MH MB4 wyklad 6 [tryb zgodności]

www.imio.polsl.pl
www.imio.polsl.pl
STANDARDOWE
FUNKCJE
PRZYNALEŻNOŚCI
METODY
HEURYSTYCZNE
wykład 6
1
GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI
2
www.imio.polsl.pl
www.imio.polsl.pl
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY
s
x’ – środek;
a – określa szerokość krzywej
3
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π
www.imio.polsl.pl
(zdef. poprzez klasę s)
4
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY γ
www.imio.polsl.pl
(alternatywa dla s)
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY L
5
6
1
www.imio.polsl.pl
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY t
www.imio.polsl.pl
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY singleton
(alternatywa dla π)
Singleton charakteryzuje jednoelementowy zbiór rozmyty.
7
Np.: prędkość samochodu:
Funkcja ta jest wykorzystywana głównie do operacji
rozmywania w systemach wnioskujących.
www.imio.polsl.pl
www.imio.polsl.pl
µ(x)
X: [0, xmax]
8
1
• Mała prędkość samochodu (A) – typ L
α
0
• Średnia prędkość samochodu (B) – typ t
• Duża prędkość samochodu (C) – typ γ
1
µA(x)
µB(x)
Jądro
x
α - przekrój
Baza
Nośnik (baza) zbioru rozmytego A:
zbiór elementów ZR, dla których
µC(x)
µ (x) >0
0.5
Jądro zbioru rozmytego A: zb. elementów ZR, dla których
40
x=55
60
80
xmax
⇒ µA(x) =0.25, µB(x)=0.75, µC(x)=0
x
α -przekrój zbioru rozmytego A: zbiór nierozmyty taki, że:
9
10
www.imio.polsl.pl
Np.:
µ(x)=1
www.imio.polsl.pl
Wysokość zbioru rozmytego A:
X={1, ..., 10}
Zbiór normalny:
α -przekroje:
Normalizacja zbioru:
A0 = X = {1, ..., 10},
A0.1 = {2, 4, 5, 8, 10},
Np.:
- przed normalizacją:
A0.3 = {4, 5, 8, 10},
A0.6 = {5, 8},
A0.7 = {5}.
- po normalizacji:
11
12
2
www.imio.polsl.pl
Inkluzja (zawieranie sie ZR A w ZR B):
µ (x)
www.imio.polsl.pl
µ B(x)
OPERACJE
NA ZBIORACH
ROZMYTYCH
µ A(x)
x
ZR wypukły:
ZR niewypukły:
µ (x)
µ (x)
x
x
Równość dwu ZR A i B:
13
www.imio.polsl.pl
PRZECIĘCIE
14
www.imio.polsl.pl
SUMA
Definicje sumy zbiorów rozmytych mają nazwę S-norm.
Np.:
µ (x)
µ (x)
µ (x)
1
W literaturze istnieje wiele definicji przecięcia (iloczynu)
zbiorów rozmytych pod wspólną nazwą T-norm.
A
B
µ A(x) ∪ µ B(x)
Najczęściej stosowana definicja przecięcia zbiorów A i B:
1
µ (x)
µ B(x)
DOPEŁNIENIE zbioru rozmytego:
µ A(x) ∩ µ B(x)
1
1
µ (x)
µ A(x)
Przykład:
µ A(x)
0
µ B(x)
µ A(x) ⋅µ B(x)
0
µ (x)
µ Â(x)
x
0
lub (iloczyn algebraiczny):
x
0
µ A(x)
x
Dla ZR nie są spełnione prawa dopełnienia:
x
15
www.imio.polsl.pl
16
Przykład:
www.imio.polsl.pl
Przecięcie:
Przecięcie:
Suma:
Suma:
17
18
3
www.imio.polsl.pl
Liczby rozmyte to ZR zdefiniowane na osi liczb
rzeczywistych.
