Analiza szeregów czasowych: 11. Wavelet denoising

Analiza szeregów czasowych:
11. Wavelet denoising
P. F. Góra
http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
semestr letni 2005/06
Widmo falkowe
Widmo mocy — jaka moc jest przesyłana przez mody harmoniczne o danych
cz˛estotliwościach. Jeśli sygnał jest niestacjonarny, nie da sie˛ tego policzyć przez
FFT (można policzyć tylko widmo zależne od czasu).
Dla falek da sie˛ to zrobić, o ile tylko zgodzimy sie˛ na “rozmycie” pojecia
˛
cz˛estotliwości. Zamiast o cz˛estotliwości, w przypadku falek lepiej mówić o poszczegól−1
s
nych skalach. Przypuśćmy, że mamy dany sygnał {xi}N
i=0 o długości N = 2 .
Niech Wi bed
˛ a˛ współczynnikami falkowymi porzadkowanymi
˛
w ten sposób, że
na każdym etapie algorytmu piramidowego składowe “szybkie” umieszczane sa˛
w dolnej cz˛eści (aktualnego) wektora wynikowego.
11. Wavelet denoising
2
1
v(τj ) = j−1
2
j −1
2X
Wi2
j = 1, 2, . . . , s.
(1)
i=2j−1
Mamy τj = 2τj+1, natomiast wartość τs zależy od przyjetej
˛
bazy falkowej —
jest to rozmiar nośnika najmniejszych falek. v(τj ) określa moc przekazywana˛
na skali o długości τj .
11. Wavelet denoising
3
Sygnał. . .
120
100
80
60
40
20
0
σ=9
-20
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
4
. . . i jego widmo falkowe liczone poprzez DAUB(4)
1e+006
100000
10000
1000
100
10
11. Wavelet denoising
22
24
26
28
210
5
Odszumianie sygnałów za pomoca˛ falek
Przewaga w stosunku do filtru Wienera: da sie˛ zastosować do sygnałów niestacjonarnych.
N −1
Przypuśćmy, że odbierany sygnał {xi}i=0
ma postać
xi = f (i) + σ ηi
(2)
gdzie f (i) jest składowa˛ “deterministyczna”,
˛ zaś ηi jest białym szumem gaussowskim, nieskorelowanym z sygnałem. Podobnie jak w przypadku filtru
Wienera, wycinamy te składowe, które sa˛ zdominowane przez szum. Ponieważ
˛
jako
szum jest gaussowski, możemy oszacować próg obciecia
q
δ=
11. Wavelet denoising
2 log2 N σ
(3)
6
Reguły kompresji
Niech współczynniki falkowe wynosza˛ Wi. Stosujemy jedna˛ z trzech reguł kompresji:
Hard rule:
g=
W
i

W
0
i
|Wi| > δ
|Wi| < δ
(4)
Współczynniki waveletowe moga˛ zmieniać sie˛ skokowo, co nie jest korzystne.
11. Wavelet denoising
7
Soft rule:

sgn(W ) (|W | − δ )
i
i
g=
W
i
0
|Wi| > δ
|Wi| < δ
(5)
To prowadzi do szkodliwego zmniejszenia dużych współczynników falkowych.
11. Wavelet denoising
8
Mid rule:



Wi
|Wi| > 2δ
g = 2 sgn(W ) (|W | − δ ) δ 6 |W | < 2δ
W
i
i
i
i



0
|Wi| < δ
(6)
Duże współczynniki nie sa˛ zmieniane, małe sa˛ zabijane, pośrednie sa˛ zmniejszane. Można też stosować bardziej skomplikowane reguły, w których zszycie jest gładkie.
Zauważmy, że w każdej z tych reguł pozostaje tyle samo niezerowych
g.
współczynników W
i
11. Wavelet denoising
9
Ilustracja reguł kompresji
3δ
2δ
δ
0
-δ
-2δ
soft
hard
mid
-3δ
-3δ
11. Wavelet denoising
-2δ
-δ
0
δ
2δ
3δ
10
Jak oszacować poziom szumu?
Na ogół nateżenie
˛
szumu, σ, nie jest znane. Jak je oszacować na podstawie
samego sygnału?
1. Biały szum jest szybkozmienny, zakładamy zatem, że bedzie
˛
dawał przyczynki przede wszystkim do najszybciej zmieniajacych
˛
sie˛ składowych.
2. Wobec tego szacujemy
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
1
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯
σ=
median{¯WN/2¯ , ¯WN/2+1¯ , ¯WN/2+2¯ , . . . , WN −1¯}
0.6745
11. Wavelet denoising
(7)
11
3. Kompresujac
˛ nigdy nie zmieniamy składowych W0 i W1, bo zawieraja˛ długoczasowa˛ informacje˛ o sygnale, w szczególności jego średnia.
˛ Podobnie jeśli
wykonujemy niepełna˛ transformate˛ waveletowa,
˛ nie zmieniamy pozostawionych
(nieprzetransformowanych) składowych wolnozmiennych — kompresujemy tylko
cz˛eść szybkozmienna˛ i dodajemy do wolnozmiennej.
11. Wavelet denoising
12
Zaszumiony sygnał
120
100
80
60
40
20
0
σ=9
-20
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
13
120
100
80
60
40
20
0
hard rule, 14 coefficients
6th order polynomial
clean signal
-20
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
14
120
100
80
60
40
20
0
mid rule, 14 coefficients
6th order polynomial
clean signal
-20
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
15
120
100
80
60
40
20
0
soft rule, 14 coefficients
6th order polynomial
clean signal
-20
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
16
Porównanie dopasowanych wielomianów
90
80
70
60
50
40
30
20
soft rule
mid rule
hard rule
clean signal
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Widoczne sa˛ efekty brzegowe!
11. Wavelet denoising
17
Zaszumiony sygnał “niewielomianowy”
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
σ = 0.5
-1.5
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
18
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
hard rule, 7 coefficients
6th order polynomial
clean signal
-1.5
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
19
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
mid rule, 7 coefficients
6th order polynomial
clean signal
-1.5
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
20
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
soft rule, 7 coefficients
6th order polynomial
clean signal
-1.5
0
11. Wavelet denoising
1
2
3
4
5
6
7
8
21
Porównanie dopasowanych wielomianów
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
soft rule
mid rule
hard rule
clean signal
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Dopasowanie niewielomianowe byłoby lepsze!
11. Wavelet denoising
22