Laureaci nagród

Wiad. Mat. 45 (1) 2009, 87–105
c 2009 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Laureaci nagród
Grzegorz Świątek
laureat nagrody im. Stefana Banacha
W roku 2008 Grzegorz Świątek otrzymał nagrodę im. Stefana Banacha za prace dotyczące badania iteracji funkcji jednej zmiennej rzeczywistej lub
zespolonej, które ukazały się w latach 2004–2005.
Prace te można podzielić na dwie grupy. Pierwszą stanowią artykuły wspólne z J. Graczykiem
i D. Sandsem: Decay of geometry for unimodal
maps: negative Schwarzian case [3] oraz Metric attractors for smooth unimodal maps [1], opublikowane w Annals of Mathematics. Dotyczą one klasyfikacji dynamicznej gładkich przekształceń
unimodalnych odcinka. Druga, to prace napisane z G. Levinem: Dynamics and universality of unimodal mappings with infinite criticality [4]
i Hausdorff dimension of Julia sets of Feigenbaum polynomials of high
criticality [2] z teorii renormalizacji.
Przekształcenie unimodalne to takie, które przekształca pewien odcinek w siebie i ma w jego wnętrzu dokładnie jedno ekstremum lokalne (punkt krytyczny). Teoria takich przekształceń zaczęła się rozwijać
intensywnie od lat siedemdziesiątych zeszłego stulecia. Wielu autorów
zwracało uwagę na wysoce nietrywialne aspekty ich dynamiki topologicznej. Dalszym istotnym krokiem było wyjście poza zagadnienia czysto topologiczne i zadawanie pytań dotyczących na przykład istnienia
miar niezmienniczych. Odpowiedź na te pytania wymagała już użycia
metod opartych na różniczkowalności przekształcenia. W tamtym czasie jedynym znanym rezultatem tego typu było istnienie takiej miary
dla wielomianów Czebyszewa, udowodnione przez Ulama i von Neumanna. Zwróćmy tu uwagę, że teoria hiperboliczna, dobrze już rozwinięta w latach siedemdziesiątych, nie może tu być użyta wprost, ponieważ jej zastosowanie wymaga jakiejś formy jednostajnego rozciągania (moduł pochodnej powinien być większy niż 1), co jest trudne do
88
Laureaci nagród
uzyskania w obliczu istnienia punktu krytycznego, w którym pochodna jest 0. Z tego względu dynamika gładka przekształceń unimodalnych dla dalszego rozwoju wymagała nowych metod, o czym jeszcze
wspomnimy.
W latach osiemdziesiątych nastąpił burzliwy rozwój powyższej teorii i rozwiązanie wielu problemów. W szczególności, udało się sklasyfikować i zrozumieć możliwe typy dynamiki, pozostało jednak pytanie
o „dziwne atraktory”. Jeden z przypadków dynamiki, określany jako
topologicznie tranzytywny, polega na tym, że orbita punktu typowego
w sensie topologicznym jest gęsta w całej przestrzeni fazowej (w naszym
przypadku chodzi o odcinek pomiędzy drugim i pierwszym obrazem
punktu krytycznego). Typowy w sensie topologicznym oznacza tu każdy punkt z pewnego zbioru gęstego będącego przecięciem przeliczalnie
wielu zbiorów otwartych, zgodnie z teorią kategorii Baire’a. Pytanie polega na tym, czy to samo można powiedzieć o trajektorii prawie każdego
punktu w sensie metrycznym, tj. każdego spoza pewnego zbioru miary
Lebesgue’a zero.
Odpowiedź na to pytanie poznano w latach dziewięćdziesiątych.