Wymagania:
www.imio.polsl.pl
• zbiór normalny: h(A)=1;
• zbiór wypukły;
LICZBY
ROZMYTE
• funkcja przynależności przedziałami ciągła.
np.:
11
µ (x)
x
0
1
• dodatnie
µ (x)
• ujemne;
19
www.imio.polsl.pl
ZASADA ROZSZERZANIA:
Zasada rozszerzania pozwala przenieść (rozszerzyć) różne
operacje matematyczne ze zbiorów nierozmytych na
zbiory rozmyte (w tym również na liczby rozmyte).
dodawanie
A1 ⊕ A2 = B
odejmowanie
A1 ⊖ A2 = B
mnożenie
A1 ⊙ A2 = B
dzielenie
A1 ⊘ A2 = B
• ani dodatnie ani ujemne.
x
0
20
x
www.imio.polsl.pl
ZASADA ROZSZERZANIA:
Zasada rozszerzania pozwala przenieść (rozszerzyć) różne
operacje matematyczne ze zbiorów nierozmytych na
zbiory rozmyte (w tym również na liczby rozmyte).
Nie zawsze wynikiem operacji arytmetycznych na liczbach
rozmytych jest liczba rozmyta...
Twierdzenie (Dubois, Prade):
21
www.imio.polsl.pl
Dodawanie liczb rozmytych:
Jeżeli liczby rozmyte A1 i A2 mają ciągłe funkcje
przynależności, to wynikiem operacji arytmetycznych
dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia są
liczby rozmyte.
1
- f. przynależności klasy t;
µA(y)
µB(z)
µA+B(x)
www.imio.polsl.pl
Trójkątne liczby rozmyte:
Opis:
µ
22
1
µ (x)
- jako:
x
0
x
0
Wyostrzanie trójkątnej
liczby rozmytej:
x
Mnożenie liczb rozmytych:
a1
aM
a2
x
µ
1
0
µA(y)
µB(z)
µA·B(x)
x
23
24
4
www.imio.polsl.pl
Płaskie liczby rozmyte:
µ(x)
PRZYBLIŻONE
WNIOSKOWANIE
1
x
0
www.imio.polsl.pl
25
26
www.imio.polsl.pl
Logika tradycyjna (dwuwartościowa):
www.imio.polsl.pl
• A=1 : logiczną wartością zdania A jest prawda;
• A=0 : logiczną wartością zdania A jest fałsz.
O prawdziwości zdań wnioskuje się na podstawie
prawdziwości innych zdań.
Funktory logiczne:
Operacja
logiczna
negacja
Schemat notowania:
• Nad kreską zdania, na podstawie których się wnioskuje;
• Pod kreską otrzymany wniosek.
Jeśli prawdziwe są wszystkie zdania powyżej kreski
to prawdziwy jest też wniosek.
27
www.imio.polsl.pl
Implikacja (wynikanie):
Czyta się:
~ lub ¬
nie jest prawdą, że...
koniunkcja
∧
i, oraz
alternatywa
implikacja
∨
⇒
lub
jeżeli... to ...
równoważność
⇔
≡
wtedy i tylko wtedy, gdy...
∀
dla każdego...
∃
istnieje takie...
tożsamość
Teraz: A, B – zdania.
Funktor
kwantyfikator
ogólny
kwantyfikator
szczególny
jest tożsame...
28
REGUŁY WNIOSKOWANIA
www.imio.polsl.pl
MODUS PONENS
Modus ponendo ponens – sposób wnioskowania
przez twierdzenie p do twierdzenia q.
Zdanie logiczne o strukturze „jeśli p to q" (p⇒q)
• p – poprzednik implikacji;
Przesłanka:
Implikacja:
• q – następnik implikacji.
Wniosek:
Implikacja jest prawdziwa:
A
A→B
B
Z prawdziwości przesłanki i implikacji
wynika prawdziwość wniosku.
Np.:
• A=1 „Jacek jest kierowcą”
• gdy q jest prawdziwe;
• gdy p i q są fałszywe.
• B=1 „Jacek ma prawo jazdy”
29
• Jeśli A=1 to B=1
30
5
www.imio.polsl.pl
MODUS TOLLENS
Modus tollendo tollens – sposób wnioskowania
prowadzący przez przeczenie do przeczenia.
Przesłanka:
Implikacja:
Wniosek:
www.imio.polsl.pl
REGUŁY WNIOSKOWANIA W LOGICE ROZMYTEJ
Reguły, których przesłanki lub wnioski wyrażone są
w języku zbiorów rozmytych.
