Jak zdać maturę z matematyki?

 DARIUSZ KULMA
?
Jak zdać maturę
z matematyki
na poziomie rozszerzonym
DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO!
WYDAWNICTWO – ELITMAT
Mińsk Mazowiecki 2013
Autor: Dariusz Kulma
Opracowanie redakcyjne: Małgorzata Zakrzewska
Projekt graficzny okładki: Paulina Kotomska
Projekt graficzny i skład komputerowy: Paulina Kotomska
Druk i oprawa:
Drukarnia Beltrani Sp. J.
ul. Śliwkowa 1
31-982 Kraków
tel. 012 262 91 43
W książce wykorzystano zadania udostępnione przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.
Fotografie z www.fotolia.com: © jolopes - id. 47920777; © agsandrew - id. 50762521;
© Fernando Batista - id. 18465344; © Pavel Ignatov - id. 34613575; © Poles – id. 49995593; © Mopic id. 37977608; © zongo - id. 43134490; © Victoria Kalinina - id. 34291472; © EtiAmmos - id. 21178418; ©
Pavel Timofeev - id.36645670; © Sergey Nivens - id. 35193521; © JiSIGN - id. 34836076; kharlamova_lv
- id. 47907680
Zdjęcie autora na okładce: Piotr Bernaś
Copyright by Firma Edukacyjno – Wydawnicza ELITMAT Dariusz Kulma
Wydanie: Firma Edukacyjno – Wydawnicza ELITMAT Dariusz Kulma
Plac Kilińskiego 7/4, 05-300 Mińsk Mazowiecki
tel. 51-77777-51
e-mail: [email protected] , www.elitmat.pl
Mińsk Mazowiecki 2013. Wydanie pierwsze.
ISBN: 978-83-63975-02-9
Wszystkie książki wydawnictwa są dostępne w sprzedaży wysyłkowej.
Zamówienia prosimy składać przez stronę
www.jakzdacmaturezmatematyki.pl
bądź na adres [email protected]
Wstęp, który przeczytaj koniecznie!
Wtedy będziesz wiedział: co? jak? dlaczego? po co? i kiedy?
Drogi Maturzysto 
Na wstępie chciałem Ci pogratulować. Cieszę się, że zamierzasz zdawać matematykę na poziomie rozszerzonym. Dlaczego się cieszę? Dlatego, że chcesz zdawać maturę z przedmiotu, który w obecnych czasach
otwiera drzwi na najlepsze kierunki studiów. Ktoś może zapytać dlaczego takie kierunki są najlepsze.
Co roku „The Wall Street Journal” publikuje ranking zawodów. Wśród dziesiątki najlepszych od wielu lat
królują zawody matematyczne lub wykorzystujące matematykę. Matematyk, programista, aktuariusz
(specjalista od oceny ryzyka ubezpieczeń), statystyk, analityk systemów komputerowych. W 2009 roku trzy
pierwsze zawody w tym rankingu były związane z matematyką. Pamiętajmy, że to, co dzieje się i kształtuje
w gospodarce i na rynku pracy w Stanach Zjednoczonych, będzie również miało miejsce po kilku latach
w Polsce. A tak naprawdę już się tak dzieje, ponieważ specjaliści po kierunkach technicznych nie mają
z reguły problemów ze znalezieniem pracy. Rynek pracy zdecydowanie odwraca się od kierunków humanistycznych.
Książka, którą trzymasz w ręku, jest zbiorem wielu doświadczeń i obserwacji. Jak pewnie zauważyłeś,
matura z matematyki na poziomie rozszerzonym jest o wiele trudniejsza od tej z poziomu podstawowego. Największe problemy sprawia uczniom fakt, że w odróżnieniu od matury na poziomie podstawowym, nie ma tak dużej ilości maturalnych „pewniaków”. Często spotykam się z pytaniami: „Na jakie
zadania postawić? Czego uczyć się w pierwszej kolejności? Co będzie na pewno?”
Może Cię zmartwię, ale w maturze rozszerzonej takich stuprocentowych pewniaków praktycznie nie ma.
