Lista 1 Algebra Abstrakcyjna 2015/2016
Transkrypt
Lista 1 Algebra Abstrakcyjna 2015/2016
Lista 1 Algebra Abstrakcyjna 2015/2016 1. (Higman 1952) Pokaza¢, »e algebra (G, ∗) zadana równo±ciami (1) (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = x ∗ y , (2) x ∗ (y ∗ y) = x, (3) (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = z ∗ y jest grup¡ wzgl¦dem dziaªania x · y = x ∗ ((y ∗ y) ∗ y). 2. (Higman 1952) Pokaza¢, »e algebra (G, ∗) zadana równo±ciami (1) (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = x ∗ y , (4) (x ∗ x) ∗ ((y ∗ y) ∗ y) = y jest grup¡ wzgl¦dem dziaªania x · y = x ∗ ((y ∗ y) ∗ y). 3. (Baer, 1929) Pokaza¢, »e gruda (heap, groud, ock) tzn. ternarna algebra (G, f ) speªniaj¡ca warunki f (f (x, y, z), u, v) = f (x, f (u, z, v), u) = f (x, y, f (z, u, v)), f (x, y, y) = f (y, y, x) = x pozwala okre±li¢ na G struktur¦ grupy. WSK. Zablokowa¢ jeden z elementów w f (x, y, z) tak by otrzyma¢ dziaªanie 2 zmiennych. 4. (WAD 1983) Pokaza¢, »e dla póªgrupy n-arnej nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne. (1) w (G, f ) zachodzi prawo skraca«, (2) w (G, f ) zachodzi prawo skraca« na miejscu pierwszym i ostatnim, (3) w (G, f ) zachodzi prawo skraca« na jednym miejscu ±rodkowym. 5. Jakie warunki musz¡ speªnia¢ grupa (G, ·), jej automorzm ϕ oraz element b ∈ G by algebra (G, f ), gdzie f (x, y, z) = x · ϕ(y) · ϕ2 (z) · b, byªa grud¡, a jakie by byªa grup¡ ternarn¡? = 6. (Dörnte 1928) Pokaza¢, »e w grupie ternarnej zawsze x= x. Czy tak jest dla grupy 4-arnej? 7. (Dörnte 1928) Pokaza¢, »e je±li grupa ternarna (G, f ) me element neutralny to istnieje grupa (G, ·) taka, »e f (x, y, z) = x · y · z . 8. Pokaza¢, »e w algebrze (G, ·, \, /) typu (2, 2, 2) speªniaj¡cej równo±ci x(y \ x) = y , (xy) \ x = y , (y/x)x = y , (yx)/x = y ka»de z równa« ax = b, ya = b ma jednoznaczne rozwi¡zanie x, y ∈ G. 9. Pokaza¢, »e grup¦ mo»na zdeniowa¢ jako algebr¦ (G, ·, \, /) typu (2, 2, 2) speªniaj¡c¡ pi¦¢ równo±ci. 10. Sprawdzi¢ czy grupa (G, ·) jest izomorczna z grup¡ lewych (prawych) translacji zbioru G. Lewa translacja to La (x) = ax, prawa to Ra (x) = xa. 11. Sprawdzi¢ czy grupa (G, ·) jest izomorczna z grup¡ swoich automorzmów wewn¦trznych ϕa (x) = axa−1 .