~B
A→B
• Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrażone są
w języku nieprecyzyjnym.
~A
Z prawdziwości przesłanki i implikacji
również wynika prawdziwość wniosku.
Np.:
• B=0 (~B=1) „Jacek nie ma prawa jazdy”
• Zbiory rozmyte pozwalają przełożyć ten język na
konkretne wartości liczbowe.
Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmytej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł.
• A=0 (~A=1) „Jacek nie jest kierowcą”
• Jeśli B=0 to A=0
31
www.imio.polsl.pl
Reguły mają postać IF...AND...THEN. np.:
32
www.imio.polsl.pl
Różnice w porównaniu z klasycznymi regułami IF-THEN:
• Wykorzystanie zmiennych opisujących zbiory rozmyte;
IF a is A1 AND b is B1 THEN c is C1
• Występowanie mechanizmu określającego stopień
przynależności elementu do zbioru;
IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2
• Wykorzystanie operacji na zbiorach rozmytych.
gdzie:
a, b, c
– zmienne lingwistyczne,
A1, ..., C2
– zbiory rozmyte.
Np.:
Schemat wnioskowania, w którym przesłanka,
implikacja i wniosek są nieprecyzyjne:
Przesłanka:
Zmienne lingwistyczne:
zmienne, które przyjmują jako wartości słowa lub
zdania wypowiedziane w języku naturalnym.
(również wartości liczbowe).
Implikacja:
33
Prędkość samochodu jest duża
Implikacja:
Jeśli prędkość samochodu jest bardzo duża
→ poziom hałasu jest wysoki
Poziom hałasu jest średniowysoki
x jest A’
Implikacja:
Jeśli x jest A→ y jest B
y jest B’
Wniosek:
www.imio.polsl.pl
Przesłanka:
Prędkość samochodu jest duża
Implikacja:
Jeśli prędkość samochodu jest bardzo duża
→ poziom hałasu jest wysoki
Wniosek:
Poziom hałasu jest średniowysoki
Zmienne lingwistyczne:
Rozmyta reguła wnioskowania modus ponens :
Przesłanka:
Jeśli prędkość samochodu jest bardzo duża
→ poziom hałasu jest wysoki
Poziom hałasu jest średniowysoki
34
www.imio.polsl.pl
Przesłanka:
Wniosek:
Wniosek:
Prędkość samochodu jest duża
• x – prędkość samochodu
• y – poziom hałasu
Zbiór wartości zmiennych lingwistycznych:
• x: T1={„mała”, „średnia”, „duża”, „bardzo duża”}
• y: T2={„mały”, „średni”, „średniowysoki”, „wysoki”}
35
36
6
www.imio.polsl.pl
• Ponieważ A≠A’ - wniosek jest inny niż byłby
w przypadku reguły nierozmytej.
Do każdego elementu zbiorów T1 i T2 można
przyporządkować zbiór rozmyty o założonej przez nas
funkcji przynależności.
• Zbiór rozmyty B’ jest określony przez złożenie zbioru
rozmytego A’ oraz implikacji A⇒B:
Tu:
A – „prędkość samochodu jest bardzo duża”;
A’ – „prędkość samochodu jest duża”;
B – „poziom hałasu jest wysoki”;
B’ – „poziom hałasu jest średniowysoki”.
Rozmyta reguła wnioskowania modus tollens :
• Implikacja ma tą samą postać (A→B)
w regule rozmytej jak i w nierozmytej.
• W regule rozmytej jej przesłanka nie dotyczy zb.
rozmytego A lecz A’, który może być zbliżony do A,
ale niekoniecznie A=A’.
Wyznaczanie funkcji µA→B(x,y)
gdy µA(x) oraz µB(y) są znane:
www.imio.polsl.pl
Przesłanka:
y jest B’
Implikacja:
Jeśli x jest A→ y jest B
x jest A’
Wniosek:
37
38
www.imio.polsl.pl
www.imio.polsl.pl
1. Reguła Mamdaniego:
STEROWNIKI
ROZMYTE
2. Reguła Larsena:
3. Reguła Łukasiewicza:
4. Reguła Zadeha:
...
