Homotopie

Homotopie
Marcin Zar¦bski
27 listopada 2009
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Czy potrasz wróci¢ do
wªasnego domu?
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Przykªad
Rozwa»my D jak na obrazku
Wykonajmy instrukcje:
I Poªó» pierwsz¡ kartk¦ nad D i odrysuj obrazek
I Wytnij obrazek
I Powtórz kroki 1,2 z drug¡ kartk¡
I Przetnij kopie wzdªu» zaznaczonej linii
I Nazwij odcinki jak na nast¦pnym obrazku
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Powinno to wygl¡da¢ nast¦puj¡co:
I Obró¢ drug¡ kopi¦ i poª¡cz z 1 nast¦puj¡co
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Poª¡czmy dwie kopie
Otrzymany region oznaczmy przez D'. Niech
f : D0 → D
b¦dzie
okre±lona nast¦puj¡co: Dla punktu P obszaru D' we¹ punkt Q w D,
który byª pod nim podczas przerysowywania. Stworzyli±my dwa
równolegªe ±wiaty w stosunku do D, które s¡ identyczne. Mamy
H1 ,H2 , zaªó»my, »e w ka»dym z nich »yje pewien
czªowiek (C1 , C2 ). W ±wiecie D mamy dom H i czªowieka C , co
wi¦cej wiedz¡c co robi C , wiemy jak si¦ zachowaj¡ jego kopie.
dwa domy
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Wyobra¹my sobie, »e
C
postanowiª wybra¢ si¦ na wycieczk¦ wokóª
jeziora
W równolegªych ±wiatach
C1 , C2 równie» wybrali si¦ na wycieczk¦.
Marcin Zar¦bski
Homotopie
I tu pojawia si¦ rzecz zaskakuj¡ca. Nie wrócili oni do swoich
domów (chocia» nie maj¡ o tym poj¦cia).
Marcin Zar¦bski
C1 jest teraz w domu C2 .
Homotopie
I tu pojawia si¦ rzecz zaskakuj¡ca. Nie wrócili oni do swoich
domów (chocia» nie maj¡ o tym poj¦cia).
Marcin Zar¦bski
C1 jest teraz w domu C2 .
Homotopie
Funkcja
f : D 0 → D , która pojawiªa si¦ w poprzednim przykªadzie
speªniaªa warunki
I f jest ci¡gª¡ surjekcj¡
I Je±li Q ∈ D, to −1 (Q) jest zbiorem przeliczalnym
f
P P2 , ...}, niech U b¦dzie maªym otoczeniem Q w D, wtedy
{ 1,
I
I
I
f −1 (U) jest sum¡ mnogo±ciow¡ maªych otocze« U1 ,U2 ,...
punktów P1 , P2 , ...
Te maªe otoczenia s¡ parami rozª¡czne
f | U jest homeomorzmem na U
i
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Funkcja
f : D 0 → D , która pojawiªa si¦ w poprzednim przykªadzie
speªniaªa warunki
I f jest ci¡gª¡ surjekcj¡
I Je±li Q ∈ D, to −1 (Q) jest zbiorem przeliczalnym
f
P P2 , ...}, niech U b¦dzie maªym otoczeniem Q w D, wtedy
{ 1,
I
I
I
f −1 (U) jest sum¡ mnogo±ciow¡ maªych otocze« U1 ,U2 ,...
punktów P1 , P2 , ...
Te maªe otoczenia s¡ parami rozª¡czne
f | U jest homeomorzmem na U
i
Denicja
Funkcj¦ speªniaj¡c¡ powy»sze warunki nazywamy
funkcj¡
nakrywaj¡c¡. Mówimy te», »e D' pokrywa D za pomoc¡ f, a
tak»e D' jest przestrzeni¡ nakrywaj¡c¡ D.
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Niech
f : D0 → D
b¦dzie funkcj¡ nakrywaj¡c¡. Wówczas mamy
C
f( 1
A
·
C2 ) = f (C1 ) · f (C2 )
v
B
⇒
Marcin Zar¦bski
f(A)
v
f(B)
Homotopie
Niech
f : D0 → D
b¦dzie funkcj¡ nakrywaj¡c¡. Wówczas mamy
C
f( 1
A
·
C2 ) = f (C1 ) · f (C2 )
v
⇒
B
Wybierzmy punkt O'
∈
π1 (D';O'), π1 (D;O).
Niech a
f(A)
v
f(B)
D', niech O = f(O'). Rozwa»my grupy
∈ π1 (D';O'),
a = [A], wtedy f(A) jest
zamkni¦t¡ krzyw¡ (o kra«cach w O). Deniuje ona klas¦ homotopii
α ∈ π1 (D;O)
(zawieraj¡c¡ f(A)). Skoro
α
zale»y tylko od wyboru
klasy homotopii (nie zale»y od wyboru reprezentanta A), to
f
f
mo»emy wprowadzi¢ na ni¡ oznaczenie ∗ (a). Przez ∗ b¦dziemy
rozumie¢ przyporz¡dkowanie a
f∗ jest homomorzmem.
St¡d
7→ f∗ (a). Pierwszy wzór implikuje, »e
f∗ (π1 (D';O')) jest podgrup¡ π1 (D;O)
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Niech
f : D0 → D
b¦dzie funkcj¡ nakrywaj¡c¡, U maªym
f −1 (U)=V1 ∪ V2 ..., Pi ∈ Vi . V1 , V2 , ...
b¦dziemy nazywa¢ kopiami U wokóª P1 , P2 , .... Dla krzywej C' w
otoczeniem Q
∈
D,
D', f(C') jest krzyw¡ w D (nazywamy j¡
mówimy te» C'
nakrywa C)
Marcin Zar¦bski
rzutowaniem, rzutem,
Homotopie
Maj¡c dan¡ krzyw¡ C w D mo»emy wykreowa¢ krzywe w D'.
