Lista 1 Algebra Abstrakcyjna 2015/2016

Lista 1
Algebra Abstrakcyjna
2015/2016
1. (Higman 1952) Pokaza¢, »e algebra (G, ∗) zadana równo±ciami
(1) (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = x ∗ y , (2) x ∗ (y ∗ y) = x, (3) (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = z ∗ y
jest grup¡ wzgl¦dem dziaªania x · y = x ∗ ((y ∗ y) ∗ y).
2. (Higman 1952) Pokaza¢, »e algebra (G, ∗) zadana równo±ciami
(1) (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = x ∗ y , (4) (x ∗ x) ∗ ((y ∗ y) ∗ y) = y
jest grup¡ wzgl¦dem dziaªania x · y = x ∗ ((y ∗ y) ∗ y).
3. (Baer, 1929) Pokaza¢, »e gruda (heap, groud, ock) tzn. ternarna algebra (G, f ) speªniaj¡ca warunki
f (f (x, y, z), u, v) = f (x, f (u, z, v), u) = f (x, y, f (z, u, v)), f (x, y, y) = f (y, y, x) = x
pozwala okre±li¢ na G struktur¦ grupy.
WSK. Zablokowa¢ jeden z elementów w f (x, y, z) tak by otrzyma¢ dziaªanie 2 zmiennych.
4. (WAD 1983) Pokaza¢, »e dla póªgrupy n-arnej nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne.
(1) w (G, f ) zachodzi prawo skraca«,
(2) w (G, f ) zachodzi prawo skraca« na miejscu pierwszym i ostatnim,
(3) w (G, f ) zachodzi prawo skraca« na jednym miejscu ±rodkowym.
5. Jakie warunki musz¡ speªnia¢ grupa (G, ·), jej automorzm ϕ oraz element b ∈ G by
algebra (G, f ), gdzie f (x, y, z) = x · ϕ(y) · ϕ2 (z) · b, byªa grud¡, a jakie by byªa grup¡
ternarn¡?
=
6. (Dörnte 1928) Pokaza¢, »e w grupie ternarnej zawsze x= x. Czy tak jest dla grupy
4-arnej?
7. (Dörnte 1928) Pokaza¢, »e je±li grupa ternarna (G, f ) me element neutralny to istnieje
grupa (G, ·) taka, »e f (x, y, z) = x · y · z .
8. Pokaza¢, »e w algebrze (G, ·, \, /) typu (2, 2, 2) speªniaj¡cej równo±ci
x(y \ x) = y , (xy) \ x = y , (y/x)x = y , (yx)/x = y
ka»de z równa« ax = b, ya = b ma jednoznaczne rozwi¡zanie x, y ∈ G.
9. Pokaza¢, »e grup¦ mo»na zdeniowa¢ jako algebr¦ (G, ·, \, /) typu (2, 2, 2) speªniaj¡c¡ pi¦¢
równo±ci.
10. Sprawdzi¢ czy grupa (G, ·) jest izomorczna z grup¡ lewych (prawych) translacji zbioru
G. Lewa translacja to La (x) = ax, prawa to Ra (x) = xa.
11. Sprawdzi¢ czy grupa (G, ·) jest izomorczna z grup¡ swoich automorzmów wewn¦trznych
ϕa (x) = axa−1 .