Jest jednak pewien kanon zadań powtarzających się dość często np. równanie trygonometryczne, równanie kwadratowe z parametrem czy nierówność z podwójną wartością bezwzględną. Dokonałem analizy
wszystkich zadań maturalnych z ostatnich 5-6 lat z każdego z terminów i okazało się, że można wybrać
takie zagadnienia, które powtarzają się cyklicznie. Częściej lub rzadziej, ale jednak. Zadania zamieszczone
w tej książce nawiązują do wszystkich tych zagadnień.
Czym ta książka różni się od innych?
Po pierwsze tym, że „Jak zdać maturę z matematyki na poziomie rozszerzonym” to specjalny system
przygotowań, który sprawdza się na kursach i zajęciach, które prowadzę. To kilkanaście lat pracy i zbierania
doświadczeń, obserwacji, których dokonałem na dziesiątkach tysięcy lekcji, jakie przeprowadziłem. Dzięki
systemowi przygotowanie jest naprawdę skuteczne. Każdego roku staram się system udoskonalać.
Książka w 11 działach zawiera w części zasadniczej 202 zadania omówione krok po kroku. W każdym
zadaniu zostały wyodrębnione poszczególne etapy i czynności, które trzeba wykonać, aby łatwiej Ci było
dokonać analizy. Zadania zostały ułożone parami. Pierwsze zadanie (z numerem nieparzystym) jest
zadaniem do analizy. Krok po kroku analizujesz dane zadanie obserwując jak zostało ono rozwiązane.
Drugie zadanie (z numerem parzystym) jest zadaniem sprawdzającym do samodzielnego wykonania,
które jest podobne, często prawie identyczne, a czasami nawiązujące tylko w jakimś stopniu do zadania
do analizy. W ten sposób będziesz mógł samodzielnie wyćwiczyć nowe umiejętności i sprawdzić czy już
to umiesz. Na kolejnych stronach znajdziesz rozwiązanie krok po kroku tego zadania, aby potwierdzić
czy wszystko dobrze rozumiesz i wykonujesz. W żadnej innej książce zadania nie są ułożone w ten sposób.
To naprawdę będzie efektywnie działać, a wykonane samodzielnie zadania będą utwierdzały Cię w przekonaniu, że idziesz w dobrą stronę.
3
Na początku każdego działu znajdziesz ważne informacje i najważniejsze wzory z danego działu. Wiele
wzorów czy zagadnień rozszerza treści tablic matematycznych i warto z nich korzystać, bo często pozwolą
Ci w szybszy sposób rozwiązać zadanie. Nigdy nie omijaj tej części. Przejrzyj wzory i przypomnij sobie np.
które wzory już znasz, a których jeszcze nigdy nie używałeś przy rozwiązywaniu zadań.
Nie wszystkie zadania są zadaniami, które mogłyby znaleźć się na maturze, ale musiały zostać umieszczone
w tej książce, aby tworzyła spójną całość i byś mógł łatwiej zrozumieć dany materiał. Dlatego nie omijaj
żadnych zadań. Zrób nawet te, które wydają Ci się łatwe, jak i te, które sprawiają Ci trudność. Wszystko
dasz radę zrozumieć – tylko bądź konsekwentny w swoich maturalnych przygotowaniach.
Ostatnim filarem systemu są powtórki poszczególnych zagadnień czy rodzajów zadań w odpowiednich odstępach czasowych. Nawiązuje to do odkryć specjalistów od psychologii poznawczej Hermanna
Ebbinghausa i Tonego Buzana. Pierwszy z nich zauważył zależność zapominania materiału w czasie
i konieczność odpowiedniej ilości powtórek, których powinno być 6-7, by dane zagadnienia pamiętać
trwale. Tony Buzan zauważył, że powtórki te będą jeszcze skuteczniejsze, gdy będą w określonym momencie. W naszej książce pierwsza powtórka to zadanie sprawdzające. Kolejne będą wtedy, gdy będziesz
rozwiązywał zadania z podsumowań, które znajdują się na końcu każdego z działów. Podsumowania
składają się w około połowie z zadań testowych i w połowie z otwartych. Wszystkie dotyczą zagadnień
z poziomu rozszerzonego. Znajdziesz w nich zadania odnoszące się do wszystkich poprzednich działów w Podsumowaniu nr 1 będą zadania tylko z pierwszego działu, ale już w Podsumowaniu nr 5 z poprzednich
pięciu. Dzięki temu cały czas będziesz pamiętał zadania, które powtarzałeś wcześniej. I tak do samej
matury! Przy poszczególnych zadaniach w podsumowaniach znajdziesz wskazówki. Najczęściej jest to numer zadania podobnego, a czasem tylko informacja, gdzie szukać wskazówki. Do wszystkich tych zadań
znajdziesz odpowiedzi na końcu książki, a nawet rozwiązania krok po kroku, gdy zadanie jest dowodem
lub innym zadaniem na wykazywanie. W innych książkach, gdy spotykamy dowody najczęściej nie ma
odpowiedzi, ani żadnego rozwiązania. W tej książce jest inaczej.
