADY Z TERMODYNAMIKI dla biotechnologii

Transkrypt

T. Hofman, © Wykłady z Termodynamiki, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Biotechnologia, sem. letni 2015/2016
Tadeusz Hofman, CHEMIA FIZYCZNA, TERMODYNAMIKA – wykłady dla kierunku Biotechnologia
Adres internetowy: http://www.ch.pw.edu.pl/~hof/bio.htm, gdzie można znaleźć: regulamin zaliczeń i egzaminów, tematy
egzaminacyjne, teksty wykładów, kolokwia z lat ubiegłych, wyjaśnienie sposobu rozwiązywania problemów z ćwiczeń
rachunkowych etc.
Literatura:
1. Chemia fizyczna, praca zbiorowa, PWN, Warszawa 1980.
2. P.W. Atkins, Chemia fizyczna, PWN, Warszawa 2001.
3. H. Buchowski, W. Ufnalski, Podstawy termodynamiki, WNT, Warszawa 1994.
4. H. Buchowski, W. Ufnalski, Gazy, ciecze, płyny, WNT, Warszawa 1994.
5. H. Buchowski, W. Ufnalski, Roztwory, WNT, Warszawa 1995.
6. H. Buchowski, W. Ufnalski, Równowagi chemiczne. WNT, Warszawa 1995
7. K. Gumiński, Termodynamika, PWN, Warszawa 1974.
8. K. Pigoń, K. Ruziewicz, Chemia fizyczna. Podstawy fenomenologiczne. PWN, Warszawa, 2005.
9. K. Zalewski, Wykłady z mechaniki i termodynamiki statystycznej dla chemików, PWN, Warszawa 1982.
10. K. Zalewski, Wykłady z termodynamiki fenomenologicznej i statystycznej, PWN, Warszawa 1978.
WYKŁAD 1-6
A. Wstęp i podstawy
B. I zasada termodynamiki
C. Podstawy termochemii
D. II zasada termodynamiki
A. WSTĘP I PODSTAWY
1. Termodynamika jest częścią fizyki, a zatem jej podstawowym celem jest wyjaśnianie i odkrywanie praw rządzących otaczającym
nas światem. Wyróżniamy wiele jej działów, przy czym ich wyodrębnienie następuje ze względu na ograniczenie przedmiotu
zainteresowania jedynie do:
- określonych właściwości (np. optyka, akustyka, mechanika)
- określonych układów, czyli do ściśle sprecyzowanych obiektów, a nie do całej rzeczywistości. Najprostszy podział dotyczy ich
rozmiarów (tak więc z jednej strony mamy fizykę cząstek elementarnych, z drugiej astrofizykę, czy nawet kosmologię).
2. Termodynamika zajmuje się obiektami makroskopowymi i ogranicza swoje zainteresowanie do właściwości mechanicznych.
3. Podstawowa różnica pomiędzy mechaniką i dynamiką z jednej strony, a termodynamiką z drugiej, leży w liczbie elementów
składających się na badany układ. W tym pierwszym przypadku układ jest jedno- lub kilkuelementowy, w tym drugim, składa się z
olbrzymiej, bo rzędu 1023, liczby cząsteczek.
Jak to możliwe, że ten sam układ jest jednocześnie jednoelementowy i zawierający nieprawdopodobnie wielką liczbę składników?
Oczywiście prawdziwa jest liczba uświadamiana sobie przez termodynamikę. Jednak dla niektórych właściwości ta astronomiczna liczba elementów
składowych nie ma większego znaczenia i układ może być traktowany jako jedno- lub kilkuelementowy. Na przykład jeśli jakiś przedmiot
przemieszcza się w przestrzeni, ruch ten w jednakowym stopniu dotyczy wszystkich cząsteczek na ten przedmiot się składających. A zatem nie ma
sensu brać pod uwagę subtelnej struktury obiektu. W praktyce przyjmujemy budowę ciała, jakby było jedną, gigantyczną makrocząsteczką. Tak więc
termodynamika zapewnia bardziej ścisłe podejście, ale jest sens je stosować jedynie do opisu tych właściwości, które bezpośrednio zależą od
cząsteczkowej struktury materii. Nie są nimi na przykład parametry ruchu układu jako całości.
4. Z czego wynikają właściwości termodynamiczne czyli makroskopowe? Oczywiście z rzeczywistej struktury materii, a więc
bezpośrednio z właściwości cząsteczek, ich ruchów i wzajemnych oddziaływań. Zatem na podstawie opisu cząsteczkowego
powinniśmy móc wyrazić właściwości makroskopowe. Jest to zagadnienie czysto mechaniczne, ale niezmiernie utrudnione z powodu
złożoności i olbrzymiej liczby elementów składowych układu.
Formalnie rzecz biorąc, stan mechaniczny cząsteczki da się jednoznacznie przedstawić za pomocą jej trajektorii, tj. zależności
położenia od czasu, rozumianej jako funkcja od czasu trzech współrzędnych położenia i prędkości (x,y,z; vx,vy,vz). Trajektoria taka
wynika z rozwiązania równań Newtona, a więc do jej znalezienia potrzebna jest znajomość siły (trzy współrzędne) oraz warunki
początkowe (położenie i prędkości - razem sześć wartości). Alternatywną formą równań Newtona są równania Hamiltona, w
których trajektoria ruchu wynika bezpośrednio z całkowitej energii układu, czyli jego hamiltonianu (H), będącego sumą energii
potencjalnej U, zależnej od wektora położenia x i kinetycznej K, zależnej od wektora prędkości v.
1
H(v,x) = U(x) + K(v)
Równania Hamiltona mają następującą postać
H dxi

