zestaw 3

Zadania domowe nr 3 : grawitacja, statyka i dynamika płynów, drgania
Grupa 1
1. Średnica Marsa wynosi w przybliżeniu 6,9 · 103 km, a średnica Ziemi 1,3 · 104 km. Masa Marsa
stanowi 0,11 masy Ziemi. a) Ile wynosi stosunek średnich gęstości Marsa i Ziemi? b) Ile wynosi
przyspieszenie grawitacyjne na Marsie? c) Ile wynosi prędkość ucieczki z Marsa?
2. Słońce, którego masa wynosi 2 ∙ 1030 kg, obiega środek Drogi Mlecznej, odległy od Słońca
o 2,2 ∙ 1020 m, przy czym okres tego ruchu wynosi 2,5 ∙ 108 lat. Zakładając, że wszystkie gwiazdy
w Galaktyce mają masę równą masie Słońca, że są one rozłożone równomiernie w kuli o środku
w centrum Galaktyki oraz że Słońce znajduje się na skraju tej kuli, oszacuj liczbę gwiazd w naszej
Galaktyce.
3. Proszę oszacować promienie Ziemi i Słońca, gdyby stały się czarnymi dziurami. Ile wynosiłyby
wówczas ich gęstości? Ile ważyłoby umieszczone na ich powierzchniach ciało o masie m = 55 kg?
4. Planeta porusza się po elipsie wokół nieruchomego Słońca. Największa odległość planety od
Słońca wynosi R1 a najmniejsza R2. Jaki jest potencjał pola grawitacyjnego Słońca w punktach R1
i R2? Ile wynosi moment pędu planety? Proszę wykonać rysunek. Masę planety, masę Słońca i stałą
grawitacji należy przyjąć za dane.
5. Satelita krąży wokół Ziemi na wysokości h = 2R, gdzie R − promień Ziemi. Proszę znaleźć
prędkość satelity, jeżeli dane są R = 6370 km oraz przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
6. Proszę znaleźć masę Ziemi, jeżeli wiadomo, że sztuczny satelita obiega Ziemię na wysokości
h = 1000 km w czasie T = 106 min. Promień Ziemi R = 6370 km.
Grupa 2
1. Metrowy pręt mierniczy jest poziomy i znajduje się w równowadze, gdy jest podparty na ostrzu
znajdującym się przy kresce oznaczającej 50 cm. Gdy w punkcie oznaczającym 12 cm położono na
pręcie dwie monety o masie 5 g każda, do zachowania równowagi pręta trzeba było przesunąć
ostrze do kreski oznaczającej 45,5 cm. Ile wynosi masa tego pręta?
2. Przy myciu okien robotnik o masie 75 kg korzysta z drabiny o masie 10 kg i długości 5 m.
Ustawia on dolny koniec drabiny w odległości 2,5 m od ściany, opiera górny koniec o popękaną
szybę okienną i zaczyna się wspinać po drabinie. Po przebyciu przez niego 3 m wzdłuż drabiny,
szyba okienna rozpada się na kawałki. Pomijając tarcie między drabiną a szybą oraz przyjmując, że
drabina nie ślizga się po podłożu, proszę obliczyć: a) wartość siły, jaką działa drabina na szybę tuż
przed rozpadnięciem się szyby, b) wartość i kierunek siły, jaką działa podłoże na drabinę tuż przed
rozpadnięciem się szyby.
3. Pusta w środku kula o promieniu wewnętrznym 8 cm i promieniu zewnętrznym 9 cm pływa
w cieczy o gęstości 800 kg/m3, przy czym jest zanurzona do połowy. Ile wynosi masa kuli? Ile
wynosi gęstość materiału, z którego jest wykonana?
4. Kotwica wykonana z żelaza o gęstości 7870 kg/m3 wydaje się w wodzie lżejsza o 200 N niż w
powietrzu. a) Ile wynosi objętość tej kotwicy? b) Ile wynosi jej ciężar w powietrzu?
5. Woda płynie początkowo z prędkością równą 5 m/s w rurze, której przekrój ma pole równe
4 cm2. Następnie poziom, na którym znajduje się rura, obniża się stopniowo o 10 m, a pole jej
przekroju poprzecznego zwiększa się przy tym do wartości 8 cm2. a) Ile wynosi prędkość wody na
szerszym końcu rury? b) Ile wynosi ciśnienie wody na szerszym końcu rury, jeśli na jej węższym
końcu jest ono równe 1,5 ·105 Pa ?
6. Woda jest doprowadzana do piwnicy budynku rurą o średnicy wewnętrznej równej 2,5 cm
i płynie w niej z prędkością 0,9 m/s. Ciśnienie w rurze wynosi 170 kPa. Następnie woda dociera
rurą o mniejszej średnicy, równej 1,2 cm, na drugie piętro, czyli na poziom wyższy o 7,6 m od
poziomu piwnicy. Ile wynosi prędkość oraz ciśnienie wody na drugim piętrze?
Grupa 3
1. Ciężarek o masie 0,75 kg przymocowany do poziomej sprężyny wykonuje ruch drgający
harmoniczny poruszając się po idealnie gładkiej poziomej powierzchni. W czasie 0,5 s pokonuje
drogę 10 cm między skrajnymi wychyleniami z położenia równowagi. Ile wynosi energia
mechaniczna tych drgań?
2. Klocek o masie 0,25 kg przymocowany do sprężyny wykonuje na doskonale gładkim stole
drgania harmoniczne o energii całkowitej równej 50 J. Ile wynosi wartość energii kinetycznej tego
klocka w momencie, gdy jego wychylenie liczone od punktu równowagi jest równe połowie
wartości amplitudy drgań? Jaka jest maksymalna wartość prędkości klocka?
3. Wahadło matematyczne na powierzchni Ziemi posiada okres drgań T = 2 s. Jaki byłby okres
drgań tego wahadła po umieszczeniu go na powierzchni Księżyca? Masa Księżyca jest 83 razy
mniejsza niż masa Ziemi, a jego promień 3,7 razy mniejszy.
4. Pręt o długości jednego metra wykonuje drgania wokół punktu zawieszenia znajdującego się na
jednym z jego końców. Proszę wyznaczyć okres drgań pręta oraz długość wahadła
matematycznego, które wykonywałoby drgania o tym samym okresie co pręt.
5. Okres tłumionych drgań wahadła wynosi T = 4 s. Amplituda drgań maleje o połowę w ciągu
dwudziestu sekund. Proszę obliczyć logarytmiczny dekrement tłumienia.
6. Ciało o masie 0,15 kg jest doczepione do sprężyny z k = 6,3 N/m. Ciało to poddane działaniu siły
okresowej o amplitudzie 1,7 N wykonuje drgania wymuszone bez tłumienia. Dla jakiej/jakich
częstotliwości siły wymuszającej amplituda drgań będzie równa 0,44 m?