39
40
www.imio.polsl.pl
• Nie wymagają tworzenia modelu rozważanego procesu
(co często jest trudne);
• Należy jedynie sformułować zasady postępowania
w postaci rozmytych reguł (IF..THEN).
Np.: Schemat układu klimatyzacji:
STEROWNIK
ROZMYTY
pomieszczenie
czujnik
temperatury
czujnik
wilgotności
KLIMATYZATOR
– zmierzone wartości wejściowe;
– sygnał sterujący (intensywność chłodzenia).
41
www.imio.polsl.pl
Zastosowania praktyczne:
•
sprzęt AGD (pralki, lodówki, odkurzacze);
•
kamery (autofokus);
•
nadzór wentylacji w tunelach;
•
sterowanie światłami na wjeździe na autostradę;
•
klimatyzacja;
•
automatyka przemysłowa;
•
sterowanie robotów;
•
...
42
7
www.imio.polsl.pl
STEROWNIK ROZMYTY:
BAZA
REGUŁ
BLOK
ROZMYWANIA
BLOK
WNIOSKOWANIA
www.imio.polsl.pl
Np. Sterowanie ogrzewaniem:
BLOK
WYOSTRZANIA
Temperatura
Cena
ogrzewania
mróz
zimno
chłodno
tanio
mocno
mocno
średnio
średnio
mocno
średnio
słabo
drogo
średnio
słabo
wcale
Baza reguł (model lingwistyczny):
zbiór rozmytych reguł w postaci:
ROZMYWANIE (fuzzyfikacja)
43
44
www.imio.polsl.pl
www.imio.polsl.pl
• Przejście od pomiarów (konkretna wartość
) do
funkcji przynależności przez określenie stopni przynależności zmiennych lingwistycznych do każdego ze
zbiorów rozmytych.
• Temperatura: T =15°C
Np.: • Cena_ogrz: p =48zł/MBTU
1
µchłodno(T)=0.5
1
0.5
µtanio(p)=0.3
0.3
0
0
15°C
T
48zł/MBtu
p
Stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek:
1
µchłodno(T)
1
0.5
µtanio(p)
„poziom zapłonu reguły”
0.3
0
0
T
15°C
48zł/MBtu
p
45
www.imio.polsl.pl
WNIOSKOWANIE
www.imio.polsl.pl
AGREGACJA
Obliczanie stopnia prawdziwości wniosku:
Jeżeli więcej niż jedna reguła ma niezerowy poziom
zapłonu, wyniki (zbiory rozmyte) sumuje się.
• Wnioskowanie MIN:
1
46
µśrednio(h)
1
µcałe=0.3
µwniosku(h)
0
h
0
47
h
48
8
www.imio.polsl.pl
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)
www.imio.polsl.pl
Tu:
Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się
jedną z metod wyostrzania:
1
COG
Metoda pierwszego maksimum:
0
57°
h
Metoda środka maksimum:
Ai – powierzchnia zbioru i
µi – stopień przynależności do zbioru i
Metoda środka ciężkości (COG):
49
ci – środek ciężkości zbioru i.
www.imio.polsl.pl
50
www.imio.polsl.pl
• Baza reguł sterownika ma charakter rozmyty
tylko w części IF.
• W części THEN występują zależności funkcyjne.
STEROWNIKI
ROZMYTE
TAKAGI-SUGENO
Reguły Mamdaniego: wynikiem jest zbiór rozmyty B:
IF x1=A1 AND x2=A2 … xn=An THEN y = B
Reguły Takagi-Sugeno: wynikiem jest funkcja f (xi):
IF x1=A1 AND x2=A2 … xn=An THEN y = f (x1, x2,..xn)
Zwykle są to funkcje liniowe :
f (xi) = y = a0+a1x1+anxn
51
Np.: R(1): IF prędkość is niska THEN hamowanie = prędkość
52
www.imio.polsl.pl
R(2): IF prędkość is średnia THEN hamowanie = 4·prędkość
R(3): IF prędkość is wysoka THEN hamowanie = 8·prędkość
µ
niska
średnia
wysoka
0.8
0.3
0.1
2
R(1): w1 = 0.3; r1 = 2
R(2): w2 = 0.8; r2 = 4·2
R(3): w3 = 0.1; r3 = 8·2
Prędkość
Hamowanie =
53
9