Reguła de l`Hôspitala. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Lista nr 10
TRiL, sem.I, studia stacjonarne, 2013/14
Reguła de l’Hôspitala. Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Korzystając z reguły de l’Hôspitala obliczyć granice następujących funkcji:
arc tg 2x
x
ex + e−x − 2
,
b) lim
,
c) lim
,
a) lim
x→+∞ ln(1 + x)
x→0 arc sin 5x
x→0 1 − cos 2x
1
1
1
e) lim
−
,
f) lim ctg x −
,
g) lim ctg x · ln(x + ex ),
x→0 sin x
x→0
x→0
x
x
ln sin x
d) lim
,
+
x→0 ln sin 5x
h) lim1 sin(2x − 1) · tg(πx)
x→ 2
2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema następujących funkcji:
a) f (x) = x3 + 3x2 + 3x,
f) f (x) =
4x
,
+4
b) f (x) = x3 − 3x + 5,
g) f (x) =
x2
k) f (x) = e−x + e2x ,
c) f (x) = x2 (x − 6),
x − x2 − 1, 5
,
2x + 1
h) f (x) =
l) f (x) = (x2 + 4x + 4)e2x ,
1 − x3
,
x2
d) f (x) = 3 − 2x2 − x4 ,
i) f (x) =
x2
8
+ 2.
2
x
n) f (x) = x2 ln x,
m) f (x) = x ln x,
e) f (x) =
j) f (x) = x2 e−x ,
o) f (x) = x3 ln x.
3. Znaleźć punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości krzywych:
1
,
x2 − 4
a) f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 9,
b) f (x) = x + 36x2 − 2x3 − x4 ,
c) f (x) =
e) f (x) = (x2 − x + 2)ex ,
f) f (x) = x ln x,
g) f (x) = x2 ln x,
4. Zbadać funkcje i sporządzić ich wykresy:
a) y =
p
3
x3 − 6x2 ,
b) y =
x − x2 − 1, 5
,
2x + 1
c) y =
1 − x3
,
x2
d) y =
x2 + 2x − 15
.
2−x
d) f (x) =
x2 + 2x − 15
,
2−x
h) f (x) = x3 ln x.
x2
,
1−x