Okazuje się, że dla przekształceń będących wielomianami kwadratowymi typowe zachowanie metryczne i topologiczne jest takie samo [16], ale
z drugiej strony, dla wielomianu dostatecznie wysokiego stopnia, nadal
będącego przekształceniem unimodalnym, tranzytywność topologiczna
może współistnieć z sytuacją, w której orbity ze zbioru pełnej miary
Lebesgue’a dążą do pewnego zbioru Cantora, a więc nie mogą być gęste w jakimkolwiek odcinku [5]. Subtelny charakter tej odpowiedzi od
razu wyjaśnia, dlaczego pytanie było tak trudne, nie jest bowiem łatwo
o metody, które rozróżniają rząd punktu krytycznego. Użyte narzędzia
sprowadzały problem do dynamiki wielomianu w płaszczyźnie zespolonej. Z tego względu uogólnienie rezultatu z pracy [16] na przypadek
przekształceń gładkich z punktem krytycznym rzędu 2 okazało się trudne techniczne i pracom z lat dziewięćdziesiątych podejmującym się tego
zadania wytknięto później istotne nieścisłości. Graczyk, Sands i Świątek
w swoich pracach w Annals of Mathematics powrócili do tego problemu
oraz do problemów pokrewnych, zamykając, jak się wydaje, problem
klasyfikacji dynamicznej przekształceń unimodalnych klasy C 3 . Prace te
opierają się częściowo na dość zaawansowanym aparacie analitycznym,
pozwalającym przybliżać przekształcenia gładkie przez analityczne, częściowo zaś na pomyśle uzyskania ważnej technicznie własności ujemnej
pochodnej Schwarza poprzez analityczną zmianę układu współrzędnych.
Laureaci nagród
89
Przejdziemy teraz do zarysowania problemów z teorii renormalizacji,
których dotyczyły pozostałe prace Świątka przedstawione do nagrody.
Dla jednoparametrowych rodzin przekształceń unimodalnych, takich jak fa (x) = ax(1 − x), gdy zwiększamy parametr a, obserwujemy
tak zwaną kaskadę podwojenia okresu; pojawiają się mianowicie orbity
okresowe przyciągające okresu 1, 2, 4, 8, itd. Zjawisko to znane już
było z prac Metropolisa i Steinów [18, 19]. W roku 1978, M. Feigenbaum [7] w USA, a Ch. Tresser i P. Coullet [21] we Francji, postanowili zbadać je z punktu widzenia ilościowego, za pomocą komputerów.
Okazało się, że odległości w przestrzeni parametrów między kolejnymi
podwojeniami okresu tworzą ciąg praktycznie geometryczny. Podobnie,
dla odpowiednich wartości parametru odległości orbity okresowej od
punktu krytycznego również zachowywały się jak ciąg geometryczny.
Co więcej, dalsze badania wykazały, że ilorazy dla tych ciągów geometrycznych wydają się być w zasadzie niezależne od wyjściowej rodziny
przekształceń, a zależą jedynie od rzędu punktu krytycznego. Zjawisko
to nazwano uniwersalnością Feigenbauma. Na zrozumienie tego zjawiska
został skierowany ogromny wysiłek wielu znakomitych matematyków.
We wczesnych latach osiemdziesiątych O. Lanford [15] podał dowód
oparty na oszacowaniach możliwych do ścisłego sprawdzenia jedynie
przy użyciu komputera. Jednak niektórzy matematycy nie uważają dowodów opartych na wykorzystaniu komputera za ścisłe w tym samym
sensie, co dowody tradycyjne. Ponadto, co chyba ważniejsze, szukano
nadal lepszego zrozumienia natury uniwersalności.
Taki „koncepcyjny” dowód został podany przez C. McMullena [17]
w roku 1994; w cztery lata później praca ta była cytowana przy przyznaniu McMullenowi medalu Fieldsa. Wcześniej jednak J.-P. Eckmann
i P. Wittwer [6] posunęli badanie uniwersalności Feigenbauma o krok
dalej. Skoro dla każdego rzędu punktu krytycznego otrzymujemy uniwersalną stałą Feigenbauma, to co dzieje się, gdy rząd dąży do nieskończoności? Okazało się, że przy odpowiednich normalizacjach stałe
Feigenbauma dążą do granicy, a co więcej same przekształcenia Feigenbauma dla rosnących rzędów też dążą do pewnej granicy. Jest ona klasy
C ∞ , ale nie jest analityczna, gdyż w punkcie krytycznym wszystkie pochodne znikają. Eckmann i Wittwer podali dowód tej własności przy
użyciu komputera.
