6. STEROWANIE 6.1 Sterowanie minimalno-czasowe 1

6. STEROWANIE
6.1 Sterowanie minimalno-czasowe
1. Ciało o masie m może poruszać się ruchem postępowym pozostając na uwięzi w postaci
sprężyny o sztywności k i poruszając się w ośrodku stawiającym opór proporcjonalny do
prędkości (współczynnik proporcjonalności wynosi b). Napisać funkcję Hamiltona –
Pontriagina oraz równania sprzężone dla następującego zagadnienia sterowania:
doprowadzić to ciało w minimalnym czasie do stanu zerowego za pomocą siły
zewnętrznej ograniczonej co do modułu.
2. Statek płynie w płaszczyźnie xy przez obszar z silnymi prądami. Prąd ma składowe
prędkości u(x, y) w kierunku x oraz v(x,y) w kierunku y. Prędkość statku względem wody
ma stałą wartość w, zaś kierunek prędkości względnej zadany jest przez kąt φ między
wektorem tej prędkości i osią x (rys.). Traktując statek jako punkt materialny, a kąt φ jako
sterowanie, sformułować warunki potrzebne do wyznaczenia takiego prawa sterowania,
aby czas przepływu z punktu A do punktu B (z góry danych) był minimalny. Następnie
przy założeniu, że składowe prędkości nie zależą od współrzędnej y, wyznaczyć
konkretne prawo sterowania statkiem.
Wskazówki:
1. w zadaniu tym równanie stanu można uzyskać wyłącznie na podstawie relacji
kinematycznych.
2. zastosować ZMP w wersji bez ograniczenia na sterowanie; wówczas dla sterowania
optymalnego można przyjąć, że H ≡ 0 .
w = const
y
ϕ( t )
B
v
u
A
x
3. Ciało o masie m trzeba transportować za pomocą siły ograniczonej co do wartości
F(t ) ≤ F0 z położenia (x0,v0) do położenia -x0 w minimalnym czasie. Podać sposób
obliczenia tego czasu.
4. Pojazd, który można zamodelować jako punkt materialny trzeba przeprowadzić w
minimalnym czasie do miejsca oddalonego o l, ale tak, aby miał tam prędkość o wartości
w. Operację można zrealizować za pomocą silnika, który daje ciąg T∈ < 0, Tmax >, czyli
jednostronny. Wszelkie opory ruchu można zaniedbać. Pojazdowi nadano prędkość
początkową V0.
Uwaga: Wystarczy podać podstawowe zależności potrzebne do rozwiązania zadania oraz
plan jego rozwiązania ze szczególnym uwzględnieniem płaszczyzny fazowej dla różnych
wartości zwrotów prędkości końcowej.
6.2 Sterowanie liniowo-całkowe
1.
Wyznaczyć strategię sterowania, które przeprowadzi układ opisany równaniem
x = x + u
ze stanu x(0) = x0 do stanu x(1) = 0 i zminimalizuje przy tym wskaźnik jakości
1
1
I = ∫ u 2 dt
20
2.
Dla pewnego układu, którego równanie stanu ma postać x = x + u , wyznaczyć
1
1
sterowanie minimalizujące wskaźnik jakości I = ∫ u 4 dt i przeprowadzające układ z
40
położenia x(0 ) = x0 do x(1) = 0 w czasie t ∈ [0,1] .
3.
Wirnik silnika elektrycznego prądu stałego należy ustatecznić za pomocą sterowania u =
u(ω), gdzie ω - prędkość kątowa wirnika. Przyjąć następujący model
∞
dω
1
= aω + bu
,
I = ∫ qω2 + ru 2 dt
dt
20
gdzie a, b, q, i r – stałe dane.
Jakie metody można zastosować do rozwiązania tego zadania. Spróbować podać ich
zalety i wady.
(
4.
)
Dane są: równanie stanu x = ax + bu
∞
i wskaźnik jakości
I=
1
(qx 2 + ru 2 )dt ,
2 ∫0
a, b, q, r = const > 0
Wyznaczyć sterowanie stabilizujące (które przeprowadza układ ze stanu początkowego do
początku układu.).