I jeszcze jedno! Nie bój się dowodów. Zadania tego typu uczą Cię uogólniać matematyczne fakty, są bardzo
rozwijające i pobudzające Twoją kreatywność. Staraj się zadań tego typu rozwiązywać jak najwięcej.
Książka przeznaczona jest również do matury w 2015 i kolejnych latach. Budowa matury będzie trochę
inna. Pojawią się zadania testowe i zadania kodowane. Treści jednak obowiązujące oraz stopień trudności
w ogromnej większości pozostaną takie same. Zmienia się zakres materiału, ale nie będzie go mniej
tylko więcej. Treści obowiązujące do matury 2015 zostały zamieszczone w dziale 11. Tam znajdziesz między
innymi zadania z rachunku różniczkowego czy obliczania granic.
Zostało mi życzyć Ci pracowitości i wytrwałości, bo nie ma złotych środków w przygotowaniach bez tych
cech. A sukces sam wtedy przyjdzie! I to większy niż myślisz! 
Powodzenia!
4
SPIS TREŚCI
str
1. LICZBY RZECZYWISTE
7
PODSUMOWANIE NR 1
37
2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
39
PODSUMOWANIE NR 2
3. FUNKCJE
PODSUMOWANIE NR 3
4. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
PODSUMOWANIE NR 4
5. CIĄGI LICZBOWE
PODSUMOWANIE NR 5
6. TRYGONOMETRIA
PODSUMOWANIE NR 6
7. PLANIMETRIA
67
69
87
89
105
107
121
123
137
139
PODSUMOWANIE NR 7
155
8. GEOMETRIA KARTEZJAŃSKA
157
PODSUMOWANIE NR 8
9. STEREOMETRIA
PODSUMOWANIE NR 9
10. STATYSTYKA, PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PODSUMOWANIE NR 10
173
175
191
193
213
11. Wybrane zagadnienia z materiału obowiązującego na egzaminie maturalnym 2015 roku. 215
PODSUMOWANIE NR 11
ODPOWIEDZI DO PODSUMOWAŃ NR 1 - 11
229
231
2 Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne to, najprościej można powiedzieć, wyrażenie z jednym lub większą ilością symboli
połączonych ze sobą znakami działań np.: 2yx2 czy 3 ab . Ważnym elementem tego działu są wzory skróconego mnożenia. Z tego powodu do tego działu zostały przeniesione przykłady z ich wykorzystaniem.
Podstawowe wzory skróconego mnożenia
WZORY Z PRZYKŁADAMI
^a - b h2 = a2 - 2ab + b2
^ 4x - 3 h2 = ^ 4x h2 - 2 $ 4x $ 3 + 32 = 16x2 - 24x + 9
^a + b h2 = a2 + 2ab + b2
2
2
^3 + 2 2 h = 32 + 2 $ 3 $ 2 2 + ^2 2 h = 9 + 12 2 + 8 = 17 + 12 2
^a - b h^a + b h = a2 - b2
2
^2 - 3 h^2 + 3 h = 22 - ^ 3 h = 4 - 3 = 1
^a - b h3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
^ x - 2y h3 = x3 - 3 $ x2 $ 2y + 3 $ x $ ^2y h2 - ^2y h3 = = x3 - 6x2 y + 12xy2 - 8y3
^a + b h3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
^2x + 5 h3 = ^2x h3 + 3 $ ^2x h2 $ 5 + 3 $ 2x $ 52 + 53 = 8x3 + 60x2 + 150x + 125
a3 - b3 = ^a - b h^a2 + ab + b2 h
x3 - 8 = x3 - 23 = ^ x - 2 h^ x2 + 2x + 4 h
a3 + b3 = ^a + b h^a2 - ab + b2 h
x3 + 27 = x3 + 33 = ^ x + 3 h^ x2 - 3x + 9 h
39
Wyrażenia algebraiczne.
