Acta 8(3-4)2009.indb - Acta Scientiarum Polonorum Architectura

Architectura 8 (3–4) 2009, 21–31
OBLICZANIE PIERWSZEJ CZSTOCI DRGA
WASNYCH SUPÓW STALOWYCH O ZMIENNYM
PRZEKROJU POPRZECZNYM
CZ II. WYNIKI
Jacek Jaworski, Marta Boniecka, Marcin Nycz
Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie
Streszczenie. W pracy dla wybranych przykadów przedstawiono wyniki oblicze okresu
drga wasnych supów stalowych otrzymane ze wzorów wyprowadzonych w pierwszej
czci tego artykuu. Wyniki te dotycz supa w ksztacie stoka citego, szczególnego
przypadku wydronego stoka citego (rury stokowej) i citych ostrosupów prawidowych – penych i wydronych. Wyniki oblicze wasnych porównano z obliczeniami
wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-02011 i obliczeniami wykonanymi w programie
komputerowym ANSYS.
Sowa kluczowe: sup stalowy, okres drga wasnych, pierwsza czsto drga wasnych
WSTP
Do szacunkowego obliczenia obcie konstrukcji wiatrem wedug normy PN-77/
/B-02011 wymagane jest okrelenie okresu drga wasnych konstrukcji, zwizanego
z pierwsz czstoci drga. Dotyczy to midzy innymi stalowych supów, wie, kominów, które nale do konstrukcji podatnych na dynamiczne oddziaywanie porywów
wiatru.
W przypadku supów w ksztacie citego stoka lub citego ostrosupa prawidowego wygodn alternatyw wobec oblicze okresu drga, wedug zacznika 2 wyej
wymienionej normy, jest skorzystanie ze wzorów wyprowadzonych w pierwszej czci
tego artykuu [Jaworski i in. 2009].
Adres do korespondencji – Corresponding author: Jacek Jaworski, Szkoa Gówna Gospodarstwa
Wiejskiego w Warszawie, Wydzia Inynierii i Ksztatowania rodowiska, Katedra Budownictwa
i Geodezji, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: [email protected]
J. Jaworski, M. Boniecka, M. Nycz
22
METODYKA I ZAKRES OBLICZE
W celu pokazania moliwoci praktycznego zastosowania wzorów podanych
w pierwszej czci tej pracy porównano wyniki uzyskane z ich wykorzystaniem z wynikami oblicze wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-02011 i obliczeniami wykonanymi w programie komputerowym ANSYS.
Do porównania wyników oblicze okresu drga wasnych wybrano supy stalowe
o wysokoci H = 6 m, bdce konstrukcjami wspornikowymi utwierdzonymi w podstawie. rednica przy podstawie supów o ksztacie stoka wynosi Dk = 20 cm, rednica
przy wierzchoku jest zmienna (rys. 2). Dla supów o ksztacie stoka wydronego (rury
stokowej) rednica zewntrzna przy podstawie wynosi Dk = 20 cm, a rednice przy
wierzchoku i gruboci cianek s zmienne. W kadym z tych przypadków tworzce stoka zewntrznego i wewntrznego przecinaj si w jednym punkcie na osi stoka (rys. 1d).
Inaczej mówic, zachowana jest staa warto ilorazu gruboci cianki i rednicy:
gp
Dp
gk
Dk
gdzie: gp, Dp – grubo cianki i rednica zewntrzna przy wierzchoku supa [cm],
gk, Dk – grubo cianki i rednica zewntrzna przy podstawie supa [cm].
Dokadniej ksztaty tych supów pokazano na rysunkach 2 i 3b w pierwszej czci
tej pracy [Jaworski i in. 2009]. Dla stali przyjto: modu Younga E = 205 GPa i gsto
= 7850 kg·m–3.
Wyniki oblicze dla stoka citego i rury stokowej (dla przypadku szczególnego,
gdy tworzce stoka zewntrznego i wewntrznego przecinaj si w tym samym punkcie
na osi stoka) otrzymane ze wzorów (31), (32), (59), (60), wyprowadzonych w pierwszej
czci tego artykuu [Jaworski i in. 2009], porównano z wynikami otrzymanymi wedug
schematu 1 zacznika 2 normy PN-77/B-02011 – wzór (1) z pierwszej czci tej pracy i z
wynikami analizy modalnej wykonanej w pracujcym z wykorzystaniem MES programie
komputerowym ANSYS.