Punktami pocz¡tkowymi tych krzywych b¦d¡
f −1 (Q), gdzie Q jest
pocz¡tkiem C. Z denicji Q ma maªe otoczenie U, t». dla P
f −1 (Q) mamy maªe otoczenie Vp .
∈
Pewien fragment krzywej C jest
zawarty w U, st¡d mo»emy narysowa¢ fragment tworzonej krzywej
Q1 ∈
Q1 mamy maªe otoczenie... W ten sposób
−1 (Q). Ka»d¡ z nich
mamy tyle krzywych ile elementów ma f
(mi¦dzy tymi otoczeniami mamy homeomorzm!). Niech
Cl(U)
∩
C. Wokóª
nazywamy
podniesieniem.
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Maj¡c dan¡ krzyw¡ C w D mo»emy wykreowa¢ krzywe w D'.
Punktami pocz¡tkowymi tych krzywych b¦d¡
f −1 (Q), gdzie Q jest
pocz¡tkiem C. Z denicji Q ma maªe otoczenie U, t». dla P
f −1 (Q) mamy maªe otoczenie Vp .
∈
Pewien fragment krzywej C jest
zawarty w U, st¡d mo»emy narysowa¢ fragment tworzonej krzywej
Q1 ∈
Q1 mamy maªe otoczenie... W ten sposób
−1 (Q). Ka»d¡ z nich
mamy tyle krzywych ile elementów ma f
−1 (R) =
nazywamy podniesieniem. Wybierzmy punkt R na C, f
{S1 ,S2 ,...}. Mo»emy przyj¡¢, »e Si le»y na Ci ' (krzywe, które
skonstruowali±my). Gdy R porusza si¦ na C, Si porusza si¦ na Ci '.
Nazwijmy R oryginaªem, natomiast Si cieniem R.
(mi¦dzy tymi otoczeniami mamy homeomorzm!). Niech
Cl(U)
∩
C. Wokóª
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Pytanie
Czy
S1 mo»e spotka¢ S2 ?
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Nie, jest to zupeªnie oczywiste gdy spojrzy si¦ na rysunek
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Nie, jest to zupeªnie oczywiste gdy spojrzy si¦ na rysunek
Wniosek
−1 (Q ), liczba ta nie zale»y od Q. St¡d mo»emy
Niech nQ = ] f
zdeniowa¢ stopie« f = nQ . Oznaczamy go deg(f ), [D:D'].
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Twierdzenie
C0 , C1 ∈ D b¦d¡ krzywymi homotopijnymi, O ich punktem
0
0
0
pocz¡tkowym, f : D → D funkcj¡ nakrywaj¡c¡, O = f(O'), C0 , C1
0
0
podniesienia C0 , C1 zaczynaj¡ce si¦ w O'. Mamy wtedy C0 v C1 .
Niech
Wniosek
f∗ jest ró»nowarto±ciowe
Dowód
Niech
γ'
π1 (D';O'), t». f∗ (γ ')=1.
∈ γ ', krzywa C=f(C') jest null
b¦dzie takim elementem
Oznacza to, »e dla krzywej C'
homotopic w D. Ale C' jest podniesieniem C, wi¦c jest tak»e null
homotopic (C jest homotopijne z punktem, podniesienie tego
punktu jest tak»e punktem, który musi by¢ homotopijny z C').
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Niech
f : D0 → D
nazwiemy
b¦dzie funkcj¡ nakrywaj¡c¡. Punkty
sprz¦»onymi o ile f(P1 ) = f(P2 ).
P1 , P2
Liczba punktów
sprz¦»onych jest równa deg(f ). Krzywe s¡ sprz¦»one o ile s¡
podniesieniem tej samej krzywej. Liczba krzywych sprz¦»onych jest
tak»e równa deg(f ).
Funkcja nakrywaj¡ca
f : D0 → D
nazywa si¦
Galois albo normalna,
o ile sprz¦»enie ka»dej zamkni¦tej krzywej jest krzyw¡ zamkni¦t¡.
Marcin Zar¦bski
Homotopie
Przykªad funkcji nakrywaj¡cej, która nie jest Galois
Marcin Zar¦bski
Homotopie
f : D 0 → D b¦dzie funkcj¡ nakrywaj¡c¡, homeomorzm
σ : D 0 → D 0 nazywamy transformacj¡ nakrywaj¡c¡ f o ile
Niech
f(σ (P)) = f(P)
dla ka»dego P
∈
D'.
Zbiór wszystkich transformacji nakrywaj¡cych tworzy grup¦, któr¡
grup¡ transformacji nakrywaj¡cych i oznaczamy
f
f
Γ(D' −
→ D). Niech σ ∈ Γ(D' −
→ D), je±li σ(P ) = P , to f(P ) =
nazywamy
P
1
P
f(σ( 1 )) = f( 1 ). Czyli
P1 i P2 s¡ sprz¦»one.
przeprowadza krzywe na sprz¦»one do nich.
σ
2
Podobnie
Wniosek
2
σ
jest jednoznacznie wyznaczona przez okre±lenie jej warto±ci w
jednym punkcie.
Propozycja 8
Je»eli
P1 , P2 s¡ sprz¦»one, f : D 0 → D
jest funkcj¡ nakrywaj¡c¡
normaln¡, to istnieje wyznaczona jednoznacznie transformacja
nakrywaj¡ca
σ.
Tym samym liczba transformacji nakrywaj¡cych
jest równa deg(f ).
Marcin Zar¦bski
Homotopie
TO BE CONTINUED
Marcin Zar¦bski
Homotopie