plastyczność wywołana przemianami fazowymi (trip)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 499-506, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI (TRIP)
W NUMERYCZNEJ ANALIZIE NAPRĘŻEŃ HARTOWNICZYCH
JERZY ZIELNICA
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska
MICHAŁ ZIELNICA
Przemysłowy Instytut Maszyn Rolniczych PIMR, Poznań
Streszczenie. W ramach rozbudowy systemu komputerowego SYSHART,
realizującego wyznaczanie naprężeń w hartowanych elementach stalowych na
drodze numerycznej, uwzględniono zjawisko TRIP (plastyczność wywołana
przemianami fazowymi) i zbadano jego wpływ na chwilowe i szczątkowe
naprężenia. Analiza uwzględnia możliwość obliczeń elementów nawęglanych. Do
wyznaczania pól temperatur zastosowano metodę różnic skończonych, a
naprężenia wyznaczono metodą elementów skończonych. Zrealizowano przykładowe obliczenia numeryczne dla hartowanych cylindrycznych elementów maszyn
wykonanych z takich gatunków stali, które mają krzywe CTP w kształcie litery C.
1. WSTĘP
System komputerowy analizy naprężeń w hartowanych elementach maszyn o kształcie
cylindrycznym o nazwie SYSHART wykorzystuje metodę różnic skończonych i metodę
elementów skończonych do analizy pól temperatur, kinetyki przemian fazowych i naprężeń
hartowniczych przy dość ogólnych założeniach. W systemie tym uwzględniono między innymi
wszystkie podstawowe składniki przemian fazowych – ich właściwości zależą od temperatury i
stopnia przemian fazowych, a analiza dotyczy takich gatunków stali, które mają krzywe CTP
w kształcie litery C. Można prowadzić obliczenia elementów nawęglanych. Przyjęto, że zmiana
współczynnika przewodności cieplnej, ciepła właściwego i współczynnika cieplnej dyfuzji
może wpływać na względną zmianę objętości poszczególnych struktur i faz. Najistotniejszym
czynnikiem jest uwzględnienie wpływu uplastycznienia materiału na naprężenia hartownicze,
co znacznie komplikuje opis i rozwiązanie problemu z uwagi na konieczność wykorzystania
związków fizycznych odpowiedniej teorii plastyczności.
W procesach obróbki cieplnej i plastycznej stali znany jest fakt, że gdy przemiany fazowe
odbywają się z jednoczesnym występowaniem dowolnego stanu naprężeń, to odkształcenia
wywołane przemianami fazowymi εtr nie są stałe, lecz wpływ na nie ma znak i wielkość tych
chwilowych naprężeń. Gdy przemiany fazowe odbywają się w pełnym cyklu z ich
powstawaniem, zanikaniem oraz powrotem do stanu wyjściowego (przed przemianami), to
część odkształceń wywołanych przemianami fazowymi pozostaje nadal w postaci szczątkowej.
Wiąże się to ze zjawiskiem znanym jako TRIP (transformation induced plasticity), czyli
500
J. ZIELNICA, M. ZIELNICA
uplastycznienie wywołane przemianami fazowymi. Opis tego zjawiska można znaleźć w pracy
np. Jonga i in. [3]. Z fizycznego punktu widzenia zjawisko TRIP może być wywołane
anizotropowością przemian fazowych. Greenwood i Johnson [4] przeprowadzili analizę
teoretyczną, która wykazała, że w rzeczywistości anizotropia wywołuje lokalne uplastycznienie
w tych rejonach, w których występują składniki przemian fazowych o niższych własnościach
wytrzymałościowych. Stopień uplastycznienia materiału jest proporcjonalny do chwilowych
naprężeń. Wniosek ten został potwierdzony przez innych badaczy dla tych gatunków stali,
które doznają przemian fazowych od austenitu do martenzytu. Komputerowa implementacja
problemu sprężysto-plastycznej analizy naprężeń hartowniczych jest dość złożona, a
opracowany program obliczeń numerycznych, otrzymane wyniki i ich graficzna prezentacja
umożliwiają wyciągnięcie istotnych wniosków związanych z doborem parametrów procesu
hartowania elementów maszyn.
2. POLE TEMPERATUR I KINETYKA PRZEMIAN FAZOWYCH
Najistotniejszą cechą opracowanego systemu komputerowego jest uzależnienie od
temperatury i udziałów objętościowych poszczególnych struktur i faz wszystkich parametrów
opisujących fizyczne właściwości materiału. Wartości tych parametrów podlegają aktualizacji
w każdym węźle siatki podziału, zgodnego z metodą elementu skończonego, dla każdego
kroku czasowego, według schematu
U [r , t ] = U [T (r , t ), vk ( r , t ), wc ] = vk (r , t ) ⋅U k [ wc , T (r , t )]
(1)
Tutaj r jest współrzędną przestrzenną, t – czas, T – temperatura, wc- zawartość węgla.
Udziały objętościowe składników przemian fazowych wyznacza się zgodnie z prawem
wykładniczym Avramiego [1]:
vk = 1 − exp  −bk t nk  .
(2)
Współczynniki bk(T) i nk(T) można wyznaczyć z wykresu CTP dla poszczególnych gatunków
stali w oparciu o krzywe początku i końca danej przemiany fazowej. Gdy krzywe te są dane
dla udziałów objętościowych składników przemian vsk i vfk, (zwykle odpowiednio dla
zawartości 0,01 i 0,99), wówczas dla danej temperatury T mamy:
vsk = 1 − exp  −bk (T ) tsk (T ) nk (T )  ,
v fk = 1 − exp  −bk (T ) t fk (T ) nk (T )  ,
(3)
skąd
 ln (1 − vsk ) 
ln 

