Rozdziaª 6 KWANTOWA WARIACYJNA METODA MONTE CARLO

Janusz Adamowski
1
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
Rozdziaª 6
KWANTOWA WARIACYJNA
METODA MONTE CARLO
Metody Monte Carlo dobrze nadaj¡ si¦ do rozwi¡zywania kwantowych
problemów wielu cz¡stek. W tym celu powstaªy dwie kwantowe metody
Monte Carlo: wariacyjna i dyfuzyjna. W tym rozdziale przedstawiona zostanie kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo w zastosowaniu do
rozwi¡zywania problemu wªasnego dla ukªadu N cz¡stek, które podlegaj¡
prawom mechaniki kwantowej.
6.1
Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo
Rozwa»my problem wªasny dla stanu podstawowego ukªadu N cz¡stek
(6.1)
(H − E0 )ψ0 (r) = 0 ,
gdzie E0 jest energi¡ stanu podstawowego, ψ0 (r) jest funkcj¡ falow¡ tego
stanu, a r = (r1 , . . . , rN ) jest zbiorem 3N wspóªrz¦dnych przestrzennych
okre±laj¡cych poªo»enia wszystkich cz¡stek w ukªadzie.
e
Przypomnijmy zasad¦ wariacyjn¡ Rayleigha-Ritza. Je»eli ψ(r)
jest dowoln¡ funkcj¡ rzeczywist¡, to
E=
e
e
⟨ψ|H|
ψ⟩
≥ E0 .
e ψ⟩
e
⟨ψ|
(6.2)
e
ψ(r)
nazywamy próbn¡ funkcj¡ falow¡. Licznik w ilorazie Rayleigha (6.2)
mo»na przeksztaªci¢ nast¦puj¡co
e
e =
⟨ψ|H|
ψ⟩
∫
e
e
drψ(r)H
ψ(r)
=
∫
[
drψe2 (r)
]
1
e
H ψ(r)
,
e
ψ(r)
(6.3)
2
Rozdziaª 6. Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo
gdzie dr = d3N r. Deniujemy energi¦ lokaln¡ jako
1
df
e
ε(r) = e H ψ(r)
.
ψ(r)
(6.4)
Hamiltonian ukªadu N cz¡stek o jednakowych masach m ma posta¢
H=−
N
h̄2 ∑
∇2 + U (r) ,
2m i=1 i
(6.5)
gdzie U (r) jest energi¡ potencjaln¡ ukªadu, która jest sum¡ energii potencjalnej oddziaªywa« wewn¦trznych i energii potencjalnej cz¡stek w polu zewn¦trznym. Zgodnie z (6.4) i (6.5)
ε(r) = −
N
h̄2 ∑
e
+ U (r) .
∇2i ψ(r)
e
2mψ(r) i=1
(6.6)
Wariacyjne oszacowanie energii (6.2) wyra»amy za pomoc¡ energii lokalnej
nast¦puj¡co:
∫
E=
drψe2 (r)ε(r)
.
∫
drψe2 (r)
(6.7)
Zgodnie z (6.7) energia wariacyjna E jest warto±ci¡ ±redni¡ energii lokalnej
ε(r), obliczan¡ przy u»yciu funkcji rozkªadu (funkcji wagowej)
w(r) ∼ ψe2 (r) .
(6.8)
Wariacyjna metoda Monte Carlo polega na obliczeniu oszacowania caªki (6.7)
wedªug metody Monte Carlo. Zgodnie z t¡ metod¡ oszacowaniem Monte
Carlo caªki (6.7) jest
EN
N
1 ∑
=
ε(ri ) ,
N i=1
(6.9)
przy czym N jest liczb¡ losowa«, a punkty ri rozªo»one s¡ w 3N -wymiarowej
przestrzeni zgodnie z funkcj¡ rozkªadu ψe2 . Rozkªad ten mo»e by¢ generowany
za pomoc¡ algorytmu Metropolisa.
Przedyskutujemy teraz wybór funkcji próbnej ψe.
(i) Funkcja ta powinna by¢ mo»liwie prosta tak, aby mo»na byªo ªatwo policzy¢ energi¦ lokaln¡ ε(r).
(ii) Funkcja próbna ψe powinna mo»liwie dobrze przybli»a¢ funkcj¦ dokªadn¡
ψ0 .
Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
3
Je»eli ψe = ψ0 , to ε(r) = E0 . Wtedy energia lokalna nie zale»y od r i
wariancja oszacowania Monte Carlo równa jest zero. Je»eli natomiast ψe ≃ ψ0 ,
to wariancja ta jest bliska zeru. Tak wi¦c zgodnie z wariacyjn¡ metod¡
Monte Carlo dokonujemy redukcji wariancji oszacowania ilorazu Rayleigha.
Wªasno±¢ ta dostarcza dodatkowego kryterium zbie»no±ci metody: zamiast
poszukiwania funkcji próbnej, która minimalizuje iloraz Rayleigha, mo»emy
poszukiwa¢ takiej funkcji ψe, dla której wariancja oszacowania Monte Carlo
maleje do zera.