pi dt
H
dp
 i
xi
dt
gdzie pi jest współrzędną pędu
Aby znaleźć równania ruchu dla jednej cząsteczki, należy rozwiązać układ 6 równań różniczkowych pierwszego rzędu oraz znać
początkowe położenia i pędy.
To bardzo ważne sformułowanie. Wynika z niego, że to energia jednoznacznie definiuje mechaniczny stan układu. Dla układu N
cząsteczek należy znać całkowitą energię (zależną od energii wszystkich N cząsteczek) i 6N warunków początkowych. Stan ten w
sposób ciągły się zmienia i w każdej chwili 6N współrzędnych położenia i pędu (prędkości) określa go jednoznacznie.
Nieprawdopodobna wprost liczba współrzędnych! Czy jednak rzeczywiście wszystkie one są niezbędne do określenia stanu
makroskopowego układu?
5. I tutaj pojawia się zdumiewający aspekt. Tak wielka liczba cząsteczek składających się na nasz układ, która wydawała się
przynosić w pierwszej chwili jedynie utrudnienie w opisie, paradoksalnie sprawia, że ulega on znacznemu uproszczeniu. Oczywiście
opis mikroskopowy, na poziomie cząsteczkowym, pozostaje niezwykle skomplikowany. Poszczególne cząsteczki pędzą na wszystkie
strony po sobie tylko znanych trajektoriach. I jakkolwiek jego właściwości makroskopowe wynikają ze stanów cząsteczkowych, to
przecież przy ich określaniu nie mają znaczenia losy poszczególnych cząsteczek. Kiedy badamy naczynie z cieczą w stabilnych
warunkach, to nie obserwujemy żadnych zmian a przecież wszystko bez przerwy zmienia się na poziomie molekularnym. Ale z
punktu widzenia właściwości makroskopowych jest wszystko jedno, czy określona cząsteczka znajduje się w lewym czy też w
prawym rogu naczynia. Ważne jest co robią WSZYSTKIE CZĄSTECZKI! A więc istotne są wyłącznie parametry UŚREDNIONE.
Co więcej, liczba tych parametrów okazuje się niezmiernie mała. Dla czystej substancji i bez występowania zewnętrznych pól
siłowych, ich liczbę da się ograniczyć do zaledwie dwóch. Tak więc do kilku parametrów makroskopowych, redukuje się ich
wielka liczba współrzędnych występująca na poziomie cząsteczkowym
6. Jakie to są te właściwości makroskopowe, opisywane ilościowo za pomocą parametrów makroskopowych. Odwołajmy się tutaj
do doświadczenia. Zmiana jakich właściwości spowoduje, że układ będzie "inny"? Mówimy raczej - "będzie w innym stanie".
Na pewno jego wymiary makroskopowe, które w przypadku izotropii możemy wyrazić przez objętość. W tej samej objętości może
być mniej lub więcej cząsteczek, cząsteczki mogą być różne, jeśli rozpatrujemy mieszaniny. Tak więc jeszcze liczba moli
poszczególnych składników. Tyle niezależnych parametrów ile różnych substancji w mieszaninie. Układ oddziałuje na otoczenie
wywierając na nie określone ciśnienie. Ten kontakt jest oczywiście wzajemny. Szczególnie oczywisty w przypadku rozpatrywania
naczynia z gazem. Ale i dla substancji skondensowanych, ciśnienie pozostaje ważnym parametrem, jakkolwiek jego wpływ staje się
wyraźny dopiero przy większych jego różnicach. Ciśnienia nie musimy definiować. Zostało to zrobione już dawniej w mechanice. I
to prawie wszystko. Okazuje się, że występuje jeszcze jeden parametr, który sprawia, że układy różniące się jego wartością są "inne".
Tym parametrem jest temperatura. Jest to właściwość szczególna, która nie ma odpowiednika w mechanice. W oczywisty sposób
stan substancji "cieplejszej" będzie inny niż "chłodniejszej", co można sprawdzić za pomocą dotyku. Różnią się one zatem wartością
jakiegoś parametru, który nazwany został temperaturą. Ponieważ stwierdzono wzrost objętości przy wzroście temperatury,
praktyczny sposób pomiaru opiera się na zanotowaniu objętości stałej ilości jakiejś substancji wzorcowej - na przykład rtęci. Do
pojęcia temperatury będziemy jeszcze wracać wielokrotnie, starając się je uściślić.
I są to WSZYSTKIE parametry makroskopowe, do których redukuje się 6N parametrów cząsteczkowych! Przypomnijmy jeszcze, że
redukcja ta wynika z uśrednionego charakteru parametrów.
7. Nawet tak skromna liczba parametrów, którą zresztą można rozszerzać, biorąc ich kombinacje (np. możemy zdefiniować gęstość
czy stężenia) tworzy dwie wyraźne grupy
parametry intensywne - niezależne od wielkości układu (temperatura, ciśnienie a także stężenia) oraz
parametry ekstensywne, które są proporcjonalne do wielkości układu (objętość, liczby moli).
8. O parametrach tych mówimy, że są parametrami stanu. To znaczy, że ich wartości jednoznacznie określają stan układu.
Wartości, a nie na przykład historia ich zmian, to jest charakter procesów jakie zachodziły w układzie. Wyróżniamy również funkcje
stanu, w zasadzie parametry bardziej złożone, wynikające z tych podstawowych. Ściśle mówiąc jednak, rozróżnienie pomiędzy
funkcjami a parametrami stanu jest raczej zwyczajowe i można uważać je za synonimy.
Z tego pozornie dość oczywistego i banalnego wymogu wynikają jednak bardzo ważne konsekwencje matematyczne
2
9.1. Zmiana funkcji stanu (F) nie zależy od drogi przemiany, a tylko od stanu początkowego i końcowego. O funkcji tej mówimy,
że jest bezpośrednio całkowalna
B
 dF  F( B )  F( A )
i oczywiście
 dF  0
A
9.2. dF jest różniczką zupełną, tzn. dla funkcji F(x1,x2,...,xn)
n
 F 
dF   
 dx i
i 1  x i 
9.3. Kolejność różniczkowania drugich mieszanych pochodnych cząstkowych jest dowolna, czyli inaczej, spełnione są relacje
Maxwella
2 F
2 F