 ln (1 − v fk ) 
nk = nk (T ) =
,
 tsk (T ) 
ln 

 t fk (T ) 
bk (T ) = −
ln (1 − vsk )
tsk (T ) nk (T )
(4)
Intensywność zmian vk początku i końca przemian poszczególnych składników przemian
fazowych obliczamy przez zróżniczkowanie wyrażenia (2) względem czasu.
Na podstawie równań (2) i (4) i wykresu CTP, można przez interpolację obliczyć zmianę
objętości vk dowolnego składnika przemian fazowych dla każdego odcinka czasu przy stałej
PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI (TRIP) W NUMERYCZNEJ...
501
temperaturze, z których składa się ciągła krzywa chłodzenia. Po zróżniczkowaniu równania (2)
względem czasu otrzymujemy
n
dvk
= bk nk t ( nk −1) e − bk t k
dt
(5)
Dla elementów cylindrycznych podstawowe równania problemu przewodnictwa są
następujące [1]:
∂ 2T  ∂λ λ  ∂T &
λ 2 +
+ 
+ b = ρ c pT& ,
∂r
 ∂r r  ∂r
 ∂T 
λ
 = − q& (T ),
 ∂r  z
 ∂T 

 = 0,
 ∂r  0
(6)
Równania te podlegają dyskretyzacji metodą różnic skończonych zgodnie ze schematem
różnicowym:
 Ti +j1 − Ti j Ti j − Ti −j1 
∂T 1  Ti j − Ti −j1 Ti +j1 − Ti j  ∂ 2T
2
= 
+
=
+
,

,
∂r 2  ri − ri −1
ri +1 − ri  ∂r 2 − ri −1 + 2ri − ri +1  ri +1 − ri
ri − ri −1 
∂λ 1  λi j − λi −j 1 λi +j 1 − λi j 
= 
+
,
∂r 2  ri − ri −1
ri +1 − ri 
(7)
gdzie indeks dolny oznacza ‘węzeł’, a indeks górny – numer kroku czasowego. Rozwiązujemy
równanie macierzowe:
A ⋅ Tj = M ,
(8)
gdzie A jest macierzą pasmową o trzech elementach w każdym wierszu, zawierających
współczyniki Ti −j1 , Ti j i Ti +j1 z równań (7); efektem rozwiązania jest pole temperatur w każdym
węźle dla każdego kroku czasowego.
3. NAPRĘŻENIA HARTOWNICZE
Podstawą analizy są równania równowagi dla elementu cylindrycznego [1]:
dσ rϕ
σ
dσ r σ r − σ ϕ
dσ zr σ zr
+
= 0,
+ 2 rϕ = 0,
+
= 0,
(9)
dr
r
dr
r
dr
r
dla którego obowiązują następujące liniowe związki geometryczne:
du
u
du
εr = r ,
εϕ = r ,
εz = z ,
ε rϕ = εϕ z = ε rz = 0 .
(10)
dr
r
dz
ur w powyższych równaniach nie jest funkcją z, a w związku z założeniem o obrotowej
symetrii i płaskim stanie odkształcenia, uφ=0. Związki konstytutywne przyjmiemy w postaci:
1
(1 + ν )σ ij − δ ijνσ mm  + δ ij εT + ε ijp ,
E
(11)
dσ
dσ
1
1
1 dν 1 dE
− 2
(1 + ν ) ij − δ ijν mm + 
(1 + ν ) σ ij −
dt
E
dt
E
dt
 E dt E dt