Dodatkowo porównano okres pierwszej postaci drga wasnych dla supów w ksztacie penego i wydronego stoka i penych i wydronych ostrosupów prawidowych
(trójktnego, czworoktnego i szecioktnego) – wedug wzorów (68)–(70) dla przekroju
kwadratowego (jak na rys. 4 z pierwszej czci tej pracy [Jaworski i in. 2009]) i analogicznie wyprowadzonych wzorów dla pozostaych przekrojów. Przekrój poprzeczny przy
podstawie supów by zrónicowany, przy czym uwzgldniono tu nastpujce przypadki:
wielokty foremne wpisane w okrg o rednicy Dk = 20 cm (rys. 1a), wielokty foremne
o polu równym polu koa o rednicy Dk = 20 cm (rys. 1b), wielokty foremne opisane na
okrgu o rednicy Dk = 20 cm (rys. 1c). Analogicznie, przekrój poprzeczny przy wierzchoku supów by wieloktem wpisanym, wieloktem o równym polu i wieloktem opisanym na okrgu o rednicy Dp.
Acta Sci. Pol.
Oblicznie pierwszej czstoci drga wasnych supów stalowych...
a
Rys. 1.
Fig. 1.
b
c
23
d
Zasada tworzenia przekrojów ostrosupów prawidowych porównywanych w tej pracy:
a – wielokty foremne wpisane w okrg o rednicy Dk = 20 cm, b – wielokty foremne
o polu równym polu koa o rednicy Dk = 20 cm, c – wielokty foremne opisane na okrgu o rednicy Dk = 20 cm, d – ksztat stoka i ostrosupa prawidowego wydronego;
Dk – rednica przy podstawie supa, Dp – rednica przy wierzchoku supa, gk – grubo
cianki przy podstawie supa, H – wysoko supa
Principle of generating of transversal sections for pyramids compared in this paper:
a – regular polygons inscribed of a circle with a diameter Dk = 20 cm, b – regular polygons with an area equal to area of a circle with a diameter Dk = 20 cm, c – regular polygons circumscribed about a circle with a diameter Dk = 20 cm, d – form of a frustum of
cone and tube shaped like a pyramid; Dk – diameter at column footing, Dp – diameter at
column head, gk – wall thickness at column footing, H – height
WYNIKI OBLICZE
Supy w ksztacie citego sto
ka
Wyniki oblicze pierwszej postaci okresu drga dla stalowych supów w ksztacie
citego stoka o rednicy przy podstawie Dk = 20 cm i rónych wartociach rednicy
przy wierzchoku (odpowiadajcych rónym zbienociom stoka) przedstawiono na rysunku 2. Na osi odcitych podano rednice przy wierzchoku (Dp), ale warto zauway,
e ten sam wykres mona przedstawi, przyjmujc na osi odcitych stosunek rednic
Dk
1 Dp
lub n . W tym ostatnim przypadku, jeli wartoci n uporzdkowa w skali
Dp
n Dk
liniowej lub logarytmicznej, to otrzymane zalenoci bd tworzyy krzywe o zupenie
innych ksztatach.
Analizujc uzyskan ze wzorów wyprowadzonych w pierwszej czci tej pracy [Jaworski i in. 2009] zaleno okresu drga (T) od rednicy (Dp), mona stwierdzi, e
jest ona funkcj cig. Dla duych zbienoci stoka (maych wartoci Dp) okres drga
gwatownie ronie wraz ze wzrostem Dp. Dla maych zbienoci stoka (duych wartoci
Dp) okres ronie w przyblieniu proporcjonalnie do Dp. Gdy warto Dp zblia si do
Dk = 20 cm, okres drga zblia si do wartoci obliczonej ze wzorów dla walca. Na wykresie zaznaczono te okres drga dla supa w ksztacie walca, obliczony zgodnie z rozwizaniem dla fali stojcej [np. Chmielewski i Zembaty 1998, Dylg i in. 2000]. Pokrywa
si on praktycznie z wynikiem z programu ANSYS (rónica nie przekracza 0,25%) i jest
o niecae 1,5% wikszy od wartoci okresu obliczonego przez autorów.
Architectura 8 (3–4) 2009
24
Rys. 2.
Fig. 2.