xi x j x j x i
dla każdej pary i,j
10. Celem termodynamiki jest znalezienie związków pomiędzy parametrami makroskopowymi dla pewnych stanów oraz
procesów. Związki te (PRAWA) wynikają z dwóch metodologii.
Mogą być wyprowadzone z mikroskopowych stanów cząsteczkowych poprzez odpowiednie uśrednienie. Tylko takie podejście jest
ścisłe i jest w stanie doprowadzić do rozwiązania, przynajmniej formalnego. Ta droga nosi nazwę termodynamiki statystycznej.
Jest ona uniwersalna, ale złożona matematycznie i w historii nauki pojawiła się dopiero na pewnym etapie rozwoju termodynamiki.
Okazuje się jednakże, że związki pomiędzy parametrami makroskopowymi (zdecydowaną większość, choć nie wszystkie!) można
wyprowadzić bez odwoływania się do cząsteczkowej struktury materii. Założenie to staje się zbędne, jeśli przyjmiemy prawdziwość
czterech aksjomatów zwanych Zasadami Termodynamiki. Takie podejście reprezentuje termodynamika klasyczna czyli
fenomenologiczna.
Zwracam uwagę, że już na pierwszy rzut możliwość pominięcia prawdziwej struktury układu jest zdumiewająca, jeśli weźmie się pod uwagę
niezwykle złożony charakter parametrów makroskopowych, będących przecież bardzo skomplikowaną funkcją parametrów podstawowych czyli
cząsteczkowych.
11. Podstawowe definicje
11.1. Układ - ta część świata, której badamy właściwości lub zjawiska w niej zachodzące. Pozostała część to otoczenie.
otoczenie + układ = wszechświat
układ zamknięty - taki, który nie wymienia masy (cząsteczek) z otoczeniem
układ otwarty - taki, który wymienia masę z otoczeniem.
11.2. Pomiędzy układem a otoczeniem występuje granica, którą nazywamy osłoną lub przegrodą. Charakter osłony wpływa na rodzaj
wzajemnych oddziaływań pomiędzy obiema częściami wszechświata.
- osłona adiabatyczna - taka, że procesy w otoczeniu nie związane z wykonywaniem pracy, nie wpływają na stan układu; proces
zachodzący w układzie ograniczonym taką osłoną, nosi nazwę procesu adiabatycznego.
Inaczej mówiąc, jedyny kontakt pomiędzy układem i otoczeniem realizowany jest poprzez wykonywanie pracy.
- osłona izolująca - zapewniająca brak jakiegokolwiek wzajemnego wpływu pomiędzy układem a otoczeniem; układ z taką osłoną
nosi nazwę układu izolowanego.
osłona termicznie przewodząca (diatermiczna) - taka, że dla trzech układów (A,B,C) ograniczonych taką osłoną, spełniona jest
następująca relacja
jeśli A jest w równowadze z B i B w równowadze z C, to C jest również w równowadze z A
Równowagę taką nazywamy termiczną.
Mówienie o równowadze w tym kontekście jest uzasadnione, ponieważ za wyjątkiem osłony izolującej, pomiędzy układem a otoczeniem występuje
wzajemne oddziaływanie. Stan otoczenia wpływa na procesy zachodzące w układzie i na odwrót. Również parametry w stanie równowagi są z sobą
powiązane, a charakter tego związku zależy od rodzaju osłony. Proszę zwrócić uwagę na wymienność terminów układ - otoczenie. Można również
rozpatrywać szereg układów, dla każdego z nich wszystkie pozostałe stają się otoczeniem.
11.3. Równowaga względem jakiegoś procesu - stan, w którym proces ten makroskopowo nie zachodzi.
11.4. Faza - cześć układu o wyraźnych granicach, na których występują skokowe zmiany właściwości makroskopowych; wewnątrz
fazy właściwości nie zmieniają się (faza jednolita) lub zmieniają się w sposób ciągły.
układ jednofazowy = homogeniczny
układ wielofazowy = heterogeniczny
3
11.5. Proces odwracalny (kwazystatyczny) - taki, że nieskończenie mała zmiana wartości parametrów wystarczy do odwrócenia jego
kierunku.
12. Zasada Duhema i równanie stanu
Stan jednofazowego i jednoskładnikowego układu zamkniętego jest jednoznacznie określony przez dwa parametry (spośród trzech p,T,V). Tak więc istnieje równanie (równanie stanu), które wiąże te parametry
f(p,V,T) = 0
Najprostszy układ termodynamiczny to gaz doskonały
równanie stanu gazu doskonałego:
pV = nRT
13. Różniczkowa praca objętościowa wyraża się wzorem
dw = -pzdV
gdzie pz jest ciśnieniem zewnętrznym. Gdy ciśnienie zewnętrzne zrówna się z ciśnieniem własnym układu (pz = p), wtedy pracę
będzie można wyrazić jedynie poprzez parametry układu. Taka praca nosi nazwę odwracalnej i charakteryzuje się ona maksymalną
(bezwzględną) wartością i jednocześnie zachodzi z nieskończenie małą szybkością (!).
W ogólnym przypadku zależy ona jednak także od stanu otoczenia. I tak przy gwałtownym rozprężaniu gazu do próżni praca
objętościowa równa jest zeru, bo pz= 0!
14. Inne rodzaje pracy
Praca objętościowa nie jest jedyną formą pracy spotykaną w układach termodynamicznych. W ogólnym przypadku możemy pracę (i
zmianę energii) interpretować jako efekt deformacji dowolnego parametru ekstensywnego Xi
dw = FidXi
Występujący we wzorze parametr intensywny Fi nosi nazwę siły uogólnionej. W przypadku deformacji objętości, siłą uogólnioną
jest ciśnienie. Oto kilka przykładowych par (ulegający deformacji parametr ekstensywny - siła uogólniona)
powierzchnia międzyfazowa - napięcie powierzchniowe
ładunek elektryczny - potencjał elektryczny
odległość od środka masy - siła przyciągania grawitacyjnego
15. Czy praca objętościowa jest funkcją stanu? Oczywiście pytanie jest bezprzedmiotowe dla pracy nieodwracalnej, która zależy
również od parametrów otoczenia. A praca odwracalna?
Ponieważ zgodnie z zasadą Duhema p i V mogą być parametrami niezależnymi, oznacza to że formalnie możemy w dowolny sposób
poprowadzić przemianę (p1,V1)  (p2,V2). W przypadku jednak różnych dróg przemiany, uzyskamy inne całki
 pdV i różne
wartości pracy. Tak więc i praca odwracalna zależy od drogi przemiany i nie jest funkcją stanu.
16. Temperatura, podstawowy parametr termodynamiczny wymaga ścisłej definicji. W termodynamice klasycznej definiuje się
temperaturę jako tzw. temperaturę empiryczną. W tym celu jednak trzeba najpierw wprowadzić pewien aksjomat zwany ZEROWĄ
ZASADĄ TERMODYNAMIKI.
Treścią tej Zasady jest postulat istnienia osłony termicznie przewodzącej, czyli takiej, która spełnia relacje równowagowe w
układach będących we wzajemnym kontakcie.(11.2)
Jeśli prawdziwe jest zdanie: równowaga pomiędzy A i B, oraz pomiędzy A i C, implikuje równowagę pomiędzy B i C, to wynika z
tego, że
a) Dla każdej pary układów w stanie równowagi istnieje związek pomiędzy ich parametrami, tj.
FAB(xA,xB) = 0;
FAC(xA,xC) = 0;
FBC(xB,xC) = 0
gdzie xi jest wektorem parametrów i-tego układu.
co jest możliwe jedynie, kiedy spełniona jest następująca równość
fA(xA) = fB(xB) = fC(xC) = const = T
4
czyli istnieją funkcje zależne tylko od parametrów stanu każdego z układów i w stanie równowagi równają się temu samemu
parametrowi. Parametr ten oznaczamy zwykle literą T i nazywamy temperaturą. Powyższe równanie jest po prostu równaniem stanu
każdego z układów.
b) Równanie to można rozszerzyć do dowolnej liczby układów i sformułować następująco: wszystkie układy będące w równowadze
termicznej z jakimś układem odniesienia (nazwijmy go termometrem), mają tę samą właściwość, którą nazywamy temperaturą.
Pozostaje jeszcze kwestia zdefiniowania skali temperatur i sposobu jej pomiaru.
Otóż temperaturę określa się poprzez wskazania termometru gazowego (a nie rtęciowego!), na podstawie następującego wzoru
T
1
lim ( pV )T
nR p0
gdzie n jest liczbą moli (gazu), stała R jest tak dobrana, aby temperatura punktu potrójnego wody wynosiła 273,16 K, a stałość
temperatury przy której ekstrapolowany jest iloczyn pV oznacza stan równowagi termicznej.
Oczywiście wzór ten oparty jest na równaniu stanu gazu doskonałego. Jego praktyczne znaczenie wiąże się przede wszystkim z faktem, że wskazania
termometru gazowego nie zależą od rodzaju gazu. Wszystkie bowiem gazy rzeczywiste, w granicy, dla p  0 stają się gazami doskonałymi.
B. I ZASADA TERMODYNAMIKI
17. Zasada zachowania energii w układach termodynamicznych.
Jest to zasada zachowania energii, sformułowana poprzez funkcje termodynamiczne.
Dla układu zamkniętego będzie to po prostu równoważność pracy i energii. W termodynamice klasycznej wymaga to zdefiniowania
funkcji stanu, którą nazywamy energią wewnętrzną, będącą sumaryczną energią układu. Określenie "wewnętrzna" eliminuje energię
układu jako całości, np. energię kinetyczną całego układu, który porusza się względem jakiegoś systemu współrzędnych. Energia
wewnętrzna jest funkcją stanu, ponieważ w oczywisty sposób określa stan (energetyczny) układu. Mogłoby nam się wydawać, że
równoważność energii i pracy powinna dawać w efekcie równość zmian energii wewnętrznej i pracy (np. objętościowej, jeśli tylko
taka praca zachodzi w układzie). Czy aby rzeczywiście? Otóż nie! I jest to niezmiernie ważne i zaskakujące spostrzeżenie. Przecież
sprawdziliśmy już, że praca objętościowa nie jest funkcją stanu, nie może zatem w ogólnym przypadku równać się zmianie funkcji
stanu, jaką jest energia wewnętrzna! Czyżby zatem zasada zachowania energii nie obowiązywała? Nie, z pewnością obowiązuje.
Także gdy rozważamy pracę mikroskopową, cząsteczkową, to zmiana energii musi równać się pracy. Rozbieżność pojawia się w
momencie rozważania wielkości makroskopowych, jest więc konsekwencją wielkości układu.
Na razie ograniczmy się do konstatacji zjawiska, bez wyjaśniania jego przyczyn. Wniosek jest oczywisty. Oznacza to, że musi istnieć
przynajmniej jeszcze jeden sposób przenoszenia energii, tak aby suma zmian energii przenoszonej w ów tajemniczy sposób
(oznaczmy ją przez Q) i pracy makroskopowej, równała się zmianie energii wewnętrznej. Chyba, że odrzucamy Zasadę Zachowania
Energii.
Podkreślmy jeszcze, że nasze rozważania (praca, przepływ energii), dotyczą interakcji pomiędzy układem a otoczeniem. Wzrost
energii wewnętrznej układu kosztem otoczenia i na odwrót. Praca wykonana jest przez układ na otoczeniu (praca ujemna) lub przez
otoczenie na układzie (praca dodatnia). Wzajemny kontakt pomiędzy układem a otoczeniem może być regulowany za pomocą
odpowiedniej osłony. Jeśli osłona jest adiabatyczna, to zgodnie z jej definicją, ów kontakt realizowany jest jedynie przez pracę.
Żaden inny sposób przekazywania energii nie jest możliwy, nawet ów tajemniczy sposób Q. A zatem?
Dla przemiany adiabatycznej, zmiana energii wewnętrznej musi równać się pracy makroskopowej. Wniosek ten pozwala zdefiniować
energię wewnętrzną na gruncie termodynamiki klasycznej. Definicja ta nosi nazwę I Zasady Termodynamiki.
18. I ZASADA TERMODYNAMIKI
Postuluje się istnienie funkcji stanu, zwanej energią wewnętrzną (U), która ma następujące własności
1. Jest funkcją ekstensywną
2. Jej różniczka zupełna równa się różniczkowej pracy w przemianie adiabatycznej w układzie zamkniętym
dU = (dw)ad
19. Co możemy z kolei powiedzieć o nowym sposobie przenoszenia energii?
Oczywiście dla przemiany nieadiabatycznej równoważność zmian energii wewnętrznej i pracy nie zachodzi. Mamy wtedy
dU  (dw)
Zasada zachowania energii wymusza konieczność istnienia innego sposobu przenoszenia energii. Po jego uwzględnieniu mamy
dU = dQ + dw
Nie jest to jednak w żadnym wypadku sformułowanie I Zasady Termodynamiki!
5
Różniczkową energię przenoszoną w ten sposób definiujemy następująco
dQ = dU - dw
I jest to definicja CIEPŁA.
Definicja jest pełna, ponieważ wcześniej zdefiniowaliśmy już energię wewnętrzną, a praca jest pojęciem określonym już w
mechanice. Skoro energia wewnętrzna jest funkcją stanu a praca nią nie jest, to i ciepło w ogólnym przypadku nie może być funkcją
stanu (dlaczego?).
20. Inne argumenty przemawiające za istnieniem dodatkowej formy przekazywania energii.
Możemy czuć się rozczarowani taką definicją ciepła. Wprawdzie określenie jest formalnie wyczerpujące, ale nie mówi nam wiele o "istocie" tej
wielkości. Prawdopodobnie wolelibyśmy bardziej opisową definicję tłumaczącą czym "naprawdę" jest ciepło. Niestety jest to wszystko co może nam
zaoferować termodynamika klasyczna. Jedynie odwołanie się do faktu istnienia cząsteczek, może dać nam dodatkowe informacje na ten temat.
Na gruncie cząsteczkowej struktury materii, oczywisty jest fakt występowania innego niż praca objętościowa sposobu przekazywania energii.
Przecież cząsteczki układu i otoczenia mogą wzajemnie na siebie oddziaływać (o ile pozwoli na to rodzaj osłony) poprzez zderzenia jak również
oddziaływania dalszego zasięgu. Ten proces nie musi wcale wiązać się z wykonywaniem pracy objętościowej, ponieważ tego typu oddziaływania
będą zachodzić także w stałej objętości. Zauważmy jednak, że na poziomie cząsteczkowym energia zawsze zamienia się na pracę. Pojawienie się
ciepła wynika ze szczególnej definicji pracy makroskopowej, w której uczestniczą tylko niektóre cząsteczki. I tak podczas rozszerzania się układu
zostanie wykonana praca objętościowa tylko kosztem tych cząsteczek, które mają składowe prędkości skierowane na zewnątrz układu.
21. Wprowadzamy jeszcze jedną ekstensywną funkcję stanu, ENTALPIĘ (H)
H = U + pV
22. Różniczki zupełne energii wewnętrznej i entalpii.
Dla układu zamkniętego wykonującego jedynie pracę objętościową, na podstawie I Zasady, można napisać następujące różniczki
zupełne:
dU = dQ - pzdV
dH = dQ + Vdp - (pz-p)dV
23. Efekt cieplny w ogólnym przypadku nie jest funkcją stanu. Dla dwóch procesów jednak zachodzi wyjątek. A mianowicie:
- dla V = const (proces izochoryczny)
- dla p = const = pz (proces izobaryczny)
dQ = dU
dQ = dH
W obu przypadkach efekt cieplny jako równy zmianie funkcji stanu, sam jest funkcją stanu i nie zależy od drogi przemiany. Wniosek
ten nosi nazwę PRAWA HESSA.
Prawo Hessa podaje uzasadnienie, dlaczego w ogóle wprowadzono funkcję nazwaną entalpią. Wynika to z faktu, że efekty cieplne są
dość łatwo mierzalne, a większość procesów badanych przez nas to procesy izobaryczne, zachodzące pod ciśnieniem
atmosferycznym. To pochodzenie entalpii ukryte jest nawet w literze H, powszechnie używanej na oznaczenie tej funkcji (z
angielskiego heat content, czyli zawartość ciepła).
24. Efekty cieplne zwykle mierzy się pośrednio, poprzez pomiar zmian temperatury. Do tego celu konieczna jest znajomość tzw.
pojemności cieplnych, czyli pochodnych
 dQ 
cx   
 dT  x
Pochodna taka jednak nie może być jednoznacznie określona, jeśli Q nie jest funkcją stanu (dlaczego?).
W związku z tym definiujemy jedynie pojemności cieplne pod stałym ciśnieniem i w stałej objętości - cp, cv
 H 
cp  

