1 Nieklasyczne efekty i stara teoria kwantowa 2 Postulaty Mechaniki

1 Nieklasyczne efekty i stara teoria kwantowa 2 Postulaty Mechaniki

Fizyka kwantowa - podstawy matematyczne
1
2011-05-26
Nieklasyczne efekty i stara teoria kwantowa
Promieniowanie ciała doskonale czarnego – odizolowana materia emituje energię w postaci fal elektromagnetycznych. Zależności między energią a długością fali nie udało się wyjaśnić klasycznie, obliczenia Plancka sugerowały,
że promieniowanie jest emitowane tylko w kwantach, tzn.
E = n · ~ω = n · hν,
gdzie n ∈ N, ν = 2πω – częstotliwość
h
, h ≈ 6.62 · 10−27 g · cm2 /s2 = 6.62 · 10−34 J · s
Stała Plancka ~ = 2π
Te porcje można by intepretować jako fotony - bezmasowe cząstki.
Zjawisko Comptona – światło (fale e-m) rozproszone o elektrony zachowuje się jak cząstki z pędem (E = c2 p2 , bo
m = 0, czyli pęd też skwantowany)
Efekt fotoelektryczny – światło padające na metal wybija elektrony, z energią kinetyczną niezależną od natężenia
światła, tylko od jego częstotliwości (czyli znowu zachowanie cząstki z pędem hν
c ).
Doświadczenie Davissona-Germera – Elektrony puszczone przez dwie szczeliny powodują na ekranie obraz dyfrakcyjny (zachowują się jak fale). Podobnie w krysztale przy strumieniu tak słabym, że elektrony przechodziły osobno.
Doświadczenie Sterna-Gerlacha – Elektrony puszczone przez pole magnetyczne zamiast tworzyć na ekranie ciągłą
smugę pozostawiają tylko dwa ślady. Moment magnetyczny w kierunku pola Mz wydaje się być skwantowany.
Atom wodoru – Częstotliwości fotonów emitowanych są proporcjonalne do ( m12 − n12 ), n, m ∈ N.
Stabilnośc atomu – klasycznie elektrony krążące powinny tworzyć pole B i E, czyli emitować falę e-m, i wytracić
energię w bardzo krótkim czasie.
1.1
Stara teoria kwantowa
Stworzona przez Broglie’a i Bohra stara się wyjaśnić powyższe zajwiska przy pomocy kilku niezbyt ścisłych założeń:
ˆ Z każdą cząstką powiązana jest fala de Broglie’a postaci const · e−i(Et−px)/~ , gdzie E i p to energia i pęd cząstki.
ˆ Moment pędu elektronu jest całkowitą wielokrotnością ~.
ˆ Elektron w atomie może przyjmować tylko dyskretne energie En , przeskakując emituje/pochłania promieniowane
e-m o częstości ωnm = ~1 |En − Em |
2
Stosując klasyczne równania można np. wyznaczyć promienie orbit w wodorze (Siła Coulomba: re2 = mrω 2 i n~ =
Mz = mωr2 ), co daje nam wartości En = const
zgodne z tym co powiedzieliśmy o atomie wodoru (co swoją drogą jest
n2
przydatne do badania odległości galaktyk i występownia wodoru). Ale wiele dalej ta teoria nie zdziałała, zbyt wiele
pytań zostaje otwartych.
2
Postulaty Mechaniki Kwantowej
Mamy
przestrzeń konfiguracji Q, np. Q = R3 . W przestrzeni funkcji ψ : Q → C definiujemy iloczyn skalarny (φ, ψ) =
R
φ(x)ψ̄(x)dx, co po uzupełnieniu daje nam separowalną zespoloną przestrzeń Hiblerta H = L2 (Q).
Q
ˆ Stany (czyste) systemu fizycznego to funkcje falowe, definiowane jako promienie (jednowymiarowe podprzestrzenie) w H, możemy je utożsamiać z funkcjami ψ ∈ H o module 1 (równoważne jeśli różnią się o eiφ ).
Wielkość fizyczna (np. energia, pęd, położenie) to obserwabla, reprezentowane są one przez 1 gęsto-zdefiniowane
samosprzężone operatory różniczkowe na funkcjach falowych, Â = Â(x, ∂x ).
ˆ Operator samosprzężony A zadaje miarę prawdopodobieństwa, wartość oczekiwana obserwabli A dla systemu
w stanie ψ wynosi hÂiψ := (Âψ, ψ). Można pokazać, że możliwe wartości obserwabli należą do (rzeczywistego)
spektrum A. Jeśli całe spektrum jest dyskretne, możliwe wyniki pomiaru są wartościami własnymi λn , po pomiarze zaś system przełącza się do stanu ψ = un , gdzie un jest odpowiadającą λn funkcją własną (Âun = λn un ,
un tworzą ortonormalną bazę H). Prawdopodobieństwo P (λn ) = |(ψ, un )|2 . Dla ciągłego spektrum stwierdzenia
te się naturalnie uciąglają, ale wymaga to trochę matematyki (miara spektralna).
