Zestaw 5 - Korepetycje

Zestaw 5 - Funkcja kwadratowa
1. Wyznacz parametr b funkcji y = x2 + bx, tak, aby:
(a) do wykresu funkcji należał punkt A = (−1, 3);
(b) miejscem zerowym była liczba 4;
(c) funkcja miała tylko jedno miejsce zerowe.
2. Wyznacz parametr a funkcji y = ax2 + 3, tak, aby:
(a) do wykresu funkcji należał punkt A = (−2, −1);
(b) do wykresu należał punkt B = (1, 3);
(c) funkcja miała tylko miejsca zerowe −2 i 2.
3. Wyznacz parametr m funkcji y = mx2 + 3x + 4, tak, aby:
(a) funkcja miała dwa miejsca zerowe;
(b) funkcja miała jedno miejsce zerowe;
(c) funkcja nie miała miejsc zerowych.
4. Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję kwadratową daną w postaci ogólnej.
(a) f (x) = x2 − 2x + 3
(d) f (x) = − 14 x2 − 2x
(b) f (x) = 2x2 + 8x + 3
(e) f (x) = (x − 1)(x + 5)
(c) f (x) = −2x2 + 16x − 22
(f) f (x) = −(x − 6)(x + 4)
5. Przedstaw funkcję kwadratową w postaci iloczynowej (o ile to możliwe) Podaj miejsca
zerowe (o ile istnieją).
(a) f (x) = 3x2 + 2x
(d) f (x) = −x2 + 2x + 6
(b) f (x) = −2x2 − 8x + 10
(e) f (x) = 2(x + 1)2 − 8
(c) f (x) = − 12 x2 − 4x − 8
(f) f (x) = −(x + 5)2 + 9
6. Narysuj wykres funkcji kwadratowej i na jego podstawie omów jej własności.
(a) f (x) = −x2 − 6x − 9
(d) f (x) = −x2 + 2x
(b) f (x) = x2 + 6x + 4
(e) f (x) = 2x2 − 3
(c) f (x) = 14 x2 − 4x − +x + 18
(f) f (x) = −3x2 + 9
7. Napisz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że:
(a) do je wykresu należą punkty A(1, 3), B = (−1, −3), C = (2, 3);
(b) do jej wykresu należy punkt A = (1, 3) i dla x = 2 funkcja osiąga największą wartość y = 4;
Małgorzata Nowak
1
Zestaw 5 - Funkcja kwadratowa
(c) do jej wykresu należy punkt A = (2, 1) i dla x = 1 funkcja osiąga najmniejszą wartość y = −1;
(d) funkcja ma jedno miejsce zerowe oraz do jej wykresu należą punkty A(1, 1) oraz B = (2, 0).
(e) funkcja ma dwa miejsca zerowe 1 oraz −2 i do jej wykresu należy punkt A = (2, −8)
8. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale:
(a) f (x) = −2x2 + x − 1, x ∈< 0, 2 >
(b) f (x) = −x2 + 2x + 5, x ∈< 0, 3 >
(c) f (x) = 2x2 − 4, x ∈< 1, 2 >
(d) f (x) = x2 + 4x − 2, x ∈< −1, 2 >
(e) f (x) = 2x2 − 1, 5x + 0, 6, x ∈< −2, −1 >
(f) f (x) = x2 − 1, x ∈< 0, 1 >
9. Rozwiąż równania:
(a) x2 − 5x + 6 = 0
(f) (x + 3)2 − (x + 4)2 = 3x2
(b) x2 + 6x − 7 = 0
(g) x2 − x(2 − x) = 0
(c) 6x2 + 7x = 3
(h) (3x + 2)2 = 7(3x + 2)
(d)
3 2
4x
− 5x + 8 = 0
(e) (x + 1)(x − 1) = (x − 1)(3 − x)
(i)
1 2
9x
− 1 31 x = −2
(j) (3x − 5)(2x − 5) − x2 = 2x − 3
10. Dla jakiego parametru m równanie:
(a) x2 − 2(m + 5)x + m2 − 1 = 0, ma dwa rozwiązania;
(b) (m − 1)x2 + (m + 2)x + 14 m − 1 = 0, ma dwa rozwiązania;
(c) x2 + (2m − 1)x − 1 + m2 = 0, nie ma rozwiązań;
(d) (m + 4)x2 − (2m + 1)x + m − 1 = 0, nie ma rozwiązań;
(e) (m − 1)x2 + (2m − 1)x + m + 2 = 0, ma tylko jedno rozwiązanie;
(f) mx2 − (m − 3)x + m − 3 = 0, ma tylko jedno rozwiązanie;
11. Rozwiąż nierówności:
(a) x2 + 5 > 0
(b) x2 − 9 < 00
(c) −5x + x2 > 0
(d) (x − 2)(x + 3) > (x − 2)(2x + 5)
Małgorzata Nowak
2
Zestaw 5 - Funkcja kwadratowa
(e) (x − 4)2 + (x − 4)(x + 2) > 0
(f) − 12 (x + 1)(x − 3) 6 0
(g) 9x2 − 30x + 25 6 0
(h) −3x2 + 7x − 2 > 0
(i) (x − 3)(2x − 5) < 4x2 − 2x − 20
(j) 4x2 − 1 < (2x − 1)(x + 3)
12. Zadania różne. Rozwiąż!
(a) Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych wynosi 56. Wyznacz te liczby.
(b) Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 36. Wyznacz te liczby.
(c) Iloczyn pewnej liczby i liczby o 2 mniejszej wynosi 3. Wyznacz te liczby.
(d) Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych wynosi 308. Wyznacz te liczby.
(e) Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 155. Wyznacz te liczby.
(f) Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc, że długości przyprostokątnych różnią się o
7 cm, a jego pole wynosi 30 cm2 .
(g) Pola dwóch kwadratów różnią się o 13 cm2 . Jaką długość mają boki kwadratów?
(h) Pomyślałem pewną liczbę, podniosłem ją do kwadratu i dodałem do tego pomyślaną liczbę. Otrzymałem wtedy 90. Jaka to liczba?
(i) Szerokość dywanu jest o 5 m mniejsza od długości tego dywanu. Jakie wymiary ma dywan, jeżeli jego
powierzchnia wynosi 104 m2 ?
Małgorzata Nowak
3