Rozwiązania zadań z kol.3 pop.

Rozwiązania zadań z kol.3 pop.
Michał Urbański
1
fg = 10Hz, R1 = 10kΩ, R2 = 1000kΩ, C =
nF .
2Π
Wyznacz maksymalną wartość wzmocnienia.
UWAGA,
W przypadku znalezienia błędów proszę o maila.
Zadanie 1.
Wyznacz wzmocnienie napięciowe układu jak na rys.1
dla małych częstotliwości. Dane są rezystory R1 = 1kΩ,
R2 = 1000kΩ oraz wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego w otwartej pętli A0 = 105 .
Oznaczymy szeregowe połączenie R2 i C jako Z2 =
1
R2 +
, ponadto napięcie wejściowe U1 = U+ . WyjωC2
R1
.
korzystując dzielnik Z2 i R1 mamy: U− = U2
R1 + Z2
Ponieważ U2 = A(ω) (U1 − U− ) więc:
R1
U2
= U1 − U2
.
A(ω)
R1 + Z 2
Tak więc wzmocnienie napięciowe wynosi:
U2
1
KU =
=
1
R1
U1
+
A(ω) R1 + Z2
wzór ten celowo nie został przekształcony do postaci
ułamków niepiętrowych ponieważ w tej postaci widać
konieczność rozpatrzenia dwóch zakresów: gdy domi1
nuje w mianowniku człon
i gdy dominuje człon
A(ω)
R1
. Mamy więc:
R1 + Z2

1
R1

dla
 A(ω)
A(ω)
R1 + Z2
KU =
(2)
R + Z2
R1
1

 1
dla
R1
A(ω)
R1 + Z2
Należy wyprowadzić wzór na wzmocnienie wzmacniacza
dla dowolnego wzmocnienia w otwartej pętli A0 , a następnie pokazać, że wzór przybliżony jest taki jak dla
A0 nieskończonego.
Ponieważ prąd wejściowy wzmacniacza jest zero więc
I1 = −I2 , wobec tego:
U1 − U−
U− − U2
=
R1
R2
(1)
U2
. Po podstawieniu
A0
U1
U2
U2
U2
tego do (1) mamy:
+
=−
−
a z tego
R1 A0 R1
A0 R 2 R 2
otrzymujemy:
Ponieważ U+ = 0 więc U− = −
1
R2
U2
R
1
=−
R1
=−
1
1
1
1
R2
1
1
U1
+
+
1+
+
R2
A0 R 1
R2
A0 R 1
R2
1
1
R2
+
1 to: wzmocnienie wynosi
Jeśli
A0 R1
R2
U2
R2
=− .
KU =
U1
R1
Po podstawieniu danych KU = −1000 oraz sprawdzamy
czy nierównośćpowyższa jest spełniona:
R2
1
1
1000kΩ
1
1
+
=
+
≈
A0 R1 R2 105
1kΩ 1000kΩ
1000kΩ
1
= 10−2 1
5
10
1kΩ
Zadanie 2. Wyznacz charakterystykę częstotliwościową (zależność wzmocnienia od częstotliwości)
układu z rys.2. Wykonaj obliczenia dla wzmacniacza
A0
opisanego równaniem: A(f ) =
. Wykonaj wy1 + j ff0
kres w skali logarytmicznej dla danych: A0 = 106 ,
Warunek
1
R1
A(ω)
R1 + Z 2
(3)
R1 + Z 2
R1
musi leżeć pod polem wzmocnienia opisanym A(ω). Warunek ten jest spełniony dla dużych ma małych częstości
(wyniknie z dalszych obliczeń).
R1 + Z2
R1 + Z = R2
1
Wzmocnienie
=
+
opiR1
R1
jωR1
sane w drugiej części równania opisuje wzmacniacz nazwany idealnym (gdy A(ω) jest bardzo duże). Ponieważ
1
Z2 = R2 − j ωC
ma części rzeczywistą i urojoną zależną
2
od częstotliwości więc ta część wzmocnienia tez musi być
podzielona na dwa obszary:

R + R2
1

 1
dla R2 + R1 ωC
2
R
1
KU =
(4)
1
1


dla R2 + R1 jωR1 C2
ωC2
oznacza, że wzmocnienie opisane równaniem
1
Częstość dla której zachodzi równość R2 =
1
ωC2
1
, dla częstości ω ω2
(R1 + R2 )C2
wzmocnienie jest odwrotnie proporcjonalne do często1
ści: KU =
, natomiast dla ω ω2 wzmocnienie
jωR1 C2
R1 + R2
. Częstotliwość f2 rozgranijest stałe i wynosi
R1
ω2
= 1000Hz. Oczyczająca oba obszary wynosi f2 =
2Π
wiście od strony niskich i wysokich częstotliwości zależność wzmocnienia od częstotliwości ograniczone są warunkiem (3). Miejsca przecięcia wzmocnienia opisanego
wzorem (4) ze wzmocnienim A(ω) wyznaczają obszar,
w którym obowiązuje wzór (4). Równanie
R1 + Z 2
= A(ω)
R1
zapiszemy w dwóch przypadkach, ponieważ A(ω) ma postać:
wynosi ω2 =
(
A(ω) =
A0
A0 ωO
ω
dla
ω ω0
dla
ω ω0
więc dla niskich częstości mamy:
Zadanie 3.
Udowodnij, że rezystancja wejściowa układu z zadania
1 wynosi w przybliżeniu R1 . Wyprowadź dokładny wzór
zakładając, że wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego
wynosi A = 105 , a rezystancja pomiędzy wejściami + i −
wynosi Rd = 106 Ω. Wypisz równania Kirchoffa i podaj
sposób wyprowadzenia wzoru na rezystancję wejściową.
Zadanie to jest rozwiązane w pliku „Rezystancja wejściowa wzmacniacza operacyjnego”.
Jeśli pominiemy rezystancję wyjściową to rozwiązanie
jest krótkie.
Z praw Kirchhoffa (rys do zadania 1.):
(5)
1
= A0 i
ω1 R1 C2
1
= 2Π 0, 1Hz, czyli
A0 R 1 C 2
A0 ω 0
f1 = 0, 1Hz. Dla dużych częstości mamy
=
ω3
R1 + R2
R1
, na tej podstawie ω3 = A0 ω0
czyli
R1
R1 + R2
R1
= 105 Hz. Czyli częstotliwości więkf 3 = A0 f 0
R1 + R2
szych od f3 o wzmocnieniu decyduje charakterystyka
wzmacniacza operacyjnego.
z tego mamy ω1 =
U1 = I1 R1 + Ud = I1 R1 + Id Rd
(6)
U2 = I2 R2 + Ud
(7)
Id = I1 + I2
(8)
U2 = −AUd = −AId Rd
(9)
gdzie Ud jest napięciem pomiędzy wejściem − a wejściem +, Rd jest rezystancją wejścia wzmacniacza operacyjnego. Z pierwszego z tych równań (z (6)):
Rwej =
Schematyczny wykres poszczególnych odcinków przestawiony jest poniżej (w skali logarytmicznej)
Id
U1
= R1 + Rd
I1
I1
z pozostałych równań wyznaczamy stosunek
(10)
Id
. WstaI1
wiamy do równania (7) pozostałe równania:
−AId Rd = (Id − I1 )Rd + Id Rd
(11)
z czego mamy:
R2
Id
=
I1
Rd (1 + A) + R2
(12)
czyli:
U1
R2
R2
= R1 +
Rd ≈ R1 +
I1
Rd (1 + A) + R2
1+A
(13)
Uwaga. Ponieważ Ud + I2 R2 = −AUd tak więc
I2 R2
Ud = −
I1 R1 co oznacza, że we wzorze (10)
1+A
dominuje człon R1 .
Maksymalne wzmocnienie mamy dla niskich częstotliwości i wynosi A0 .
Wyniki obliczeń wg wzoru ogólnego wykreślone programem gnuplot przedstawione są poniżej.
2