Egzamin 25 z 13 kwietnia 2002 r.
Transkrypt
Egzamin 25 z 13 kwietnia 2002 r.
13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 1 ! " # p ! ! $ figury i 9 blotek? 4 (A) 13 4 p 52 16 (B) 16 4 p 52 13 (C) 13 9 5 4 4 4 p 52 36 20 16 16 16 (D) p (E) p 4 16 15 14 13 16 4 1 13 4 4 1 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 2 %& '(!&) 10 (&* 20 (&+ 30 (&, x kul oznaczonych innymi literami alfabetu. Losujemy ze zwracaniem 7 razy po jednej kuli z urny. Zmienne losowe N A , N B , N C & (&# '( * + , "- x , aby zmienne losowe N A N B oraz N B N C nieskorelowane ? (A) x 25 (B) x 20 (C) x 15 (D) x 10 (E) x 50 2 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 3 . '! ! X 1 ,..., X n ,... & ! jednostajnym na przedziale [0,1] / N & 0/ oczekiwanej !& X 1 ,..., X n ,... . Niech max( X 1 ,..., X N ) gdy N 0; M 0 gdy N 0. Oblicz E (M ) . (A) E ( M ) e (B) E ( M ) e e 1 (C) E ( M ) e 1 e (D) E ( M ) 1 (E) E ( M ) 1 e 1 3 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 4 Zmienne losowe I 1 , I 2 ,..., I n ,... i X 1 , X 2 ,..., X n ,... &!1!( I i ma #) Pr( I i 1) p , Pr( I i 0) 1 p q 1! zmiennych X i # ! E ( X i ) i Var ( X i ) 2 . Niech S n i 1 I i X i , n K n i 1 I i . n . !/- ' # ( ( n . (A) Sn Kn (B) Sn Kn (C) Sn Kn (D) Sn Kn (E) Sn Kn n n n n n N (0, 2 ) N (0, p 2 ) N (0, p 2 pq 2 ) &! N (0, p 2 q 2 ) 4 Sn Kn n przy 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 5 . '! ! W1 ,W2 & ! E (Wn ) 1 / dla n 1,2 . Niech X min(W1 , W2 ) . Oblicz E (W 1 | X ) . (A) E (W 1 | X ) X 1 (B) E (W 1 | X ) X 1 2 (C) E (W 1 | X ) X 1/ 2 (D) E (W 1 | X ) 1 (E) E (W 1 | X ) min( X ,1 / ) Wskazówka: W1 X . 5 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 6 . '! ! X 1 ,..., X m , X m 1 ,..., X n '& N ( , 2 ) . Niech Xm 1 m X i /&/'2 m i 1 Xn 1 n X i /& ' n i 1 Oblicz m 2 (X i X m ) . r E i n1 ( X X )2 i n i 1 (A) r m n (B) r m 1 n2 (C) r m n 1 (D) r m 1 n 1 r m 1 n (E) 6 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 7 Niech X 1 ,..., X n '& #/ e x dla x 0; f ( x) 0 dla x 0. 1 n Xi . n i 1 .3& c ! c( X ) 2 estymatorem wariancji pojedynczej zmiennej X i . Parametr 0 jest nieznany. Niech X (A) c n 1 n (B) c n 1 n (C) c 1 (D) Nie istnieje taka liczba c (E) c n n 1 7 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 8 1! ( ( X 1 , X 2 ,..., X 100 N , 2 & wart/& & i & 2 . ! ! & ! ' / 1 0.95 dla : X 1.96 10 , X 1.96 10 . %/ X 1 , X 2 ,..., X 100 & & & Corr ( X i , X j ) 1 / 10 dla wszystkich i j . 4/ c Pr X 1.96 10 X 1.96 10 . 5 /&do 0.01). (A) c 0.99 (B) c 0.97 (C) c 0.45 (D) c 0.90 (E) c 0.85 8 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 9 Niech X & & # 0 dystrybuancie 1 x dla x 0; F ( x) 0 dla x 0. 6! ( H 0 : 1 przeciwko alternatywie H 1 : 101 na / 0.01 . Wyznacz moc tego testu. (A) moc 0.805 (B) moc 0.005 (C) moc 0.020 (D) moc 0.915 (E) moc 0.505 9 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 10 6! #( 7 X 0 , X 1 ,... X n ,... o trzech stanach: „1” , „2” i ,,3’’ który ma &&#/) 1 / 2 1 / 2 0 P 1 / 3 0 2 / 3 . 1 / 3 0 2 / 3 5/ Pij & i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza Pr( X n 1 j | X n i ) 8 . '! ! Pr( X 0 1) 1 / 6 , Pr( X 0 3) 1 / 2 . Oblicz lim Pr( X 1 1 | X n 2) . n (A) lim Pr( X 1 1 | X n 2) 2 / 5 n (B) lim Pr( X 1 1 | X n 2) 1 / 6 n (C) lim Pr( X 1 1 | X n 2) 13 / 36 n (D) lim Pr( X 1 1 | X n 2) nie istnieje n (E) lim Pr( X 1 1 | X n 2) 1 / 3 n 10 Pr( X 0 2) 1 / 3 i 13.04.2002 r. ___________________________________________________________________________ XXV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r. Arkusz odpowiedzi* 9 ............................ K L U C Z O D P O W I E D Z I .................................. Pesel ........................................... Zadanie nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * 43 A C D B B D E C E C Punktacja szczone w Arkuszu odpowiedzi. 11