J. Jaworski, M. Boniecka, M. Nycz
Porównanie wyników oblicze okresu drga wasnych stalowego supa w ksztacie citego stoka o rónym stopniu nachylenia cianek: T – okres drga, Dk – rednica przy
podstawie supa, Dp – rednica przy wierzchoku supa, n – stosunek rednic, H – wysoko supa
Comparison of calculation results of natural period of steel columns in form of frustum
of cone with different inclination of generating line: T – period, Dk – diameter at column
footing, Dp – diameter at column head, n – diameters ratio, H – height
Krzywa wyznaczona wedug schematu 1 zacznika 2 do normy PN-77/B-02011 ma
w zakresie rednic Dp = 10–20 cm bardzo podobny ksztat i wartoci bardzo bliskie wynikom z rozwizania autorów, ale wyranie odbiega od wyników oblicze wasnych dla
duych zbienoci stoka (maych rednic Dp). Ksztat tej linii jest zbliony do prostej a
do Dp = 0 (czyli w caym zakresie zbienoci – od walca do stoka).
Krzywa wyznaczona przy uyciu programu ANSYS dla maych zbienoci citego
stoka (w zakresie rednic Dp = 10–20 cm) do dobrze odpowiada dwóm pozostaym
krzywym, a dla duych zbienoci stoka jej przebieg jest bliszy krzywej obliczonej
wedug normy PN-77/B-02011.
Supy w ksztacie rury sto
kowej – przypadek szczególny, gdy L = l
Wyniki oblicze wasnych, oblicze wedug normy PN-77/B-02011 i oblicze
w programie ANSYS dla stoka wydronego i ostrosupów prawidowych wydronych
porównano na rysunku 3. Uwzgldniono cztery gruboci cianek. Im mniejsza grubo
cianki, tym mniejsza warto okresu drga. Widoczna jest dua zbieno wyników
wszystkich trzech wykresów dla duych i rednich wartoci Dp, natomiast dla maych
wartoci Dp okres drga obliczony za pomoc wzorów wyprowadzonych w tej pracy
jest mniejszy. Ogólny charakter zalenoci okresu drga od stopnia nachylenia tworzcej
stoka zewntrznego (rednicy przy wierzchoku Dp) jest dla supa w ksztacie rury stokowej podobny jak przy supie w ksztacie citego stoka (rys. 2).
Acta Sci. Pol.
Oblicznie pierwszej czstoci drga wasnych supów stalowych...
Rys. 3.
Fig. 3.
25
Porównanie wyników oblicze okresu drga wasnych stalowego supa w ksztacie wydronego citego stoka (rury stokowej) i o rónym stopniu nachylenia i rónych grubociach cianek: T – okres drga, Dk – rednica przy podstawie supa, Dp – rednica przy
wierzchoku supa, gk – grubo cianki przy podstawie supa, H – wysoko supa
Comparison of calculation results of natural period of steel columns in form of tube
shaped like a cone with different inclination of generating lines and different wall thicknesses: T – period, Dk – diameter at column footing, Dp – diameter at column head, gk
– wall thickness at column footing, H – height
Niewielka rónica midzy wynikami oblicze wasnych i wedug normy PN-77/B-02011 dla Dp = 20 cm bierze si std, e w schemacie 1 zacznika 2 do normy podano,
eby dla walca przyjmowa K = 1,79 (i tak obliczone wyniki zamieszczono na rysunku 3),
warto za tego wspóczynnika odczytana z wykresu wynosi okoo 1,8, a obliczona
z podanych w normie wzorów K = 1,774.
Porównanie uzyskanych wyników wasnych z wynikami z programu ANSYS ukazuje
sytuacj podobn do opisanej w przypadku supów o ksztacie penego stoka citego. Dla supa w ksztacie rury walcowej wyniki wykazuj du zgodno. Dla stoków
o maej zbienoci cianki bocznej (w zakresie rednic Dp > 10 cm) wykresy maj podobny charakter, a rónice wynosz od 1% (dla Dp = 20 cm) do 10% (dla Dp = 10 cm).
Dla wikszych któw nachylenia tworzcej stoka do jego osi (dla rednic Dp < 10 cm)
krzywe maj róny ksztat, a wartoci okresu drga s, wraz ze zmniejszaniem si rednicy Dp, coraz bardziej odlege od siebie.