a n - 1 = ^a - 1 h^1 + a + f + a n - 1 h
x5 - 1 = ^ x - 1 h^1 + x + x2 + x3 + x 4 h
a n - b n = ^a - b h^a n - 1 + a n - 2 b + f + an - k bk - 1 + f + abn - 2 + b n - 1 h
x5 - 32 = x5 - 25 = ^ x - 2 h^ x 4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 h
^ x + y + z h2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz
^2 + a + b h2 = 4 + a2 + b2 + 4a + 4b + 2ab
Wykazywanie równań i nierówności
Jednym z najbardziej podstawowych dowodów w wyrażeniach algebraicznych jest zależność:
/
x+
x d R+
1
x
$2
Udowodnijmy zależność zarówno algebraicznie jak i graficznie.
PRZYKŁAD
Wykaż, że dla każdej liczby x d R + zachodzi zależność
x+
1
x
$2
x+
1
x
$2
|$ x
x2 + 1 $ 2x
x2 - 2x + 1 $ 0
^ x - 1 h2 $ 0
Kwadrat różnicy jest zawsze nieujemny.
/
x d R+
^ x - 1h2 $ 0
To bardzo ważna zależność, do której wielokrotnie
będziemy się odwoływać i to nie tylko w tym dziale.
Analogicznie możemy zapisać:
40
/
x, y d R +
y
x
y + x
$2
Wyrażenia algebraiczne.
ZADANIE 39. ZADANIE do analizy.
Udowodnij, że dla każdego a i b wyrażenie a 4 $ b ^2a2 - b h jest prawdziwe.
ROZWIĄZANIE
Opuszczamy nawias, porządkujemy i zapisujemy
wyrażenie jako kwadrat różnicy, który jest zawsze nieujemny
a 4 $ 2a2 b - b2
a 4 - 2a2 b + b2 $ 0
^a2 - b h2 $ 0
/
a, b d R
ZADANIE 40. Wykaż, że nierówność
^a2 - b h2 $ 0
d
ZADANIE sprawdzające.
4 a4 + b4
2
$
2
a +b
2
2
4 pkt
sierpień 2010
jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b .
ROZWIĄZANIE
ZADANIE 41. ZADANIE do analizy.
3 pkt
czerwiec 2012
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność ac + bd # a2 + b2 $ c2 + d2
ROZWIĄZANIE
Podnosimy nierówność stronami do kwadratu,
porządkujemy przenosząc wyrażenia na jedną stronę
oraz przedstawiamy jako kwadrat różnicy, który jest
zawsze nieujemny
ac + bd # a2 + b2 $ c2 + d2 | 2
a2 c2 + 2abcd + b2 d2 # ^a2 + b2 h^c2 + d2 h
a2 c2 + 2abcd + b2 d2 # a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2
2abcd - a2 d2 - b2 c2 # 0 |$ ^- 1 h
a2 d2 - 2abcd + b2 c2 $ 0
^ad - bc h2 $ 0
/
a, b, c, d d R
ZADANIE 42. ^ad - bc h2 $ 0
d
ZADANIE sprawdzające.
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb k, l, m, n prawdziwa jest nierówność
k2 m2 + l2 n2 # k 4 + l 4 $ m 4 + n 4 .
ROZWIĄZANIE
41
Wyrażenia algebraiczne.
ODPOWIEDZI.
odpowiedź do ZADANIA 40.
Wykaż, że nierówność
4 a4 + b4
2
$
4 pkt
2
a +b
2
2
sierpień 2010
jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b .
ROZWIĄZANIE
Podnosimy nierówność stronami do czwartej
potęgi, porządkujemy przenosząc wyrażenia
na jedną stronę oraz przedstawiamy jako kwadrat
różnicy, który jest zawsze nieujemny
4 a4 + b4
2
4
4
4
4
a +b
2
a +b
2
4
2
a +b
2
2
2 2
a +b
$` 2 j
$
4
2
2 2
|4
4
a + 2a b + b
4
4
4
2 2
$
|$ 4
2a + 2b $ a + 2a b + b 4
a 4 - 2a2 b2 + b 4 $ 0
^a2 - b2 h2 $ 0
/
a, b d R
^a2 - b2 h2 $ 0
d
odpowiedź do ZADANIA 42.