 T  p
 U 
cV  

 T  V
6
C. PODSTAWY TERMOCHEMII
25. Praktyczne konsekwencje prawa Hessa - czyli TERMOCHEMIA
Wykorzystuje się stabelaryzowane wartości zmian entalpii dla reagentów w celu obliczenia zmiany entalpii dla reakcji chemicznej.
Ta z kolei jest efektem cieplnym w procesie izobarycznym. Reakcję chemiczną definiuje się w sposób najbardziej ogólny jako proces
substraty  produkty
Podstawowym celem termochemii jest obliczenie standardowej entalpii reakcji, czyli zmiany entalpii dla reakcji spełniającej
pewne wymogi. Dotyczą one jednoznacznej definicji stanu początkowego i końcowego, jako jedynych czynników wpływających na
zmianę funkcji stanu (tutaj entalpii).
Standardowa entalpia reakcji jest zatem zmianą entalpii dla reakcji standardowej. Ta z kolei musi spełniać następujące warunki
a) Reakcja biegnie do końca.
b) Bierze w niej udział liczba moli reagentów wynikająca z równania stechiometrycznego.
c) Temperatura oraz ciśnienie w stanie początkowym (substraty) i końcowym (produkty) są takie same.
d) Reagenty występują w stanach standardowych.
Te cztery punkty określają jednoznacznie: jakie są substancje w stanie początkowym i końcowym (a,d); w jakich ilościach występują
(b) i w jakich warunkach fizycznych (c,d). Opis musi być jeszcze uzupełniony definicją stanu standardowego.
W stanie standardowym ciśnienie wynosi p° = 1 bar, a ponadto
- gazy  czyste gazy doskonałe;
- substancje skondensowane (czyste lub w roztworze, poza jonami)  czyste składniki;
- jony w roztworze  roztwór doskonały o stężeniu 1 mol/ 1000 g rozpuszczalnika.
Zauważmy, że w reakcji standardowej ciśnienie zawsze wynosi 1 bar, podczas gdy temperatura może być różna, ale zawsze ściśle
określona i taka sama dla substratów i produktów.
26. Podstawowe dane do obliczeń standardowych entalpii dowolnej reakcji, to standardowe entalpie tworzenia i standardowe
entalpie spalania.
Standardowa entalpia tworzenia (Hf°) związku chemicznego jest standardową entalpią następującej reakcji
pierwiastki w stanach termodynamicznie trwałych  1 mol związku
np. standardowa reakcja tworzenia ciekłego cykloheksanu, będzie standardową entalpią następującej reakcji
6C(grafit) + 6H2(g)  C6H12(c)
Standardowa entalpia spalania (Hsp° związku chemicznego zawierającego jedynie C, O lub H) jest standardową entalpią
następującej reakcji
1 mol związku + nO2(g)  mCO2((*) + kH2O(*)
*
Właściwy stan skupienia wynika z temperatury, praktycznie jest to zawsze (g) dla CO 2 i (c) albo (g) dla H2O.
27. Standardową entalpię każdej reakcji można wyrazić poprzez standardowe entalpie tworzenia
H° = iHfi°
oraz poprzez standardowe entalpie spalania (o ile te ostatnie można zdefiniować dla wszystkich reagentów)
H° = - iHspi°
Uwaga! Posługujemy się tutaj uogólnionym pojęciem współczynnika stechiometrycznego. Zgodnie z nim, współczynniki
stechiometryczne mają znak - ujemny dla substratów (bo ich ubywa) i dodatni dla produktów (bo ich przybywa w trakcie reakcji).
Jest to zgodne z ogólną konwencją, w której wszelkie zmiany rozpatrujemy z punktu widzenia układu. Według tej notacji, dowolną
reakcję chemiczną zapisalibyśmy za pomocą formuły:
iRi = 0
7
28. Za pomocą stabelaryzowanych standardowych entalpii tworzenia lub spalania możemy policzyć standardową entalpię reakcji w
tej temperaturze, dla której dysponujemy danymi tablicowymi. A co z innymi temperaturami? Pojawia się zatem problem zależności
zmian entalpii od temperatury. Zależność tę, poprzez pochodną temperaturową, wyraża PRAWO KIRCHHOFFA
 H 