Supy w ksztacie ostrosupów citych prawidowych
Wyniki oblicze okresu drga wasnych supów w ksztacie citego stoka i w
ksztacie ostrosupów prawidowych o podstawie trójktnej, czworoktnej i szecioktnej porównano na rysunkach 4, 5 i 6. Rysunek 4 dotyczy supów penych, rysunki 5 i 6
supów wydronych. Grubo cianki przy podstawie (okrelona jak na rys. 1d) wynosi dla supów na rysunku 5: gk = 5 cm, a na rysunku 6: gk = 1,25 cm. Rysunki 4a, 5a
i 6a dotycz ostrosupów o podstawach, bdcych wieloktami foremnymi wpisanymi
Architectura 8 (3–4) 2009
J. Jaworski, M. Boniecka, M. Nycz
26
a
T [s]
0,35
0,30
0,25
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,20
0,15
Dp [cm]
0,10
0
b
5
10
15
20
T [s]
0,25
0,23
0,20
0,18
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,15
0,13
Dp [cm]
0,10
0
c
5
10
15
20
T [s]
0,25
0,20
0,15
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,10
Dp [cm]
0,05
0
Rys. 4.
Fig. 4.
5
10
15
20
Okresy drga supów w ksztacie citego stoka i citych ostrosupów prawidowych
o podstawie trójktnej, kwadratowej i szecioktnej: a – wielokty wpisane w okrg
o rednicy Dk = 20 cm, b – wielokty o polu równym polu koa o rednicy Dk = 20 cm,
c – wielokty opisane na okrgu o rednicy Dk = 20 cm; T – okres drga, Dp – rednica
przy wierzchoku supa
Natural periods for columns shaped like frustum of cone and frustum of pyramid with
triangle, square and hexagon basis: a – regular polygons inscribed of a circle with a diameter Dk = 20 cm, b – regular polygons with an area equal to area of a circle with a diameter Dk = 20 cm, c – regular polygons circumscribed about a circle with a diameter Dk =
20 cm; T – period, Dp – diameter at column head
Acta Sci. Pol.
Oblicznie pierwszej czstoci drga wasnych supów stalowych...
a
27
T [s]
0,35
0,30
0,25
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,20
0,15
0,10
0
b
5
10
15
20
Dp [cm]
T [s]
0,23
0,20
0,18
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,15
0,13
Dp [cm]
0,10
0
c
5
10
15
20
T [s]
0,25
0,20
0,15
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,10
Dp [cm]
0,05
0
Rys. 5.
Fig. 5.
5
10
15
20
Okresy drga supów w ksztacie wydronego citego stoka i wydronych ostrosupów prawidowych o podstawie trójktnej, kwadratowej i szecioktnej dla gk = 5 cm:
a – wielokty wpisane w okrg o rednicy Dk = 20 cm, b – wielokty o polu równym
polu koa o rednicy Dk = 20 cm, c – wielokty opisane na okrgu o rednicy Dk = 20 cm;
T – okres drga, Dp – rednica przy wierzchoku supa, gk – grubo cianki przy podstawie supa
Natural periods for columns shaped like tubes in form of cone and of pyramid with triangle, square and hexagon basis for gk = 5 cm: a – polygons inscribed of a circle with a
diameter Dk = 20 cm, b – polygons with an area equal to area of a circle with a diameter
Dk = 20 cm, c – polygons circumscribed about a circle with a diameter Dk = 20 cm;
T – period, Dp – diameter at column head, gk – wall thickness at column footing
Architectura 8 (3–4) 2009
J. Jaworski, M. Boniecka, M. Nycz
28
a
T [s]
0,28
0,25
0,23
0,20
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,18
0,15
0,13
Dp [cm]
0,10
0
b
5
10
15
20
T [s]
0,190
0,165
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,140
0,115
Dp [cm]
0,090
0
c
5
10
15
20
T [s]
0,200
0,175
0,150
0,125
koo
circle
szeciokt
hexagon
czworokt
square
trójkt
triangle
0,100
0,075
Dp [cm]
0,050
0
Rys. 6.
Fig. 6.