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb k, l, m, n prawdziwa jest nierówność
k2 m2 + l2 n2 # k 4 + l 4 $ m 4 + n 4 .
ROZWIĄZANIE
Podnosimy nierówność stronami do kwadratu,
porządkujemy przenosząc wyrażenia na jedną
stronę oraz przedstawiamy jako kwadrat różnicy,
który jest zawsze nieujemny
k2 m2 + l2 n2 # k 4 + l 4 $ m 4 + n 4
|2
k 4 m 4 + 2k2 m2 l2 n2 + l 4 n 4 # ^k 4 + l 4 h^m 4 + n 4 h
k 4 m 4 + 2k2 m2 l2 n2 + l 4 n 4 # k 4 m 4 + k 4 n 4 + l 4 m 4 + l 4 n 4
- k 4 n 4 + 2k2 m2 l2 n2 - l 4 m 4 # 0 |$ ^- 1 h
k 4 n 4 - 2k2 m2 l2 n2 + l 4 m 4 $ 0
^k2 n2 - l2 m2 h2 $ 0
/
k, l, m, n d R
42
^k2 n2 - l2 m2 h2 $ 0
d
Wyrażenia algebraiczne.
ZADANIE 43. ZADANIE do analizy.
Wykaż, że nierówność log a b + 10 + 9 log b a $ 4 jest prawdziwa dla każdego a d ^0; 1 h i b d ^0; 1 h.
ROZWIĄZANIE
1° Korzystamy ze wzoru log b a =
nierówność
1
log a b
i porządkujemy
9
ab
$0
9
log a b
$0
log a b + 6 + log
2° Jeśli a d ^0; 1 h i b d ^0; 1 h, to log a b jest dodatni,
więc usuwamy mianownik mnożąc stronami
log a b + 6 +
3° Nierówność można przedstawić jako kwadrat sumy,
który jest zawsze nieujemny
^log a b + 3 h2 $ 0
ZADANIE 44. |$ log a b
log 2a b + 6 log a b + 9 $ 0
ZADANIE sprawdzające.
Wykaż, że dla x d ^0; 1h prawdziwa jest nierówność 5 ^2 + 5 log x 2 h # log 2 1x .
ROZWIĄZANIE
43
Wyrażenia algebraiczne.
ODPOWIEDZI.
odpowiedź do ZADANIA 44.
Wykaż, że dla x d ^0; 1h prawdziwa jest nierówność 5 ^2 + 5 log x 2 h # log 2 1x .
ROZWIĄZANIE
Przekształcamy nierówność tak, aby przedstawić ją
w postaci kwadratu
10 + 25 log x 2 # - log 2 x
10 + 25 log x 2 + log 2 x # 0
25
10 + log
2x
+ log 2 x # 0
|$ log 2 x
UWAGA! Wyrażenie log 2 x dla x d ^0; 1h jest liczbą ujemną.
10 log 2 x + 25 + log 22 x $ 0
log 22 x + 10 log 2 x + 25 $ 0
^log 2 x + 5 h2 $ 0
/
^log 2 x + 5 h2 $ 0
x d ^ 0; 1 h
NOTATKI
44
d
Wyrażenia algebraiczne.
ZADANIE 45. ZADANIE do analizy.
Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 9, to a 4 + b 4 = 49.
ROZWIĄZANIE
1° Przekształcamy pierwsze równanie,
podnosząc stronami do kwadratu
a2 + b2 = 9 | 2
a 4 + 2a2 b2 + b 4 = 81
a 4 + b 4 = 81 - 2 ^ab h2
2° Przekształcamy drugie równanie,
podnosząc stronami do kwadratu
a+b = 1 |2
a2 + 2ab + b2 = 1
a2 + b2 + 2ab = 1
\
9
3° Podstawiamy wyznaczoną wartość
do pierwszego równania
2ab =- 8
ab = - 4
|: 2
a 4 + b 4 = 81 - 2 $ ^- 4 h2
a 4 + b 4 = 81 - 32
a 4 + b 4 = 49
d
ZADANIE 46. ZADANIE sprawdzające.
Oblicz x 4 + y 4 , jeśli x2 + y2 = 26 oraz x + y = 2 .