  c p    i c pi
 T  p
Obliczenie zmian entalpii dla dowolnej temperatury wymaga scałkowania powyższego równania. Formalnie można to zapisać jako
T
H (T )  H (T0 )   c p dT
T0
Obliczenie całki jest nieco złożone, jeśli funkcja podcałkowa nie jest ciągła w przedziale <T0,T>. Sytuacja taka występuje dosyć
często w obliczeniach fizykochemicznych, a punkty nieciągłości odpowiadają przejściom fazowym. Niech jedno takie przejście ma
miejsce w temperaturze T0 < Tf < T. Wtedy całkę należy obliczać oddzielnie w przedziałach <T0,Tf> i <Tf,T> i ostatecznie wyrażenie
na zależność temperaturową zmiany entalpii przyjmuje postać:
Tf
T
T0
Tf
H (T )  H (T0 )   cp dT  H   cp dT
gdzie indeksy  i  oznaczają fazę nisko- i wysokotemperaturową, a H jest zmianą entalpii dla przejścia fazowego .
W szczególnym przypadku, zmiana entalpii i pojemności cieplne mogą być standardowe, co wyraża się poprzez odpowiedni indeks.
Tak więc aby obliczyć zmianę entalpii (standardowej entalpii) w dowolnej temperaturze, musimy znać wartość zmiany w
temperaturze odniesienia To oraz zależności temperaturowe pojemności cieplnych.
29. Niekiedy interesuje nas efekt cieplny reakcji w stałej objętości. W tym przypadku równy on jest zmianie energii wewnętrznej a
nie entalpii. Podstawową zatem funkcją będzie standardowa energia wewnętrzna (U°).
Związek pomiędzy U° a H° wynika z definicji entalpii, tj.
U°= H°- (p°V°)
co przy pominięciu zmian objętości substancji skondensowanych, prowadzi do
U°= H°- ngRT
i ng jest zmianą liczby moli reagentów gazowych.
Równanie powyższe można zapisać również i tak
U°= H°- ig RT
(sumowanie współczynników stechiometrycznych dotyczy tylko reagentów gazowych)
30. Termochemiczna energia wiązań.
W przypadku braku właściwych danych można dokonać oszacowania efektów cieplnych posługując się jedną z wielu metod
przybliżonych. Z reguły są one oparte na addytywności udziałów pochodzących od wiązań chemicznych. Wymaga to uprzedniego
założenia, że energia potrzebna do powstania/ rozerwania określonego wiązania, nie zależy od sąsiednich wiązań oraz atomów, w
wiązaniu tym nie uczestniczących. W niektórych przypadkach jest to założenie mocno odbiegające od rzeczywistości (np. układy
aromatyczne), często jednak może być stosowane jako zupełnie dobre przybliżenie.
Termochemiczną energię wiązania X-Y (EX-Y ) definiuje się jako energię potrzebną do rozerwania 1 mola wiązań X-Y w
następującej reakcji
1 mol wiązań X-Y w stanie standardowym dla gazu  1 mol X i 1 mol Y w stanach standardowych dla gazu
31. Związek pomiędzy rzeczywistym a standardowym efektem cieplnym.
Standardowy efekt cieplny dotyczy pewnej hipotetycznej reakcji, używany jest jednak do oszacowania rzeczywistego efektu
cieplnego albo też stanowi podstawę do jego wyliczenia. Różnica pomiędzy standardowym a rzeczywistym efektem cieplnym wynika
z faktu, że ten ostatni nie musi spełniać warunków (25).
Przeliczenie efektu standardowego na rzeczywisty, w sytuacji gdy reakcja nie biegnie do końca lub też bierze w niej inna ilość
reagentów niż wynikająca ze stechiometrii, nie powoduje trudności ze względu na ekstensywność entalpii.
W innych przypadkach
a) Reakcja zachodzi pod ciśnieniem innym niż 1 bar.
8
Wpływ ciśnienia na entalpię jest niewielki (mniej istotny niż temperatury) zarówno dla gazów jak i substancji skondensowanych
(szczególnie). W obu jednak przypadkach można ten wpływ obliczyć na podstawie znajomości właściwego równania stanu.
b) Reagenty nie są w stanach standardowych. Wpływ ciśnienia został skomentowany powyżej. Pozostaje do wyjaśnienia jeszcze
- Różnica pomiędzy gazem rzeczywistym a doskonałym:
Sprowadza się w gruncie rzeczy do wpływu ciśnienia (niskie ciśnienie - gaz doskonały, im ciśnienie wyższe, tym większe odchylenia
od doskonałości). Niemniej jednak zawsze, dysponując równaniem stanu możemy tę różnicę obliczyć.
- Różnica pomiędzy czystą substancją a składnikiem mieszaniny, czyli tak zwany efekt mieszania. Jest zerowy jedynie dla gazów
doskonałych oraz roztworów doskonałych (ich mieszaniu nie towarzyszy zmiana entalpii, czyli efekt cieplny, jeśli rozpatrujemy
proces izobaryczny). Jego znajomość pozwala na dokładne przeliczenia, jednak z reguły dla ciekłych roztworów nieelektrolitów nie
przekracza on 1 kJ/mol i może być pominięty.
c) Reakcja biegnie w stałej objętości.
Szacuje się efekt cieplny za pomocą standardowej energii wewnętrznej reakcji (U°). Pojawia się jednak wątpliwość. U°jest
zmianą energią wewnętrznej dla reakcji standardowej, a więc zachodzącej izobarycznie - p = const = p°. Czy rzeczywiście możemy
ją utożsamić ze zmianą energii dla procesu izochorycznego?
Proces izochoryczny da się przedstawić jako złożenie poniższych dwóch przemian
(po, Vo,T)
U°(p = const )

(po,V1,T)
U (p, V  const) = ?

