„1” i

V(x)
Cz stka o masie m porusza si po prostej. Otoczenie
wpływa na ni tak, e nadaje jej energi potencjaln V(x).
V1
0 1 2
0
a
Ze wzgl du na sposób okre lenia V(x),
rozwi zujemy równanie Schrödingera
w ka dym z obszarów „0”, „1” i „2”,
a potem „zszywamy”
w jedno ci głe rozwi zanie.
Copyright Mirek Bylicki
x
V(x)
V1
Zajmiemy si najpierw poszukiwaniem
rozwi za równania Schrödingera
o energii
.
0 1 2
0
a
Energia cz stki nie mo e by ujemna,
bo wtedy energia kinetyczna byłaby
x
wsz dzie ujemna.
Copyright Mirek Bylicki
V(x)
V1
Bardzo nieporz dne matematycznie.
Matematycznie porz dne
i poprawne fizycznie:
cz stka nie mo e przebywa
w obszarze „0” – musiałaby mie
redni energi kinetyczn ujemn .
lub
0
0
x
a
Copyright Mirek Bylicki
V(x)
V1
1
0
x
a
Copyright Mirek Bylicki
V(x)
V1
Funkcja nie mo e przyjmowa
niesko czonych warto ci w obszarze
bo nie mo e mie redniej energii
kinetycznej ujemnej.
0
a Copyright Mirek Bylicki
2
x
Rozwi zania z poszczególnych obszarów
trzeba poł czy w „gładk ” cało .
Zszywanie:
danie
ci gło ci funkcji
Nie da si zapewni
ci gło ci pochodnej
w x=0.
danie
ci gło ci
pochodnej
Copyright Mirek Bylicki
Pierwszy warunek wymaga, aby B=0. Dwa pozostałe tworz układ
równa liniowych na A i C:
Je li równania s niezale ne,
to istnieje tylko jedno – zerowe rozwi zanie
które nie jest fizyczne (mówi, e cz stki nie ma).
Aby istniały inne – niezerowe – rozwi zania,
równania musza by liniowo zale ne,
czyli musi zachodzi :
Poniewa k1(E) i k2(E),
warunek ten narzuca ograniczenie na warto ci energii .
Copyright Mirek Bylicki
,
Tylko niektóre warto ci energii s dozwolone.
Ile ich jest?
Przyjmijmy oznaczenia:
.
Wtedy:
Z definicji k1 i k2.
Warunek liniowej
zale no ci równa na A i C.
Dozwolonych energii jest n.
Jest to liczba sko czona.
Zale y od R – „pojemno ci studni”.
(dla płytkiej lub w skiej studni n=0).
Copyright Mirek Bylicki
Jak znale
dozwolone energie?
Mamy warunek
Rozwi zujemy numerycznie, graficznie:
Definiujemy funkcj
Równanie nieliniowe na E.
Poszukiwane energie s jej miejscami zerowymi
Copyright Mirek Bylicki
f(E)
asymptota
E1=0.91155
Copyright Mirek Bylicki
E2=3.5005
E
V(x)
V1=5
E2=3.5005
E1=0.91155
0
2
x
Copyright Mirek Bylicki
Dla ka dej dozwolonej warto ci energii Ei ,
,
tzn. spełniaj cej warunek
wracamy do układu równa , z których teraz
tylko jedno jest niezale ne:
Otrzymujemy rozwi zanie:
Mamy wi c funkcj falow stanu o energii Ei :
Stał Ai dobiera si tak, aby zapewni unormowanie funkcji.
Copyright Mirek Bylicki