Matematyka (Zarządzanie) Lista 6

Matematyka (Zarządzanie)
Lista 6 - Rachunek całkowy
1. Oblicz podane całki nieoznaczone:
a)
R
d)
R
g)
R√
j)
R
5x2 − 6x + 3 −
x
(x2 +4)6
2
x
+
5
x4
dx,
dx,
3x + 1dx,
ex
dx,
2ex +1
R
x2 ex dx,
R√
o)
x ln xdx,
R sin ln x
r)
dx,
x2
R x−3
u) x2 −6x+5
dx,
R 3 2 +8x−2
dx,
x) 6x −7x
2x−3x2
ł)
√
√
x 3 x+ 4 x
dx,
x2
c)
R
2x
dx,
x2 +5
3x
√
dx,
3
2x4 −7
f)
R
arctan x
dx,
1+x2
R
5x sin (3x2 − 8) dx,
i)
R
cos x · esin x dx,
k)
R
(ln x)2
dx,
x
l)
R
1
dx,
2 cos2 (3x)
m)
R
x cos xdx,
n)
R
ex sin xdx,
p)
R
x3 (ln x)2 dx,
q)
R
arctan xdx,
s)
R
t)
R
(ln x)2
√
dx,
x
v)
R
3x−4
dx,
x2 −x−6
w)
R
y)
R
4
dx,
x2 +2x+8
z)
R
b)
R
e)
R
h)
3
2
xex (x2 + 1) dx,
x2 −5x+9
dx,
x2 +5x+6
x2
dx.
x2 +2x+5
2. Obliczyć podane całki oznaczone:
a)
d)
−2
R
1
x2 +2x+1
−3
π/4
R
0
1
R
dx,
b)
R2
e)
R4
1
sin 2x
dx,
cos3 x
0
Rπ
x2 +1
√
dx,
3 3
x +3x+1
c)
0
1√
dx,
1+ x
f)
h) x2 cos xdx,
g) x arctan xdx,
0
π/2
R
i)
√ cos x dx,
1+sin x
Re ln x
1
R1
x
dx,
xe2x dx.
−1
0
3. Obliczyć wartość średnią funkcji na podanym przedziale:
a) f (x) = x2 ,
c) f (x) = ln x,
e) f (x) = sin3 x,
I = [0, 2],
b) f (x) = sin x,
d) f (x) = ex ,
I = [1, e],
I = [0, π],
f) f (x) =
x
,
1+x2
I = [0, π],
I = [−2, 2],
I = [0, 2].
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = x2 i prostą 2x − y + 3 = 0.
1
5. Obliczyć pole wspólnego obszaru ograniczonego parabolami y = x2 , y =
prostą y = 3x.
6. Obliczyć długość łuku krzywej y = ln sin x w przedziale
1 2
x
2
i
1
1
π,
π
.
3
2
7. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox
krzywej 3y − x2 = 0, 0 ≤ x ≤ 1, wraz z rzędną końcową w punkcie x = 1.
8. Obliczyć podane całki niewłaściwe:
√
R1 1
R2/3 x
√
√
a) 3 x dx,
b)
dx,
4−9x4
d)
0
+∞
R
−∞
1
dx,
1+x2
e)
0
+∞
R
4
1
dx,
(x−3)2
c)
f)
π/2
R
0
+∞
R
1
tan xdx,
1 x1
e dx.
x2
9. Wyznaczyć ekstrema lokalne oraz punkty przegięcia wykresu funkcji określonej
wzorem
Zx
f (x) =
t2 − 3t + 2 dt.
0
2