ROZWIĄZANIE
45
Wyrażenia algebraiczne.
ODPOWIEDZI.
odpowiedź do ZADANIA 46.
Oblicz x 4 + y 4 , jeśli x2 + y2 = 26 oraz x + y = 2 .
ROZWIĄZANIE
1° Przekształcamy pierwsze równanie,
podnosząc stronami do kwadratu
x2 + y2 = 26 | 2
x 4 + 2x2 y2 + y 4 = 676
x 4 + y 4 = 676 - 2 ^ xy h2
2° Przekształcamy drugie równanie,
podnosząc stronami do kwadratu
x+y = 2 |2
x2 + 2xy + y2 = 4
x2 + y2 + 2xy = 4
S
26
3° Podstawiamy wyznaczoną wartość
do pierwszego równania
2xy =- 22 |: 2
xy = - 11
x 4 + y 4 = 676 - 2 $ ^- 11 h2
x 4 + y 4 = 676 - 242
x 4 + y 4 = 434
d
NOTATKI
46
Wyrażenia algebraiczne.
ZADANIE 47. ZADANIE do analizy.
Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami dodatnimi oraz ab = 1 , to ^a + 3 h^b + 3h $ 16.
ROZWIĄZANIE
1° Wyznaczamy b =
nierówności
1
a
i podstawiamy do lewej strony L = ^a + 3 h^b + 3 h = ^a + 3 h^ 1a + 3 h =
3
a
2° Upraszczamy i redukujemy
= 1 + 3a +
3° Wyłączamy 3 przed nawias
= 10 + 3 ^a + a h $ 16 $ P
\
3
a
+ 9 = 10 + 3a +
=
1
d
$2
W nawiasie otrzymaliśmy sumę odwrotności dwóch liczb
dodatnich, która jest zawsze większa bądź równa 2.
ZADANIE 48. ZADANIE sprawdzające.
3 pkt
czerwiec 2013
Uzasadnij, że jeżeli 2a + b $ 0 , to 2a3 + b3 $ 3a2 b .
ROZWIĄZANIE
ZADANIE 49. ZADANIE do analizy.
Wykaż, że dla dowolnych x, y, z ! R + wyrażenie ^ x + y + z h $ ` 1x + 1y + 1z j $ 9 .
ROZWIĄZANIE
1
L = ^ x + y + z h` x +
1
y
1
+ zj= 1+
x
y
+
x
z
+
y
x
+1+
y
z
+
z
x
+
z
y
+1 = 3+
y
x
y
x
$2
ZADANIE 50. z
y
z
+ x + z + x + z +y $9$P
[ [ [
$2
$2
d
ZADANIE sprawdzające.
Uzasadnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie i a + b + c = 2 to
1
a
+
1
b
+
1
c
1
$42.
ROZWIĄZANIE
47
Wyrażenia algebraiczne.
ODPOWIEDZI.
odpowiedź do ZADANIA 48.
3 pkt
czerwiec 2013
Uzasadnij, że jeżeli 2a + b $ 0 , to 2a3 + b3 $ 3a2 b .
ROZWIĄZANIE
b
1° Wyznaczamy a i b z warunku
a $- 2 ; b $- 2a
2° Przekształcamy lewą stronę
nierówności
L = 2a3 + b3 = 2a2 $ a + b $ b2
3° Podstawiamy wyznaczone
wartości a i b
2a2 $ a + b $ b2 = 2a2 $ ^- 2 h + b $ (- 2a) 2 $ - a2 b + 4a2 b $ 3a2 b $ P
b
d
odpowiedź do ZADANIA 50.
Uzasadnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie i a + b + c = 2 , to
1
a
+
1
b
+
1
c
1
$42.
ROZWIĄZANIE
1
a
+
1
b
+
1
c
1
|$ ^ a + b + c h
$42
1
^a + b + c h^ a +
1
b
1
1
+ c h $ 4 2 $ ^a + b + c h
1 44 2 44 3
2
1
^a + b + c h^ a +
L = 1+
a
b
+
a
c
+
1
b
1
+ ch$ 9
b
a
+1+
b
c
+
c
a
+
c
b
+1 = 3+
a
b
b
$2
48
b
c
a
c
+a + c +b+ c +a $9$P
[
[ [
$2
$2
d
Wyrażenia algebraiczne.