(p1,Vo,T)
przy czym reakcja chemiczna zachodzi podczas pierwszego etapu (tj. izobarycznie). Pierwszemu procesowi towarzyszy zmiana
standardowej energii wewnętrznej. Zmiana energii wewnętrznej dla drugiego etapu dotyczy wyłącznie mieszaniny reagentów
(produktów). Polega na sprężeniu (lub rozprężeniu) produktów do objętości Vo, w wyniku czego ciśnienie będzie wynosić p1. Można
ten udział policzyć na podstawie równania stanu. Dla gazu doskonałego równa się zeru i jest pomijalnie mały dla reagentów
występujących postaci gazu i jako fazy skondensowane (chociaż w obu przypadkach z innych powodów).
D. II ZASADA TERMODYNAMIKI
32. Spełnienie I Zasady Termodynamiki jest warunkiem koniecznym zachodzenia jakiegokolwiek procesu w przyrodzie. Nie jest
jednak warunkiem dostatecznym. Z obserwacji wynika, że
- Procesy zachodzące w przyrodzie są nieodwracalne, to znaczy, że układ nie wraca spontanicznie ("sam z siebie") do stanu
początkowego.
- Nie widać bezpośrednio logicznej przyczyny, dla której nie mógłby zajść proces odwrotny do procesu nieodwracalnego, np.
cudowne sklejenie się rozbitego wazonu. Tak jednak się nie dzieje, jak uczy nas doświadczenie. Niemożność zachodzenia tych
procesów wydaje się być dla nas oczywistością, ale brakuje nam jasnego wyjaśnienia takiego stanu rzeczy. Dlaczego zatem
przemiany nie mogą ulec odwróceniu?
Konsekwencją nieodwracalności procesów jest istnienie czasu. Nazywamy go czasem termodynamicznym.
Oczekujemy jednak od termodynamiki, że ta da nam jakąś regułę określającą kierunek zachodzenia procesów oraz opis stanu
równowagi, który jest naturalnym kresem wszystkich spontanicznych przemian.
Już począwszy od początku XIX wieku ten problem frapował uczonych. Pierwszą próbą jego rozwiązania była propozycja
przeniesienia z mechaniki kryterium najmniejszej energii. Zgodnie z nim, możliwe by były tylko takie procesy, które wiązałyby się z
zmniejszaniem energii (a więc energii wewnętrznej), która z kolei powinna osiągnąć minimum w stanie równowagi. Zauważmy, że
oznaczałoby to, że wśród spontanicznych procesów izochorycznych zachodzą tylko przemiany egzotermiczne (bo mamy dU = dQ <
0), a endotermiczne są niemożliwe. Okazało się jednak niebawem, że procesy endotermiczne, chociaż mniej liczne, to jednak
również zachodzą spontanicznie. Przykładem jest rozpuszczanie niektórych soli w wodzie z pochłonięciem energii i obserwowanym
oziębieniem układu (np. Na2S2O3).
33. Wyjaśnienie kierunku zachodzenia procesów w przyrodzie na gruncie rozważań molekularnych, zawdzięczamy przede wszystkim
austriackiemu fizykowi Ludwigowi Boltzmannowi (1844-1906). Powtórzymy w uproszczonej formie jego rozumowanie.
Najpierw podsumujmy już to co zostało powiedziane o związkach pomiędzy stanami mikroskopowymi (cząsteczkowymi) a stanem
makroskopowym.
a) Stan mikroskopowy określony jest jednoznacznie poprzez energię (jako funkcję prędkości (pędu) i położenia).
b) Każdemu stanowi makroskopowemu odpowiada ogromna liczba stanów mikroskopowych. Układ jest dynamiczny i pozostając w
tym samym stanie makroskopowym, przechodzi w sposób ciągły przez wiele stanów mikroskopowych.
c) Liczba stanów mikroskopowych, chociaż olbrzymia, jest jednak skończona, bowiem energia może przybierać tylko niektóre
wartości (jest skwantowana).
Dla liczby moli równej N = NA, liczba stanów mikroskopowych jest rzędu 10N!
d) A zatem obserwowany parametr makroskopowy jest średnią po wszystkich możliwych konfiguracjach, czyli stanach
mikroskopowych zgodnych z założonym stanem makroskopowym.
9
Fundamentalna praca Boltzmanna, ogłoszona w roku 1872, spotkała się z ostrą krytyką. Główny zarzut był jednocześnie krytyką
teorii atomistycznej, którą uważano raczej za pewną strukturę formalną a nie odbicie rzeczywistości. Wielu utytułowanych i
zasłużonych badaczy (Mach, Ostwald) uważało, że tak długo jak istnienie atomów nie zostanie bezpośrednio udowodnione (poprzez
obserwację), ich właściwości nie mogą stanowić podstawy jakiejkolwiek teorii makroskopowej. Krytyka ta doprowadziła
Boltzmanna do samobójstwa (w 1906 roku (!)), na dwa lata przed eksperymentalnym potwierdzeniem istnienia atomów (w ramach
prac nad ruchami Browna).
34. Wyobraźmy sobie zbiór układów makroskopowych, będących w dokładnie takim samym stanie termodynamicznym (określonym
z reguły przez trzy parametry, w tym jeden związany z liczbą cząsteczek). Każdy układ znajduje się w innym stanie mikroskopowym.
Zatem liczba układów równa się liczbie wszystkich możliwych stanów cząsteczkowych. Zbiór ten nosi nazwę zespołu
statystycznego. Wyróżnia się różne zespoły w zależności od zbioru parametrów termodynamicznych, z którymi stan mikroskopowy
musi być zgodny. Postuluje się, że wartość parametru termodynamicznego (Y) stanowi uśrednienie po całym zespole parametrów
mechanicznych, liczonych oddzielnie dla każdego układu z zespołu (Yi). Tak więc można zapisać
Y = <Y> = PiYi
gdzie Pi stanowi prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu i.
Głównym zadaniem termodynamiki statystycznej jest wyznaczenie prawdopodobieństw Pi.
Dla N cząsteczek, stan mikroskopowy określany jest poprzez 6N współrzędnych położenia i pędu. Przestrzeń opisywana za pomocą
tych współrzędnych (jest to przestrzeń 6N wymiarowa !) nosi nazwę przestrzeni fazowej. Określony mikrostan będzie zatem
reprezentowany przez punkt w przestrzeni fazowej. Wszelkie zmiany mikrostanów możemy sobie wyobrazić jako przemieszczanie
się punktu w tej przestrzeni, a więc jako jego trajektorię.
35. Zakłada się, że dla zespołu, w którym określonymi parametrami termodynamicznymi są U,V,N (zespół ten nosi nazwę zespołu
mikrokanonicznego), prawdopodobieństwo każdego mikrostanu jest takie same. Inaczej mówiąc, każdy z mikrostanów
odpowiadający tym samym makroskopowym wartościom U,V i N, jest tak samo prawdopodobny i w związku z tym, rzeczywisty
układ makroskopowy przebywa w każdym ze stanów mikroskopowych, średnio przez ten sam czas. Postulat ten nosi nazwę zasady
równych prawdopodobieństw.
Zasada równych prawdopodobieństw stanowi najsłabszy element termodynamiki statystycznej, a i w związku z tym termodynamiki
jako takiej. Zasadę tę udowodniono tylko dla pewnej ograniczonej klasy układów. Zatem należy ją traktować jako postulat. Z drugiej
strony, zgodne z doświadczeniem wyniki uzyskane za pomocą metod termodynamiki statystycznej, stanowią pośredni dowód na
rzecz prawdziwości przyjętych reguł.
Tak więc dla zespołu mikrokanonicznego każde prawdopodobieństwo równa się
Pi = 1/
gdzie  jest liczbą wszystkich możliwych mikrostanów dla tych samych wartości U,V,N
36. W ramach tych samych parametrów makroskopowych U,V,N wyróżnijmy dwa zbiory mikrostanów 1 i 2. Oczywiście będzie 
= 1 + 2. Jeśli 1 < 2, to z większym prawdopodobieństwem układ wystąpi w jednym ze stanów 2 niż 1. A co się stanie, jeśli
wystąpi olbrzymia różnica pomiędzy liczebnością obu zbiorów? Powiedzmy, że 2 >>> 1? Wtedy można powiedzieć, że stan 1
jest niezmiernie mało prawdopodobny. Jeśli więc z jakichś powodów na początku układ byłby w stanie 1 , to natychmiast
przeszedłby do znacznie bardziej prawdopodobnego stanu 2. Inaczej mówiąc, nastąpiłby spontaniczny i nieodwracalny proces 1 
2!
Jesteśmy już blisko rozwiązania problemu. Zauważmy, że uświadamiając sobie rzeczywistą strukturę układu, dochodzimy w gruncie
rzeczy do oczywistego wniosku - a mianowicie, że spontaniczne procesy zachodzą w sposób nieodwracalny, od stanu mniej
prawdopodobnego do stanu bardziej prawdopodobnego. Proces odwrotny nie może zajść. Czy aby na pewno? Skoro mówimy o
prawdopodobieństwie, lepiej powiedzieć, że jest on mało prawdopodobny. Aby odpowiedzieć na pytanie, jak mało, musielibyśmy
znać dokładne wartości prawdopodobieństwa. Otóż biorąc pod uwagę typowe układy termodynamiczne można śmiało powiedzieć powrót jest niewyobrażalnie mało prawdopodobny, niemniej jednak nie jest niemożliwy.
Dobrym układem modelowym obrazującym przedstawione rozumowanie jest talia kart, pierwotnie ułożona zgodnie ze starszeństwem
kart w każdym kolorze oraz według starszeństwa kolorów - od dwójki trefl do asa pikowego. Istnieje tylko jeden taki układ kart.
Rozpoczynamy tasowanie. Wszystkie rozkłady są jednakowo prawdopodobne, co oznacza, że przerywając tasowanie mamy szansę
zaobserwować dowolną konfigurację z takim samym prawdopodobieństwem. Jaka jest szansa, że w wyniku tasowania powrócimy do
stanu uporządkowanego? Doświadczenie uczy nas, że praktycznie żadna. Rzeczywiście, można wykazać, że proces:
10
uporządkowana talia kart  nieuporządkowana talia kart
możemy określić jako wybitnie nieodwracalny.
Z kolei modelowym układem stricte termodynamicznym może być izolowany sztywny zbiornik zawierający jeden mol gazu doskonałego. Spełniony
jest warunek U,V,N = const. Gaz znajduje się w jednej połowie zbiornika, odgrodzony przesuwalną przegrodą od drugiej, pustej części. W pewnej
chwili usuwamy przegrodę. Obserwujemy spontaniczny, nieodwracalny proces przejścia cząsteczek gazu do pustej części i po pewnym czasie
wyrównanie się liczby cząsteczek w obu połówkach. Bardzo łatwo można policzyć stosunek liczby mikrostanów odpowiadających obu sytuacjom gaz w całym zbiorniku (2) i gaz w jednej połówce (1) (proszę to zrobić!). Wartość logarytmu ln(2/1) wynosi NAln2 (NA jest liczbą Avogadro),
podczas gdy dla talii kart parametr ten wynosił tylko 156,36! A przecież nie mieliśmy wątpliwości, że proces związany z tasowaniem jest
nieodwracalny! Proszę zauważyć, o ile rzędów bardziej nieodwracalne jest przemieszczanie się cząsteczek gazu.
Wyciągnijmy też od razu wniosek praktyczny - ze względu na wielkie wartości liczby mikrostanów wygodniej jest się posługiwać logarytmami.
Warto jeszcze raz podkreślić statystyczny i probabilistyczny charakter rozważań. Spośród procesów zgodnych z zasadą zachowania energii jedne
mają miejsce a inne nie. Nie zachodzą, bowiem są niezmiernie mało prawdopodobne. Ale to nie znaczy, że są niemożliwe! W gruncie rzeczy
wszystkie, nawet najbardziej fantastyczne zdarzenia niesprzeczne z I Zasadą, np. pojawienie się smoka zjadającego na śniadanie księżniczki, mogą
się zdarzyć, chociaż najprawdopodobniej nie nastąpią.
37. Oczywiste jest olbrzymie znaczenie parametru  (tj. liczby wszystkich mikrostanów odpowiadających określonemu stanowi
makroskopowemu) przy określaniu kierunków wszelkich procesów. Rząd wielkości sugeruje użycie logarytmu. Zdefiniujmy zatem
następującą funkcję
S = k ln
którą nazywa się ENTROPIĄ.
Parametr k nosi nazwę stałej Boltzmanna i na razie można go uznać po prostu za współczynnik proporcjonalności, zostawiając
sobie na później przypisanie mu konkretnej wartości. Ponadto każdy spośród  mikrostanów odnosi się do tych samych wartości
U,V i N. Wzór ten stanowi statystyczną definicję entropii.
Entropia ma następujące własności:
a) Jest funkcją ekstensywną, bo dzieląc arbitralnie układ na dwie części otrzymuje się  = 12, co zamienia się na addytywność
logarytmów.
b) Istnieje bliski związek pomiędzy energią a entropią. Znalezienie liczby mikrostanów dla określonej wartości energii U, to inaczej
zadanie, na ile sposobów można rozmieścić energię na różnych kwantowych poziomach energetycznych. Im większa wartość energii
(dla V,N = const) tym większa będzie liczba możliwości. Tak więc pochodna entropii po energii wewnętrznej musi być dodatnia.
Intuicyjnie przyjmijmy, że może mieć ona duże znaczenie i wprowadźmy parametr z nią związany
1
 S 