P
P
P
Przykładowo dla ψ(x) = an un (x) mamy
|an |2 = 1, P (λn ) = P (un ) = |an |2 oraz hÂiψ = |an |2 λn .
Dla pojedyńczej cząstki bez spinu, na prostej (Q = R), mamy operator położenia x̂ działający jak mnożenie przez
argument: (x̂ψ)(x) = xψ(x) Jego dziedzina {ψ ∈ H : x̂ψ ∈ L2 (R)} zawiera np. funkcje ciągłe o zwartym nośniku,
więc operator jest gęsto określony. Jego spektrum jest czysto ciągłe - prosta rzeczywista. Jego rozkład spektralny
odpowiada po prostuR funkcji charakterystycznej χB , więc prawdopodobieństwo zmierzenia położenia cząstki w zbiorze
borelowskim B jest B |ψ|2 dµ (µ - miara Lebesgue’a), po pomiarze funkcja falowa kolapsuje albo do χB ψ, albo do
(1 − χB )ψ (z dokładnością do modułu).
1 Nie wszystkie samosprzężone operatory są obserwablami. Postuluje się, że superpozycje stanów z różnych nieprzywiedlnych podreprezentacji nie są fizycznie obserwowalne, więc należy pojęcie stanów i obserwabli ograniczyć, “superselekcja”?
ˆ Operatory te mają się do fizycznych wielkości tak jak w przypadku klasycznym, np. x̂,p̂x odpowiadają położeniu
i pędowi, moment pędu wynosi M̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x , zaś operator energii cząstki (Hamiltonian) równa się Ĥ = Ê =
1 2
2m p̂ + U (x̂). Pojawia się problem - operatory te nie komutują, więc wydaje się, że można by (niepoprawnie)
postawić M̂z = p̂y x̂ − p̂x ŷ. Jest to problem kwantyzacji znalezienia “homomorfizmu” z algebry C ∞ (T ∗ Q) funkcji
gładkich na przestrzeni fazowej do algebry operatorów różniczkowych.
ˆ Wielkościami sprzężonymi nazywamy te pary, których iloczyn ma jednostki energii (takie jak ~) (np. x i px ,
E i t, φ i Mz (gdzie φ = arg(x + iy)). Chodzi o wielkości, które są dualne w sensie transformaty Fouriera, w
mechanice klasycznej jedna jest pochodną działania po drugiej. Można to chyba powiedzieć ściślej i ogólniej
mówiąc coś o kwantyzacji, na razie załóżmy po prostu, że ich komutator jest proporcjonalny do identyczności,
na przykład
[x̂, p̂x ] = α~, α ∈ C
Skoro [x̂, ∂x ]ψ = xψ 0 − (xψ)0 = −ψ, to p̂x = −α~∂x . Operator −α~∂x ma funkcje własne postaci up = const ·
e−px/α~ z wartościami własnymi p, które powinny odpowiadać wartości klasycznego pędu. Fale de Broglie’a
miały postać e−i(Et−px)/~ , więc by uzyskać zgodność z doświadczeniem α powinno być równe i.
p̂x = −i~∂x , możemy więc operator Hamiltionianu, zwany operatorem Schrödingera, zapisać jako
Ĥ = Ê = −
~2
∆ + U (x̂)
2m
gdzie x = (x1 , . . . , xd ) oraz Laplasjan ∆ = ∂x21 + · · · + ∂x2d . Podobnie czas t jest sprzężony z energią E, mamy
więc Ê = i~∂t , co daje nam równanie Schrödingera
i~
∂ψ
= Ĥψ,
∂t
które (przy danym przez układ fizyczny Hamiltonianie) opisuje ewolucję funkcji falowej ψ(x) = ψ(x, t) w czasie (ewolucja ta jest ciągła i deterministyczna, w przeciwieństwie do różnie intepretowanego kolapsu funkcji
falowej/dekoherencji omówionego wcześniej).
2
~
∆) i stanu ψ = e−i(Et−px)/~ (fala de Broglie’a dla
Przykład Dla cząstki swobodnej (czyli U (x) = 0, Ĥ = − 2m
2
2
~ ∂ ψ
pewnych E, p ∈ R) mamy i~ ∂ψ
∂t = Eψ, zaś Ĥψ = − 2m ∂x2 =
3
p2
2m ψ.