p
dε
dε
 1 dν 1 dE 
−δ ij 
− 2
ν  σ mm + δ ij T + ij .
dt
dt
 E dt E dt 
(12)
ε ij =
a w postaci przyrostowej mamy:
d ε ij
=
502
J. ZIELNICA, M. ZIELNICA
Tutaj
6
T
6
k =1
0
k =2
ε T = ∑ vk ∫ α K ( T , wc ) dT + ∑ vk ε trk ,
(13)
T
6 
d εT
dv
dT  6 dvk
ε trk .
= ∑  k ∫ α k (T , wc )dT + vkα k (T , wc )
+∑
dt
dt  k = 2 dt
k =1  dt 0
Stowarzyszone prawo płynięcia plastycznego ma postać [2]:
d ε ijp
dt
=Λ
∂F
,
∂σ ij
 ∂σ ij dT 6 ∂σ f dvk 
∂F  dσ ij dα ij 
−
−
2
+∑
σ



f 
∂σ ij  dt
dt 
dT
dt
dt 
k =1 ∂vk

Λ=
,
∂σ f
2
∂F ∂F
⋅ 2σ f
⋅
3
∂ε p
∂σ ij ∂σ ij
(14)
gdzie parametr wzmocnienia kinematycznego α ij i naprężenie efektywne są określone
zależnościami:
α ij = β H ' ε ijp ,
6
σ ef = σ Y + (1 − β ) H ' ε p = σ Y + (1 − β ) ∑ vk H k' κ k .
(15)
k =1
Wielkości powyższe odpowiadają biliniowej charakterystyce wzmocnienia materiału [1].
4. PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI TRIP
Gdy przemiany fazowe odbywają z
jednoczesnym występowaniem pola naprężeń,
to odkształcenia wywołane przemianami
fazowymi εtr nie są stałe, lecz wpływ na nie ma
znak i wielkość chwilowych naprężeń.
Pełen cykl przemian fazowych (powstawanie,
zanikanie oraz powrót do stanu wyjściowego
przed przemianami) powoduje pozostanie w
postaci szczątkowej części odkształceń
wywołanych przemianami fazowymi. Wiąże
się to ze zjawiskiem znanym jako TRIP
(TRansformation Induced Plasticity), czyli
plastyczność
wywołana
przemianami
fazowymi [1]. Z fizycznego punktu widzenia
zjawisko TRIP może być wywołane anizotropowością przemian fazowych. Greenwood i
Johnson wykazali, że anizotropia wywołuje
lokalne uplastycznienie w tych strefach
hartowanych elementów, w których występują
Rys. 1 Schemat efektu TRIP [6]
składniki przemian fazowych o niższych
własnościach wytrzymałościowych. Na rys. 1
pokazano przykładowo efekt TRIP dla przemiany austenityczno-ferrytycznej podczas
odkształcenia plastycznego. W obszarze koncentracji naprężeń austenit szczątkowy (rys. 1a)
PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI (TRIP) W NUMERYCZNEJ...
503
przemiania się w martenzyt (rys. 1b), a w kolejności przemianie podlegają sąsiadujące obszary
(rys. 1c) i dlatego uzyskuje się duże wydłużenie.
Poniżej, na rysunku 2, przedstawiono schemat zmian mikrostruktury podczas odkształcenia
trzech typów stali TRIP [6].
(a) Klasyczny efekt TRIP występujący w
stalach austenitycznych o wysokiej
wytrzymałości i plastyczności. Struktura
to austenit i martenzyt postały wskutek
plastycznego odkształcenia.
(b) Stale z podwyższoną zawartością
niklu (6-9%) stosowane dla potrzeb
kriogeniki. Tutaj austenit szczątkowy
znajduje się w osnowie złożonej z
odpuszczonego martenzytu, gdzie w
wyniku odkształcenia i efektu TRIP
powstają listwy świeżego martenzytu.
(c) Przeniesienie efektu TRIP na stale
niskowęglowe z dod. krzemu i manganu.
Mikrostruktura to bainitu w osnowie
ferrytu
i
austenitu
szczątkowego
ulokowanego w pobliżu bainitu.
Rys. 2 Schemat zmian mikrostruktury TRIP
Zjawisko TRIP jest w systemie uwzględnione przez dodanie składnika d ε ijtp / dt ,
wynikającego z przemianą od austenitu do fazy k, w podstawowych równaniach
konstytutywnych (przyrostowych):
d ε ij
dt
=
d ε ije
dt
+
d ε ijth
dt
+
d ε ijtr
dt
d ε ijtp
dt
+
d ε ijcp
dt
+
d ε ijtp
dt
= 3K (1 − vk )
,
dvk
dt
(16)
1