  0
 U V , N T
Parametr T nazwany został temperaturą lub TEMPERATURĄ TERMODYNAMICZNĄ.
Istnieje bezpośredni związek pomiędzy entropią a "nieuporządkowaniem" układu, tak że często mówi się, że entropia jest miarą
owego nieuporządkowania. Widać to dobrze na przykładzie z kartami, w którym stan początkowy, najbardziej uporządkowany,
charakteryzował się najmniejszą entropią ( = 1 i S = 0). Wzrost nieuporządkowania można rozumieć jako zmniejszenie liczby
ograniczeń narzucanych na dostępne mikrostany. Oczywiste jest, że jego konsekwencją będzie wzrost ich liczby i wzrost entropii.
Wzór S = k ln znajduje się wypisany na grobie Boltzmanna. Jakby chciano przez to powiedzieć, że w sporze Boltzmanna z
ówczesnym światem naukowym, racja jest po jego stronie (33). Teraz, po z górą 100 latach, my również nie mamy co do tego
wątpliwości.
38. Wprowadzenie entropii umożliwia sformułowanie prawa, stwierdzającego kierunek procesów zachodzących w przyrodzie.
W układzie spełniającym warunek U,V,N = const możliwy jest tylko taki proces, któremu towarzyszy wzrost entropii. W stanie
równowagi, entropia osiąga maksimum.
To twierdzenie nosi nazwę ZASADY WZROSTU ENTROPII.
11
39. Trzeba określić jeszcze wartość liczbową stałej Boltzmanna oraz relacje pomiędzy temperaturą termodynamiczną i entropią a
parametrami makroskopowymi. Okazuje się, że porównując związki parametrów makroskopowych wynikających z I Zasady z
wnioskami sformułowanymi na gruncie termodynamiki statystycznej, można udowodnić następujące, niezmiernie ważne relacje
(a) TdS = dQodw
(b) równoważność temperatury termodynamicznej i empirycznej, jeśli zdefiniuje się stałą Boltzmanna jako
k = R/NA (co oczywiście natychmiast czynimy).
40. Związek pomiędzy różniczką zupełną entropii a różniczkowym ciepłem w przemianie odwracalnej sugeruje pytanie o
analogiczny związek dla ciepła w przemianie nieodwracalnej. Ponieważ U jest funkcją stanu, jej przyrost różniczkowy nie zależy od
rodzaju procesu - będzie taki sam dla przemiany odwracalnej i nieodwracalnej, czyli
dU = dwodw + dQodw = dw + dQ
Ponieważ dw  dwodw  dQ  dQodw = TdS
Tak więc w ogólnym przypadku będzie
dS  dQ/T
41. Zdefiniowaliśmy pojęcie entropii posługując się ujęciem cząsteczkowym. W termodynamice klasycznej ta droga jest oczywiście
zamknięta i entropię z jej właściwościami definiuje się poprzez II ZASADĘ TERMODYNAMIKI. Jest ona równoważna Zasadzie
Wzrostu Entropii. Oto jej najczęściej przyjmowana forma
Postuluje się istnienie funkcji stanu, zwanej entropią (S), która ma następujące właściwości:
1. Jest funkcją ekstensywną.
2. Jej różniczka zupełna wyraża się wzorem
dS 
dQodw
T
3. Dla każdej dowolnej przemiany w przyrodzie zachodzi związek
dS 
dQ
T
Właściwości entropii oraz II Zasada zostały odgadnięte kilkadziesiąt lat przed wyprowadzeniem sformułowania statystycznego. Podstawą były
rozważania na temat silników cieplnych. (R. Clausius, 1850).
II Zasada podaje, podobnie jak Zasada Wzrostu Entropii, pewien wymóg, który musi być spełniony dla każdego spontanicznego procesu w
przyrodzie. Jest nim ostra nierówność 41.3. Natomiast stan równowagi musi spełniać warunek 41.2.
42. Konsekwencje II Zasady
1. Różniczka zupełna energii wewnętrznej równa się
dU = -pdV + TdS
Jest ona prawdziwa niezależnie od rodzaju przemiany, ale jedynie dla procesu odwracalnego pierwszy wyraz jest różniczkową pracą
objętościową, a drugi różniczkowym ciepłem.
W bilansie energii, który w pewnym stopniu wyraża to równanie, TdS ma klasyczną postać, taką samą jak różne rodzaje pracy (14),
tj. jest w postaci iloczynu deformacji parametru ekstensywnego (dS) i intensywnej siły uogólnionej (T). Zatem temperatura może być
interpretowana jako siła uogólniona odpowiadająca ciepłu.
Ponieważ dla układu zamkniętego energia wewnętrzna zależy dokładnie od dwóch parametrów stanu, stanowi to jednocześnie dowód
Zasady Duhema (12).
2. Dla procesu adiabatycznego nierówność 41.3 będzie miała postać
dS  0
Co oznacza, że entropia musi wzrastać i osiąga maksimum w stanie równowagi.
Ponieważ dla U,V,N = const, z I Zasady wynika dQ = 0, sformułowanie to jest równoważne Zasadzie Wzrostu Entropii.
Przyjmuje się często, że Wszechświat jako całość spełnia warunek U,V,N = const. Oznacza to, że
12
- entropia Wszechświata cały czas rośnie (co jednak może być kwestionowane ze względu na wątpliwości co do rzeczywistych
właściwości Wszechświata);
- dla każdego procesu zachodzącego w układzie spełniona jest następująca nierówność
dSukład + dSotoczenie  0
wynikająca z addytywności (ekstensywności) entropii.
3. Rozpatrujemy dwa układy kontaktujące się ze sobą i różniące się temperaturami - T i T'. Zakładamy, że oba układy mogą
przekazywać wzajemnie energię za wyjątkiem pracy (objętościowej). Oznacza to, że energia przenoszona jest jedynie na sposób
ciepła. Każdy z dwóch układów spełnia warunek V,N = const, a oba razem także U = const. Dla zachodzącego procesu zachodzi
zatem nierówność
dS + dS'  0
1
1
 S 
 S ' 