Stąd dostajemy klasyczną formułę E =
p2
2m .
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
1/2
Udowodnimy ją w wersji probabilistycznej dla odchyleń standardowych σ := h(Â−hÂiψ )2 iψ
2
= ((Â−hÂiψ )2 ψ, ψ)1/2
2
1
e−x /2σ (przesuniętej w x i p).
Tw. σx̂ · σp̂x ­ 12 ~, równość zaś zachodzi dla gaussowskiej funkcji falowej ψ(x) = √2πσ
Dowód Przesunięcie p odpowiada mnożeniu ψ przez czynnik oscylujący eiλx , bo p̂(eiλx ψ) = eiλx (p̂+λ~)ψ (pamiętamy
p̂x = −i~∂x ) , możemy więc przyjąć hx̂i = hp̂i = 0. Mamy wtedy z nierówności Schwartza
σx̂2 · σp̂2 = (x̂2 ψ, ψ)(p̂2 ψ, ψ) = kx̂ψk2 · kp̂ψk2 ­ |(x̂ψ, p̂ψ)|2 ­
­ |Im(x̂ψ, p̂ψ)|2 =
1
1
1
1
|(x̂ψ, p̂ψ) − (p̂ψ, x̂ψ)|2 = |[p̂, x̂]ψ, ψ)|2 = (i~kψk)2 = ~2
4
4
4
4
Żeby uzyskać równość część rzeczywista musi znikać, w Schwartzu zaś p̂ψ = const · x̂ψ, czyli −i~ψ 0 = iconst · ψ.
4
Obraz Heisenberga
Równania Schödingera z warunkiem początkowym ψ|t=0 ma rozwiązanie ψ = eiĤt/~ ψ0 , gdzie U (t) = eiĤt/~ jest
operatorem ewolucji. To jest tzw. obraz Schrödingera.
Ale jak można łatwo pokazać U jest unitarne i U (t)∗ = U (−t) = U (t)−1 . Interesujące nas amplitudy przejścia z φ
do ψ przy operatorze Â:
(Âφt , ψt ) = (ÂU (t)φ0 , U (t)ψ0 ) = (U (−t)ÂU (t)φ0 , ψ0 ) = (Ât φ0 , ψ0 )
Można to interpretować jako ewolucję obserwabli przy stałym stanie - jest to (równoważny) obraz Heisenberga.
5
Równania Newtona
d
Â(t) = [Â(t), Ĥ], Â(0) =  (z dokładnością do istnienia pochodnej). Podstawiając za  połoŁatwo pokazać, że i~ dt
1 2
żenie lub pęd i przyjmując Hamiltonian cząstki w polu Ĥ = 2m
p̂x + U (x̂) otrzymujemy klasyczne równania Newtona
dx̂
= p̂x ,
dt
dp̂x
∂U
=−
(x̂)
dt
∂x
6
Stany stacjonarne, związane, wolne
Stw. Jeśli uE jest funkcją własną operatora Schrödingera, uE ∈ H = L2 (Q), kuE k = 1, to rozkład prawdopodobieństwa
nie zmienia się w czasie, jest stacjonarny.
Dowód. ĤuE = EuE , więc ψt = U (t)uE = e−iĤt/~ uE = e−iEt/~ uE . Stąd |ψt (x)|2 = |ψ0 (x)|2 .
Wektory własny uE należące do H nazywamy stanami związanymi (odpowiadają zlokalizowanej cząstce, ograniczonej
w ustalonym obszarze przestrzeni fazowej, amplituda funkcji falowej się nie zmienia, tylko jej faza). Dlatego interesuje
nas stacjonarne równanie Schrödingera
Ĥψ = Eψ
(
0
|x| < 1
. Stacjonarne równanie Schrödingera
Przykład. Nieskończona studnia potencjału. Niech U (x) =
+∞ |x| ­ 1
to wtedy
~2 u00 (x)
−
= Eu(x) dla |x| < 1, u(x) = 0 poza.
2m
Czyli oznaczając k 2 =
2mE
~2
> 0 mamy u00 + k 2 u = 0,
u2l = A sin(lπx),
u(1) = u(−1) = 0. Rozwiązaniami są
u2l+1 = B cos((l + 1/2)πx).
Odpowiadają im w obu przypadkach wartości kn = n π2 , czyli wartości własne (energie stanów związanych) En =
π 2 ~2 2
8m n .
Przykład. Operator p̂x = −i~∂x ma funkcje własne up (x) = eipx/~ , nie należą do H, wartości własne p wypełniają
p
, o całkowicie
całą prostą rzeczywistą. Stany te odpowiadają cząstce poruszającej się ze stałą prędkością v = m
nieokreślonym położeniu (jak spróbujemy bezpośrednio zadziałać operatorem x̂ to nie unormujemy do kup k = 1).