 σ ij − δ ijσ mm  ,
3


(17)
gdzie vk =v6 jest udziałem objętościowym martenzytu występującego w danej chwili czasu; K
jest pewną stałą. Wartość tej stałej wg [4] dla badanych stali mieści się w granicach 45⋅10-12
m2/N do 50⋅10-12 m2/N. Ogólnie można przyjąć, że równanie (17) jest ważne dla wszystkich
składników przemian fazowych. Uwzględnienie składnika d ε ijtp / dt w analizie teoretycznej, w
procedurze numerycznej zmodyfikuje wektor dε o / dt w równaniu przyrostowym
 dε dε o 
dσ
= Dt ⋅  −
,
dt
 dt dt 
(18)
do postaci
T
o
dε o  d ε ro d εϕ d ε zo 
=
 ,
dt  dt dt dt 
(19)
504
J. ZIELNICA, M. ZIELNICA
gdzie
1 dE
1
d ε ro
σ r − ν (σ ϕ + σ z )  − dν (σ ϕ + σ z ) +
=− 2
 E dt
dt
E dt 
(20)
6
1
dν k 
dQ dF d εT

+3K ∑ ( −ν k )
σ r − (σ r + σ ϕ + σ z ) + P
+
,
dt 
3
dt dσ r
dt

k =2
d εϕo
1 dE
1 dν
σ ϕ − ν (σ r + σ z ) −
(σ r + σ z ) +
2
E dt
E dt
6
dν 
1
dQ dF d ε T

+3K ∑ (1 − ν k ) k σ ϕ − (σ r + σ ϕ + σ z ) + P
+
,
dt 
3
dt dσ ϕ
dt

k =2
(21)
1 dE 
d ε zo
 − 1 dν (σ ϕ + σ r ) +
=− 2
σ
−
ν
σ
+
σ
(
)
ϕ
z
r
 E dt
dt
E dt 
6
1
dν 
dQ dF d ε T