ZADANIE 51. ZADANIE do analizy.
Uzasadnij, że jeżeli x + y + z = 0 , to x3 + y3 + z3 = 3xyz .
ROZWIĄZANIE
1° Wyznaczamy z z pierwszego równania
z =- x - y
2° Podstawiamy do lewej strony równania
L = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + ^- x - y h3 =
= x3 + y3 - x3 - 3x2 y - 3xy2 - y3 =
=- 3x2 y - 3xy2 = 3xy ^- x - y h = 3xyz = P
\
z
ZADANIE 52. d
ZADANIE sprawdzające.
Wykaż, że jeżeli x + y = 1 , to x3 + y3 + 3xy = x + y .
ROZWIĄZANIE
NOTATKI
49
Wyrażenia algebraiczne.
ODPOWIEDZI.
odpowiedź do ZADANIA 52 .
Wykaż, że jeżeli x + y = 1 , to x3 + y3 + 3xy = x + y .
ROZWIĄZANIE
Zauważmy, że każdy dowolny element równania
możemy pomnożyć przez sumę x + y , ponieważ jest
ona równa jeden
L = x3 + y3 + 3xy = x3 + y3 + 3xy ^ x + y h =
= x3 + y3 + 3x2 y + 3xy2 =
= ^ x + y h3 = 13 = 1 = x + y = P
d
NOTATKI
50
Czas na PODSUMOWANIE NR 2! Wykonaj samodzielnie poniższe zadania z poprzednich działów. Zrób je
koniecznie. To najważniejszy element naszych przygotowań. Zadania w podsumowaniu są specjalnie
tak dobrane, abyś utrwalił i zapamiętał to, czego nauczyłeś się wcześniej.
Gdybyś zapomniał jak rozwiązuje się jakieś zadanie - skorzystaj ze wskazówki. Wskazówka to numer zadania podobnego do tego, które masz rozwiązać lub zawierającego przydatne informacje, które
pomogą w rozwiązaniu. Wskazówka może również odsyłać Cię do konkretnego wzoru lub umiejętności.
W zadaniach 2.1 – 2.5. zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
ZAD. P.  2.1  Wyrażenie k^k + 1h^k + 2h^k + 3h, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, jest podzielne przez:
A. 5
B. 9
C. 16
D. 12
ZAD. P.  2.2  Rozwiązaniem nierówności
z tego, że:
A. a = 3
B. a 1 0
ax + 5 $ 2 jest przedział, gdzie x d ^- 3; - 3 12 j - 1 12 ; 3 h. Wynika
C. a jest liczbą pierwszą
D. a jest liczbą podzielną
przez 3
WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 31
ZAD. P.  2.3  Stopień wielomianu W^ x h = ^ x2 - 1h5 $ ^4x - 1h6 x jest równy:
A. 11
B. 12
C. 17
D. 18
WSKAZÓWKA – ZOBACZ INFORMACJĘ NA STRONIE 51
ZAD. P.  2.4  Jeśli a + b = 4 i a2 + b2 = 10, to a4 + b4 jest równe:
A. 100
B. 82
C. 3 4 - 1
D. ^32 - 1 h^32 + 1 h
WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 46
ZAD. P.  2.5  Liczba ABCCBA, gdzie A, B, C są dowolnymi cyframi parzystymi, dzieli się przez:
A. 4
B. 44
C. 22
D. 8
WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 24
ZAD. P.  2.6  Oblicz wartości m i n, dla których wielomian W^ x h jest podzielny przez wielomian P^ x h, jeśli
W ^ x h = x 4 + x3 + mx2 - 4x + n oraz P ^ x h = x2 + x + 1.
WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 59
ZAD. P.  2.7  Udowodnij, że wyrażenie
cyfrę.
AAA + AA + A jest podzielne przez 41, jeżeli A oznacza dowolną
WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 23
ZAD. P.  2.8  Dany jest wielomian W^ x h = x3 + ax2 + bx - 6. Znajdź a i b wiedząc, że jednym z miejsc zerowych wielomianu jest liczba - 3, a reszta z dzielenia wielomianu W ^ x h przez dwumian x + 5 wynosi - 36.
WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 62
67
PODSUMOWANIE NR 2
WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 68