Mogło by się wydawać, że tego typu problemy są nieco egzotyczne; przypomnijmy sobie jednak rezultat Bruina, Kellera, Nowickiego
i van Striena [5] dla przekształceń unimodalnych dostatecznie wysokie-
90
Laureaci nagród
go stopnia. W istocie, można to przestawić jako badanie granic wielomianów unimodalnych przy rzędzie punktu krytycznego dążącym do
nieskończoności. Zjawisko to występuje jeszcze wyraźniej w ambitnym
programie van Striena i Nowickiego zmierzającym do znalezienia wielomianu ze zbiorem Julii o dodatniej mierze Lebesgue’a (z przyczyn
ogólnych zbiór Julii wielomianu musi być nigdziegęsty).
Taka właśnie była motywacja prac Levina i Świątka. Początkowo podali oni dowód istnienia granicy Eckmanna i Wittwera zaadaptowanymi
metodami McMullena. Wymagało to rozwiązania szeregu problemów
technicznych związanych z brakiem analityczności granicy w punkcie
krytycznym. Ważnym efektem dowodu była konstrukcja wysoce nietrywialnej dynamiki zespolonej przekształcenia granicznego, mającego
istotną osobliwość w punkcie krytycznym. Z kolei własności tej granicznej dynamiki zostały użyte do uzyskania asymptotycznych oszacowań
na miarę i wymiar Hausdorffa zbiorów Julii wielomianów o dynamice
Feigenbauma i stopniu dążącym do nieskończoności.
Wspomnijmy teraz o innych osiągnięciach Grzegorza Świątka. Jest
on szeroko znanym badaczem zagadnień z pogranicza rzeczywistej i zespolonej teorii układów dynamicznych. Będąc jeszcze studentem, napisał wysokiej klasy, zaawansowaną technicznie pracę [20] o rodzinach
gładkich homeomorfizmów okręgu z punktem krytycznym. Wyniki tej
pracy obalały wcześniejsze hipotezy wysunięte na podstawie eksperymentów komputerowych. Zagadnienie to próbowało niezależnie rozwiązać kilku matematyków, zauważając, że użyteczne będą metody oparte na dwustosunkach punktów. Wśród sześciu możliwych wersji dwustosunków Świątek znalazł jedyną, której użycie gwarantowało sukces.
Bodajże najciekawszą konsekwencją tej pracy było wykazanie, że dla
pewnych liczb obrotu rozpatrywane przekształcenia są quasisymetrycznie sprzężone z obrotami. Rezultat ten został prawie natychmiast wykorzystany przez M. Hermana [13] do uzyskania głębokiego rezultatu
o dyskach Siegela.
Od tego momentu kariera Świątka potoczyła się błyskawicznie. Po
4 latach studiów uzyskał tytuł magistra, wykorzystując na cele pracy
magisterskiej inne wyniki, z pogranicza informatyki. Natomiast praca
o przekształceniach okręgu została przez niego przedstawiona jako praca
doktorska rok później.
W roku 1988 Świątek wyjechał do USA, gdzie spotkał szereg wybitnych specjalistów, m.in. D. Sullivana i J. Milnora. We wczesnych latach
dziewięćdziesiątych pracował nad rzeczywistą hipotezą Fatou. Hipote-
Laureaci nagród
91
za Fatou, sformułowana początkowo dla przekształceń wymiernych sfery Riemanna głosi, że poprzez dowolnie małą zmianę współczynników,
każde takie przekształcenie można sprowadzić do dobrze zrozumiałego
przypadku hiperbolicznego polegającego na tym, że orbity wszystkich
punktów krytycznych dążą do punktów okresowych przyciągających.
W przypadku wielomianów rzeczywistych kwadratowych, hipoteza Fatou głosi to samo, z tym, że dopuszczamy tylko rzeczywiste zaburzenia współczynników. Dowód rzeczywistej hipotezy Fatou został podany
przez Graczyka i Świątka [10, 11] w roku 1997.