+3K ∑ (1 − ν k ) k σ z − (σ r + σ ϕ + σ z ) + P
+
.
dt 
3
dt dσ z
dt

k =2
(22)
dt
=−
Zdefiniowany wektor dε o / dt - uwzględniający zjawisko TRIP, zastępuje poprzedni wektor –
nie uwzględniający tego zjawiska.
5. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH I WNIOSKI
Wykresy, rys. 3–6, przedstawiają przykładowo wyniki obliczeń numerycznych dotyczących
analiz przebiegu naprężeń w stanach sprężysto-plastycznych dla procesu hartowania stalowego
wałka φ19 z uwzględnieniem zjawiska TRIP. Przyjęto wodę jako ośrodek chłodzący. Dane
materiałowe odpowiadają stali 12HN2.
Wykresy na rysunkach 3, 4 i 5 przedstawiają wyniki rozwiązań sprężysto-plastycznych
obrazujących przebiegi składowych naprężeń promieniowych (rys. 3), obwodowych (rys. 4) i
wzdłużnych (rys. 5) jako funkcji czasu dla pięciu współrzędnych promieniowych (r=0, 2, 4, 6,
8 mm). Analiza dotyczy wałka nawęglanego, przy zawartości węgla zmieniającej się wzdłuż
promienia r. Na wykresach wyraźnie widać „zaburzenia” przebiegu naprężeń w zakresie 5-15s,
w którym to okresie czasu odbywają się intensywne przemiany fazowe.
200
rozwiązanie SPR-PLAST
wałek nawęglany, chł.w.
przebiegi s r
Naprężenie sr [MPa]
100
r = 6 mm
r = 8 mm
r = 4 mm
0
r = 2 mm
r = 0 mm
-100
-200
bez TRIP
-300
0
10
20
30
40
50
Czas [s]
Rys. 3 Przebiegi naprężeń promieniowych σr jako funkcji czasu dla różnych promieni r
(rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)
PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI (TRIP) W NUMERYCZNEJ...
505
Nadmienić należy, że przedstawione wyniki mają charakter ogólny, gdyż w analizie uwzględniono przemianę austenitu na wszystkie składniki przemian fazowych, tj. ferryt, perlit,
cementyt, bainit i martenzyt. Dla porównania na wykresach zaznaczono również krzywe (linia
przerywana) odpowiadające rozwiązaniu bez uwzględnienia zjawiska TRIP.
400
rozwiązanie SPR-PLAST
wałek nawęglany, chł.w.
przebiegi sf
Naprężenie s f [MPa]
200
r = 4 mm
r = 6 mm
0
r = 2 mm
r = 0 mm
-200
bez TRIP
r = 8 mm
-400
0
10
20
30
40
50
Czas [s]
Rys. 4 Przebiegi naprężeń obwodowych σϕ jako funkcji czasu dla różnych promieni r
(rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)
rozwiązanie SPR-PLAST
wałek nawęglany, chł.w.
przebiegi s z
400
r = 6 mm
Naprężenie sz [MPa]
200
r = 2 mm
r = 4 mm
0
r = 0 mm
-200
r = 8 mm
-400
bez TRIP
-600
0
10
20
30
40
50
Czas [s]
Rys. 5 Przebiegi naprężeń wzdłużnych σz jako funkcji czasu dla różnych promieni r
(rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)
Wykres na rys. 6 przedstawia z kolei przebiegi naprężeń zredukowanych, ich poziom
maksymalny przekracza granicę plastyczności materiału, którą przyjęto równą 200MPa. Jak
pokazują otrzymane wyniki, uwzględnienie zjawiska TRIP w procesie hartowania stalowych
elementów dość istotnie wpływa na poziom naprężeń chwilowych i szczątkowych, co
506
J. ZIELNICA, M. ZIELNICA
400
rozwiązanie SPR-PLAST
wałek nawęglany, chł.w.
przebiegi sre d
Naprężenie sred [MPa]
bez TRIP
300
r = 8 mm
200
r = 4 mm
100
r = 6 mm
r = 2 mm
0
r = 0 mm
0
10
20
30
40
50
Czas [s]
Rys. 6 Przebiegi naprężeń zredukowanych σred jako funkcji czasu dla różnych promieni r
(rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)
szczególnie uwidacznia się w środkowym i końcowym okresie procesu chłodzenia. Różnice
wartości naprężeń zredukowanych z uwzględnieniem i bez uwzględnienia efektu TRIP są poza
tym większe w warstwie przypowierzchniowej (dla r=8 mm) niż wewnątrz elementu.
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Fletcher A. J.: Thermal Stress and Strain Generation in Heat Treatment, Elsevier Applied
Science, London, New York, 1989.
Inoue T., Raniecki B.: J. Soc. Met. Sci. 1977, vol. 26, p. 105-117.
Jong M, Rathenau G. W., Acta Metallurgica, Vol 7, 1959, p. 246-253.
Grenwood G. W., Johnson R. H., Proc Roy Soc, Vol 238A, 1965, p. 403-422.
Sjöström S.: Interactions and constitutive models for calculating quench stresses in steel,
Materials Science and Technology, 1995, nr 4, s. 823-830.
Popławski M., Rola austenitu szczątkowego w kształtowaniu własności mechanicznych
średniowęglowych stali hartowanych bainitycznie. Rozprawa doktorska, Poznań 2004.
Woelke J., Zielnica J.: The influence of cooling rates on the distribution of the structure
and phase in harhened cylindrical elements. Archive Appl. Mech., 1997, 67, p. 422-432.
TRANSFORMATION INDUCED PLASTICITY
IN NUMERICAL ANALYSIS OF QUENCHING STRESSES
Summary. Transformation induced plasticity effect was included in the
SYSHART computer system which computes quenching stresses in steel machine
elements. Finite difference method was used to determine temperature distribution
and phase transformation kinetics and the finite element method was used to
determine quenching stresses. Numerical results are presented in diagrams for
those steel grades which present the C- shaped TTT curves.