 dU  
 dU '  dU  dU '  0
 U  V
 U '  V
T
T'
a ponieważ sumaryczna energia jest stała
dU + dU' = 0
i powyższe równanie można zapisać jako
1 1
   dU  0
 T T '
Jak widać, w stanie równowagi musi być spełniony warunek T = T'. Dla każdego spontanicznego procesu mamy ostrą nierówność.
Rozpatrzmy dwa przypadki:
dQ > 0 (i dU > 0 )  T < T'
dQ< 0 (i dU < 0 )  T > T'
A zatem przepływ energii na sposób ciepła następuje od układu o wyższej temperaturze do układu o temperaturze niższej.
4. Paradoksy i kontrowersje związane z II Zasadą.
II Zasada, ze względu na swoje fundamentalne znaczenie dla zrozumienia otaczającego świata, jest wciąż obiektem zarówno sporów jak i
nieporozumień. Omówmy kilka z nich.
a) Panuje dość szeroko rozpowszechniony pogląd, że dla każdego spontanicznego procesu w przyrodzie entropia musi rosnąć. Nie jest to prawdziwe,
albo przynajmniej nie do końca prawdziwe. W układzie mogą zachodzić spontaniczne procesy, którym towarzyszy zmniejszanie się entropii, jeśli nie
jest spełniony wymóg U,V,N = const. Jednak zmniejszenie entropii w układzie zawsze będzie rekompensowane z naddatkiem jej wzrostem w
otoczeniu w tak sposób, aby sumaryczna entropia wzrosła.
b) Entropia jest parametrem makroskopowym i wskazuje kierunek procesu w ujęciu makroskopowym. Na poziomie mikroskopowym obserwujemy
zachowania, które są sprzeczne z II Zasadą. W gruncie rzeczy jednak lepiej powiedzieć, że do układów złożonych z małej liczby cząsteczek, II
Zasada po prostu się nie stosuje. Czasami takie "nie-termodynamiczne" zachowania się małych układów mogą być obserwowalne w makroświecie.
Dobrym przykładem są tu fluktuacje gęstości atmosfery, które sprawiają, że niebo jest niebieskie (a nie czarne (!)), a o wschodzie i zachodzie Słońca,
dociera do nas nadmiar promieniowania o czerwonej barwie.
c) Należy sobie uświadamiać pewne ograniczenia związane z równowagowym charakterem definiowanych wielkości. W spontanicznym procesie
wiemy coś więcej jedynie o dwóch stanach równowagi - stanie początkowym (A), który był stanem równowagi, ale pod wpływem jakiejś zmiany
parametrów przestał nim być, natomiast stał się nim inny stan (B), stan końcowy rozważanego procesu. Potrafimy jedynie powiedzieć - proces
zajdzie od A do B. Ale niewiele wiemy na temat tego co będzie się działo pomiędzy tymi dwoma etapami. Zajmuje się tym nowa gałąź
termodynamiki nazywana termodynamiką procesów nierównowagowych, ale ciągle jeszcze jest ona w stadium dziecięctwa.
To oczywiście wielkie ograniczenie. Chociaż umiemy zrozumieć pseudoświat stworzony przez nas w probówce czy reaktorze chemicznym, to jednak
daleko nam do zrozumienia, tego co się wokół nas dzieje. Świat jest bowiem, w trakcie stawania się. Procesy, które obserwujemy w przyrodzie nie
dochodzą do równowagi, one po prostu cały czas zachodzą. Tak jest z życiem organizmów, które nie jest stanem równowagi ale ciągłym procesem
wymiany masy i energii (dodalibyśmy jeszcze pewnie - informacji) z otoczeniem. Nawet stan śmierci organizmu, jakkolwiek znacznie bliższy
równowadze niż życie, stanem równowagi też nie jest.
Wiąże się z tym aspektem dość często podnoszony zarzut, że ewolucja i ciągłe doskonalenie się żywych organizmów jest sprzeczne z II Zasadą. Tak
oczywiście nie jest. Ewolucja jest procesem. Z pewnością w jej trakcie obserwujemy lokalne zmniejszenie entropii, co wymaga jakiegoś wyjaśnienia,
ale nie ma tu sprzeczności z Zasadą. Pod warunkiem, że sumaryczna entropia Wszechświata będzie rosnąć. I jak dotychczas wszystko wskazuje, że
13
tak się dzieje. A spadki entropii związane z samoorganizacją się życia są tylko chwilowe (!), bowiem i ono zniknie jak entropia Słońca osiągnie
swoje maksimum.
d) Demon Maxwella.
Ojcem tej demonicznej postaci, która miała wstrząsnąć II Zasadą, jest, jak sama nazwa wskazuje - J.C. Maxwell. Matką zaś jest Entropia.
Demon siedzi przy drzwiczkach w przegrodzie w środku izolowanego zbiornika z gazem. Siedzi i obserwuje cząsteczki. W zasadzie trzyma
drzwiczki zamknięte. Jeśli jednak zauważy, że z jednej strony nadlatuje cząsteczka o prędkości większej od średniej lub też z drugiej strony pojawia
się cząstka o prędkości mniejszej od średniej, to otwiera drzwiczki i przepuszcza cząsteczkę na drugą stronę. Po pewnym czasie zgromadzi po jednej
stronie cząsteczki o większej energii kinetycznej, po drugiej zaś o mniejszej. Po jednej stronie temperatura będzie większa, po drugiej mniejsza i w
konsekwencji entropia zmaleje. Co na to II Zasada?
Paradoks bierze się z zapomnienia, że demon też jest obiektem termodynamicznym. Układem izolowanym nie jest zbiornik z gazem (bo oddziałuje z
demonem), ale zbiornik i demon razem. Tak więc konstatując zmniejszenie się entropii w zbiorniku, musimy znać również zmianę entropii demona i
dopiero po zsumowaniu zmian możemy kwestionować II Zasadę. Oczywiście nie znając dokładnej budowy demona nie sposób dokładnie obliczyć
zmian jego entropii. Na pewno musi wykonywać jakąś pracę związaną z otwieraniem i zamykaniem drzwiczek, a także i przede wszystkim zbierać
informacje o ruchu cząsteczek. Otóż można entropię powiązać z teorią informacji i oszacować wzrost entropii demona, związany z jego
działalnością. Okazuje się, ze z nawiązką rekompensuje spadek entropii gazu. Zauważmy jeszcze, że taka działalność może nie wyjść demonowi na
zdrowie. Wzrost jego entropii w stałej objętości (demonami o zmiennej objętości zajmuje się osobna gałąź demonologii) spowoduje wzrost jego
energii (37b) co może być dla niego zgubne. Chyba, że co pewien czas będzie się pozbywał jej nadmiaru wychodząc z układu i wykonując jakieś
prace.
W modelu tym dostrzeżono podobieństwo do układów biologicznych.
43. II Zasada formułuje dogodne kryterium zachodzenia procesów i charakterystykę stanu równowagi (w postaci Zasady Wzrostu
Entropii), ale bezpośrednia jego stosowalność ogranicza się do przemian izolowanych (U,V,N = const.). Można jednak łatwo znaleźć
analogiczne kryteria dla innych warunków narzuconych na proces, łącząc I i II Zasadę Termodynamiki.
Podstawiając dQ obliczone z I Zasady do nierówności na różniczkę entropii, otrzymuje się
dS 
dU  dw
T
czyli
dU  dw + TdS
Z nierówności tej wynika, że dla każdego spontanicznego procesu zachodzącego w przyrodzie w warunkach S,V,N = const,
spełniona będzie nierówność
dU  0
czyli energia wewnętrzna musi maleć, osiągając minimum w stanie równowagi.
Jest to oczywiście znana z mechaniki zasada minimum energii. Jak widać ma ona charakter uniwersalny tylko dla układów w stałej
entropii.
Jeśli w układzie występuje jeszcze inny rodzaj pracy, wystąpi ona po prawej stronie nierówności zamiast zera.
14

Tadeusz Hofman, WYKŁADY Z TERMODYNAMIKI dla biotechnologii

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wzory chemia fizyczna - Fizyka

spis treści

Zestaw pytań na egzamin licencjacki w roku akademickim 2015/16

Zjawiskami termodynamicznymi rządzi statystyka. O kierunku ich

Wstęp -

Ściąga z fizyki - energia wewnętrzna, zasada

∆U = Q + W Zmiana energii wewnętrznej ciała, lub układu ciał jest

Pierwsza zasada termodynamiki Energią wewnętrzną