58 Pojecie rozk ladu prawdopodobienstwa EX2 − (EX)2 + EY2 − (EY

58
Pojȩcie rozkladu prawdopodobieństwa
EX2 − (EX)2 + EY 2 − (EY)2 = var(X) + var(Y),
gdzie skorzystaliśmy z uwagi 3.3.3, co daje wlasność (1) twierdzenia.
Podobnie
var(aX) = E(aX)2 − (E(aX))2 = a2 EX2 − a2 (EX)2 ,
co daje (2).
Wreszcie, ponieważ wartość oczekiwana ze stalej jest ta̧ stala̧, mamy (3).
Przyklad 3.3.5 Weźmy rozklad z Przykladu 3.3.1, tzn. X ma rozklad dyskretny,
n
gdzie xn = n, pn = e−λ λn! dla danej liczby dodatniej λ i liczb calkowitych nieujemnych n. Jak wiemy, wtedy EX = λ. Obliczymy drugi moment dla tego rozkladu.
Ponieważ
2
EX =
∞
2 −λ λ
ne
n=0
−λ
e
∞
n=1
2λ
n
n
n!
n
n!
=e
−λ
= λe
−λ
∞
n2
n=0
∞
n=1
n
λn
=
n!
λn−1
=
(n − 1)!
Podstawiaja̧c m = n − 1 dostaniemy
−λ
λe
∞
∞
∞
λm
λm
λm
−λ
−λ
= λe
+ λe
=
(m + 1)
m
m!
m!
m!
m=0
m=0
m=0
λEX + λe−λ eλ = λ2 + λ.
Sta̧d
var(X) = λ2 + λ − λ2 = λ.