5
10
15
20
Okresy drga supów w ksztacie wydronego citego stoka i wydronych ostrosupów prawidowych o podstawie trójktnej, kwadratowej i szecioktnej dla gk = 1,25
cm: a – wielokty wpisane w okrg o rednicy Dk = 20 cm, b – wielokty o polu równym
polu koa o rednicy Dk = 20 cm, c – wielokty opisane na okrgu o rednicy Dk = 20 cm;
T – okres drga, Dp – rednica przy wierzchoku supa, gk – grubo cianki przy podstawie supa
Natural periods for columns shaped like tubes in form of cone and of pyramid with triangle, square and hexagon basis for gk = 1,25 cm: a – polygons inscribed of a circle with a
diameter Dk = 20 cm, b – polygons with an area equal to area of a circle with a diameter
Dk = 20 cm, c – polygons circumscribed about a circle with a diameter Dk = 20 cm;
T – period, Dp – diameter at column head, gk – wall thickness at column footing
Acta Sci. Pol.
Oblicznie pierwszej czstoci drga wasnych supów stalowych...
29
w okrg rednicy Dk = 20 cm, jak pokazano na rysunku 1a. Rysunki 4b, 5b i 6b dotycz
ostrosupów o podstawach, bdcych wieloktami foremnymi o polu równym polu koa
o rednicy Dk = 20 cm, jak pokazano na rysunku 1b. Rysunki 4c, 5c i 6c dotycz ostrosupów o podstawach, bdcych wieloktami foremnymi opisanymi na okrgu o rednicy
Dk = 20 cm, jak pokazano na rysunku 1c. Przekroje poprzeczne przy wierzchokach supów byy, podobnie jak w przypadku podstawy supów, wieloktami wpisanymi, wieloktami o równym polu i wieloktami opisanymi na okrgu o rednicy Dp.
Dla wszystkich badanych ksztatów supów zaleno okresu drga od zbienoci
cianek bocznych ma podobny charakter. Im wiksza zbieno cianek, tym mniejsza
rednica przekroju supa przy jego wierzchoku. Okres drga na rysunkach 4, 5 i 6 podano w zalenoci od rednicy Dp. Dla rednic Dp > 10 cm zaleno jest zbliona do
prostej, dla Dp < 10 cm – przechodzi w krzywoliniow. Z rysunków 5 i 6 widoczna jest
tendencja, e – podobnie jak na rysunku 3 – im ciesze s cianki supa wydronego,
tym mniejsza jest warto okresu drga.
Porównujc supy o przekroju poprzecznym koowym i w ksztacie wieloktów o tym
samym polu powierzchni (rys. 4b, 5b i 6b) widzimy, e najmniejsza warto okresu drga
wystpuje dla supów trójktnych, a midzy pozostaymi przypadkami rónice s bardzo
niewielkie. Dla wieloktów wpisanych w okrg i opisanych na okrgu (rys. 4a, c, 5a, c
i 6a, c) wystpuj natomiast wyrane rónice wyników w zalenoci od liczby boków
wielokta. Doda jeszcze trzeba, e przypadek trójkta wpisanego w okrg o rednicy
Dk = 20 cm i gruboci cianki gk = 5 cm oznacza w rzeczywistoci sup peny.
WNIOSKI
Z przeprowadzonych w pracy rozwaa i z porównania wyników oblicze wynikaj
nastpujce wnioski:
1. Wyprowadzone w pierwszej czci tej pracy [Jaworski i in. 2009] wzory na obliczenie okresu (lub pierwszej czstoci) drga wasnych supów pozwalaj na wykonanie
oblicze dla supów w ksztacie stoka citego penego i wydronego (w szczególnym
przypadku, gdy L = l, czyli gdy tworzce stoka wewntrznego i zewntrznego przecinaj
si w jednym punkcie na osi stoka) oraz penych i wydronych citych ostrosupów
prawidowych.
2. Z analizy modalnej wykonanej w programie ANSYS wynika, e w zakresie badanych ksztatów supa wyznaczony przez program ksztat osi supa przy pierwszej postaci
drga nie odbiega znacznie od przyjtej przy wyprowadzaniu wzorów linii ugicia supa
pod statycznym dziaaniem poziomej siy przyoonej do jego wierzchoka.
3. Dla supów o staym przekroju (w ksztacie walca, rury, graniastosupa prawidowego penego i wydronego) otrzymano du zbieno wyników oblicze wasnych,
oblicze wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-0201, oblicze w programie ANSYS
i rozwizania dla fali stojcej.
