Nr wniosku: 187831, nr raportu: 13027. Kierownik (z rap.): mgr

Nr wniosku: 187831, nr raportu: 13027. Kierownik (z rap.): mgr Sylwester Adam Zając
Geodezyjne zespolone stanowią fundamentalny przedmiot badań w analizie zespolonej ogólnie, a w szczególności, w
będącej częścią tejże, geometrycznej teorii funkcji. Ich znajomość, o ile tylko dany obszar je posiada, pomaga zrozumieć
jego szeroko pojętą „geometrię zespoloną”. Przykładowo, na obrazie geodezyjnej zespolonej wszystkie odległości
holomorficznie niezmiennicze w obszarze są sobie równe. Słynne twierdzenie Lemperta gwarantuje, że w obszarze
wypukłym nie zawierającym afinicznych prostych zespolonych, przez dowolne dwa punkty przechodzi pewna geodezyjna
zespolona. Co więcej, w 1983 roku H. L. Royden i P.-M. Wong podali warunek równoważny na to, aby dane
odwzorowanie holomorficzne było geodezyjną zespoloną dla danego ograniczonego obszaru wypukłego. Korzystając z
tego warunku, różni autorzy podawali opisy geodezyjnych dla pewnych szczególnych klas obszarów. Tego typu wynik
uzyskano także w trakcie realizacji tego projektu, podając pełny opis geodezyjnych w dowolnym wypukłym obszarze
tubowym w C^N, tzn. w obszarze niezmienniczym względem przesunięć o wektor ix dla dowolnego wektora x o
rzeczywistych współrzędnych. Obszary tubowe są oczywiście nieograniczone, i do udowodnienia tego wyniku konieczne
było skorzystanie z nieco innego warunku równoważnego na geodezyjną zespoloną, uzyskanego wcześniej przez autora
projektu. Co więcej, okazuje się, że znajomość geodezyjnych zespolonych w wypukłych obszarach tubowych pomaga
zrozumieć „geometrię zespoloną” w stosunkowo dużej podklasie pełnych, ograniczonych i pseudowypukłych obszarów
Reinharda, które już nie muszą posiadać geodezyjnych zespolonych przechodzących przez dowolne dwa punkty. W tej
sytuacji „geometria zespolona” opisywana jest, do pewnego stopnia, przez tzw. odwzorowania ekstremalne względem
funkcji Lemperta oraz metryki Kobayashi'ego-Roydena. W ramach projektu udało się autorowi podać wzory na te
odwzorowania, wykorzystując opis geodezyjnych zespolonych dla wypukłych obszarów tubowych oraz fakt, iż każdy z
tych rozważanych obszarów Reinharda, po usunięciu zeń osi układu współrzędnych, daje się nakryć przez wypukły
obszaru tubowy. Warto dodać, że metody zastosowane w projekcie przy badaniu wypukłych obszarów tubowych dają się
zastosować także dla dowolnych obszarów wypukłych. Aktualnie prowadzone są dalsze badania na ten temat.
Drugą tematykę poruszaną w projekcie można zaliczyć do tzw. dynamiki zespolonej. Mając dany obszar
holomorficzności D w C^N (lub, ogólniej, N-wymiarową rozmaitość Steina) i odwzorowanie holomorficzne f prowadzące
z D w D, bada się tzw. operator kompozycji, tj. operator, który funkcji holomorficznej na D przypisuje jej złożenie z f. W
ramach projektu badano orbity tego operatora, co przekładało się na badanie zachowania ciągu złożonego z kolejnych
iteracji odwzorowania f. Konkretnie, interesowało nas pytanie o tzw. hipercykliczność operatora, czyli o istnienie funkcji
g holomorficznej na D takiej, że jej złożenia ze wszystkimi iteracjami f tworzą zbiór gęsty w rozważanej przestrzeni.
Udało się uzyskać warunek równoważny na tę własność, wyrażony w języku odwzorowania f oraz holomorficznej
wypukłości względem D. Wspomniany warunek jest w pewnym stopniu warunkiem geometrycznym – choć tutaj
„geometrię” należy rozumieć raczej jako geometrię zespoloną. Co więcej, udało się wykazać, że w pewnej klasie
obszarów D, zawierającej wiele „ładnych” obszarów, niezależnie od odwzorowania f, każdy hipercykliczny operator
kompozycji jest dziedzicznie hipercykliczny. Jest to ciekawy fakt, jako że ta ostatnia własność w ogólnej teorii
operatorów jest dużo mocniejsza.