Dowód rzeczywistej hipotezy Fatou wymaga metod zarówno rzeczywistej, jak i zespolonej teorii iteracji. Zatarcie tej granicy jest charakterystyczne dla nowoczesnych badań w obu dziedzinach. W tym też kierunku poszły dalsze badania Świątka. Oprócz prac już wspominanych,
warto wymienić jego badania nad geometrią i typowymi własnościami
przekształceń z brzegu zbioru Mandelbrota [9] i funkcji meromorficznych [8, 14] oraz dyskami Siegela [12].
W roku 1998 Świątka zaproszono do wygłoszenia 45-minutowego
wykładu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Berlinie.
Od 1994 roku zajmuje on stanowisko profesora na Pennsylvania State
University, a od niedawna także na Politechnice Warszawskiej.
Janina Kotus (Warszawa)
Michał Misiurewicz (Indianapolis)
Lista nagrodzonych publikacji
[1] Metric attractors for smooth unimodal maps, Ann. of Math. 159 (2004),
no. 2, 725–740 (współautorzy: J. Graczyk, D. Sands).
[2] Hausdorff dimension of Julia sets of Feigenbaum polynomials with high
criticality, Comm. Math. Phys. 258 (2005), no. 1, 135–148 (współautor: G.
Levin).
[3] Decay of geometry for unimodal maps: negative Schwarzian case, Ann. of
Math. 161 (2005), no. 2, 613–677 (współautorzy: J. Graczyk, D. Sands).
[4] Dynamics and universality of unimodal mappings with infinite criticality,
Comm. Math. Phys. 258 (2005), no. 1, 103–133 (współautor: G. Levin).
Pozostałe cytowane prace
[5] H. Bruin, G. Keller, T. Nowicki, S. van Strien, Wild Cantor attractors
exist, Ann. of Math. 143 (1996), no. 1, 97–130.
[6] J.-P. Eckmann, P. Wittwer, Sur un cas limite de l’équation de
Cvitanović-Feigenbaum, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 299 (1984),
no. 4, 113–115.
92
Laureaci nagród
[7] M. J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 19 (1978), no. 1, 25–52.
[8] J. Graczyk, J. Kotus, G. Świątek, Non-recurrent meromorphic functions,
Fund. Math. 182 (2004), no. 3, 269–281.
[9] J. Graczyk, G. Świątek, Harmonic measure and expansion on the boundary of the connectedness locus, Invent. Math. 142 (2000), no. 3, 605–629.
[10] J. Graczyk, G. Świątek, Generic hyperbolicity in the logistic family, Ann.
of Math. 146 (1997), no. 1, 1–52.
[11] J. Graczyk, G. Świątek, The real Fatou conjecture, Annals of Mathematics
Studies, vol. 144, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1998.
[12] J. Graczyk, G. Świątek, Siegel disks with critical points in their boundaries, Duke Math. J. 119 (2003), no. 1, 189–196.
[13] M. Herman, Conjugaison quasi symétrique des homéomorphismes analytiques du cercle à des rotations (1987), manuskrypt.
[14] J. Kotus, G. Świątek, Invariant measures for meromorphic Misiurewicz
maps, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 145 (2008), 685–697.
[15] O. E. Lanford III, A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), no. 3, 427–434.
[16] M. Lyubich, Milnor’s attractors, persistent recurrence and renormalization, Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY,
1991), Publish or Perish, Houston, TX, 1993, 513–541.
[17] C. T. McMullen, Complex dynamics and renormalization, Annals of Mathematics Studies, vol. 135, Princeton University Press, Princeton, NJ,
1994.
[18] N. Metropolis, M. L. Stein, P. R. Stein, Stable states of a non-linear
transformation, Numer. Math. 10 (1967), 1–19.
[19] N. Metropolis, M. L. Stein, P. R. Stein, On finite limit sets for transformations on the unit interval, J. Combinatorial Theory Ser. A 15 (1973),
25–44.
[20] G. Świątek, Rational rotation numbers for maps of the circle, Comm.
Math. Phys. 119 (1988), no. 1, 109–128.
[21] C. Tresser, P. Coullet, Itérations d’endomorphismes et groupe de renormalisation, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 287 (1978), no. 7, A577–A580.