4. Dla supów o zmiennym przekroju, w ksztacie citego stoka:
– w zakresie niewielkich zbienoci stoka, gdy Dp jest wiksze od 10 cm (co od1 Dp
0,5 i ktowi nachylenia tworzcej do osi stoka
powiada stosunkowi rednic n Dk
Architectura 8 (3–4) 2009
30
J. Jaworski, M. Boniecka, M. Nycz
< 0,95°) wyniki oblicze wasnych i wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-0201 oraz
wyniki z programu ANSYS cechuj si znaczn zbienoci,
– w zakresie wikszych zbienoci stoka, gdy Dp jest mniejsze od 10 cm (co odpo1 Dp
wiada stosunkowi rednic 0,5 i ktowi nachylenia tworzcej do osi stoka >
n Dk
0,95°) obliczenia wykonane z uyciem wzorów wyprowadzonych w tej pracy prowadz
do mniejszych okresów drga; rónica ta jest tym wyraniejsza, im bardziej warto Dp
zblia si do zera.
5. Podobn zaleno midzy wynikami oblicze wasnych, wedug PN-77/B-02011
i w programie ANSYS zaobserwowano take w pozostaych badanych przypadkach, to
jest dla supów w ksztacie stoka wydronego, czyli rury stokowej, i w ksztacie citych ostrosupów prawidowych penych i wydronych.
6. Zbieno cian bocznych citego stoka wydronego lub ostrosupa prawidowego (zarówno penego, jak i wydronego) ma istotny wpyw na czsto drga supa.
Im wiksza zbieno, tym mniejsza warto okresu drga. Doda tu naley, e wszystkie
badane w tej pracy supy charakteryzoway si ma zbienoci cian bocznych, kt nachylenia tworzcej do osi stoka lub ostrosupa by zawsze mniejszy od 2°.
7. Uzyskane wykresy pozwalaj na okrelenie wpywu na okres drga rónych elementów ksztatu supa, takich jak zbieno cianek stoka lub ostrosupa, grubo cianek czy ksztat wielokta tworzcego przekrój poprzeczny supa.
8. Podany w pracy sposób obliczania pierwszej czstoci drga wasnych nadaje si
do zastosowania dla konstrukcji o cigym rozkadzie mas, dla których zaleno momentu bezwadnoci przekroju od wysokoci jest opisana funkcj cig. W wikszoci
przypadków konstrukcji wieowych wystpuj jednak masy skupione i wtedy obliczenia
trzeba prowadzi, dzielc konstrukcj na skoczon liczb elementów. Dotyczy to take
stalowych wie kratowych o zbienych liniowo krawnikach o staym przekroju [Jaworski i Zadrony 2008], w których mona w uproszczeniu przyj, e warto momentu
bezwadnoci trzonu wiey jest proporcjonalna do kwadratu wysokoci.
Podzikowanie
Autorzy skadaj serdeczne podzikowanie dr. Janowi Grudziskiemu za wykonanie
oblicze w programie komputerowym ANSYS.
PIMIENNICTWO
Chmielewski T., Zembaty Z., 1998. Podstawy dynamiki budowli. Arkady, Warszawa.
Dylg Z., Jakubowicz A., Oro Z., 2000. Wytrzymao materiaów. T. 2. WNT, Warszawa.
Jaworski J., Zadrony M., 2008. Obliczanie pierwszej czstoci drga wasnych wie kratowych
o zbienych liniowo krawnikach. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 7 (1),
3–17.
Jaworski J., Boniecka M., Nycz M., 2009. Obliczanie pierwszej czstoci drga wasnych supów
stalowych o zmiennym przekroju poprzecznym. Cz I. Wyprowadzenie wzorów. Acta
Scientiarum Polonorum, Architectura 8 (1–2), 3–20.
PN-77/B-02011 Obcienia w obliczeniach statycznych. Obcienia wiatrem.
Acta Sci. Pol.
Oblicznie pierwszej czstoci drga wasnych supów stalowych...
31
CALCULATION OF FIRST NATURAL FREQUENCY OF STEEL COLUMNS
WITH VARIABLE CROSS-SECTIONS PART II. RESULTS
Abstract. Results of calculations of the natural period of steel columns, determined using formulas developed in the rst part of this paper, are presented for selected examples.
Results concern columns in form of frustum of cone, special case of a tube shaped like a
cone and frustum of regular pyramid. Results of calculations were compared with calculations according to the PN-77/B-02011 standard and calculations by the computer program
ANSYS.
Key words: steel column, post, natural period, rst natural frequency
Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 21.12.2009
Architectura 8 (3–4) 2009