Podobna sytuacja zachodzi dla operatora Ĥ dla np. skończonej studni potencjału, liniowe kombinacje stanów t.że
uE (x) ∼ eipx/~ przy |x| → ∞ nazywamy stanami wolnymi.
7
Stany mieszane, notacja Diraca
Wektory z H oznacza się ket-ami |ψi ∈ H (możemy mówić ogólnie o przestrzeni Hilberta H związanej z systemem, nie
myśląc o funkcjach falowych z L2 (Q), ani o konkretnej bazie związanej z położeniami). Wektory sprzężone z dualnej
przestrzeni to bra hψ|, iloczyn skalarny dwóch wektorów oznaczamy wtedy przez bracket hφ|ψi. Jeśli |xi jest bazą
ortonormalną operatora położenia x̂ dla cząstki bez spinu, to ψ(x) = hx|ψi jest funkcją falową odpowiadającą stanowi
ψ. Wartość oczekiwana operatora  to po prostu hÂiψ = hψ|A|ψi. |ψihψ| jest operatorem rzutowym na |ψi. Dla
P
P
P
dowolnej bazy i |ei ihei | = 1, zatem dalej hÂiψ = hψ|A|ψi = i hψ|ei ihei |A|ψi = i hei |A|ψihψ|ei i = T r(A|ψihψ|)
(pełne brackety komutują, bo są liczbami zespolonymi).
Ogólniej mówimy o stanach mieszanych/splątanych, będącymi kombinacjami wypukłymi stanów czystych, inaczej mówiąc stan jest w ogólności śladowym operatorem samosprzężonym o śladzie 1. Interpretujemy je jako zespół
statystyczny, pojawiają się gdy na stan czysty z przestrzeni H ⊗ K patrzymy tylko z H (np. obserwujemy tylko jedną z
dwu splątanych cząstek). Oczekiwany wynik pomiaru na takim stanie to (liniowo uogólniając) hÂiρ = T r(Âρ). Przy. ih %
. | + 12 | & ih & | = 21 1
kładowo dla polaryzacji, (baza | li, | ↔i) macierz gęstości ρ = 21 | lihl | + 12 | ↔ih↔ | = 12 | %
odpowiada stanowi całkowicie mieszanemu, w dowolnym pomiarze dostaniemy wynik losowy. Fizycznie nie da się w
żaden sposób rozróżnić wiązki fotonów składającej się równomiernie z | li, | ↔i od złożonej z | %
. i, | & i. Za to np.
√
|%
. i = |li+|↔i
można
zapisać
jako
superpozycję
dwóch
stanów,
ale
to
nadal
stan
czysty.
Łatwo
pokazać,
że stany
2
2
czyste odpowiadają rzutom (ρ = ρ = |ψihψ|), równoważnie - punktom ekstremalnym zbioru wszystkich stanów.
Przykład. Jak mamy naszą cząstkę bez spinu na prostej i operator położenia x̂ z bazą |xi,
to można napisać hx|x̂|ψi zamiast (x̂ψ)(x). Fizycy mogą
R ∞czasem rozpisać operator
R ∞ w bazie:
hx|x̂|x0 i = xδ(x − x0 ) (wtedy rzeczywiście hx|x̂|ψi = −∞ hx|x̂|x0 ihx0 |ψidx0 = −∞ xδ(x − x0 )ψ(x0 )dx0 = xψ(x)).
R
Matematycznie może chodzić o rozkład spektralny  = λ dΩ (λ) (przez analogię do skończenie-wymiarowego
P
rozkładu na operatory rzutowe  = i λi Pi ) (Ω - hermitowska miara spektralna), który w przypadku operatora
położenia (który tylko mnożył przez x), jest dany po prostu przez Ωx̂ (B)ψ = χB · ψ (χB - funkcja charakterystyczna
zbioru borelowskiego B). Wtedy możemy rzeczywiście zdefiniować prawdopodobieństwo
zmierzenia cząstki w zbiorze
R
B w systemie przygotowanym w stanie ψ jako |Ωx̂ (B)ψ|2 = |χB · ψ|2 = B |ψ|2 dµ i powiedzieć, że funkcja falowa
kolapsuje do Ωx̂ (B)ψ albo do (1 − Ωx̂ (B))ψ.
To nadal pozostawia problem jak zdefiniować działanie x̂ na nienormowalnych wartościach własnych p̂ i tu chyba
już konieczna jest konstrukcja GNS albo rozszerzenie struktury H o dystrybucje (rigged Hilbert space), inni po prostu
pomijają takie sytuacje jako niefizyczne (nie interesują ich niezlokalizowane cząstki).