Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)

Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)
Zestaw 2
Kongruencje
1. Wykorzystując kongruencje: 100 ≡ 1 (mod 11), 100 ≡ −1 (mod 101), 1000 ≡ −1 (mod 7, 13, 11),
1000 ≡ 1 (mod 27, 37),
wyprowadź cechy podzielności przez 7, 11, 13, 27, 37, 101.
2. Wykorzystując kongruencje: 10 ≡ 3 (mod 7), 100 ≡ −2 (mod 51) wyprowadź cechy podzielności przez
7 i 51.
3. Wykaż, że 7|(100a + 10b + c) ⇔ 7|(a + 4(10b + c) dla każdych a, b, c ∈ Z. Wykorzystując powyższą
równoważność sformułuj cechę podzielności przez 7 i zastosuj ją do liczby 138264.
4. (OM) Wykaż, że jeżeli m ≡ n (mod 4), to liczba 53m − 33n jest podzielna przez 10.
5. Wykaż, że x7 ≡ x (mod 42) dla każdej liczby całkowitej x.
6. (OM) Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby
naturalnej, jest podzielny przez 504.
7. Niech p będzie liczbą pierwszą oraz niech a, b będą liczbami całkowitymi. Wykaż, że :
(a) (a + b)p ≡ ap + bp (mod p);
(b) jeśli k > 0 i a ≡ b (mod pk ), to ap ≡ bp (mod pk+1 );
k−2
(c) (c∗ ) jeśli k ­ 2 oraz p 6= 2, to (1 + ap)p
≡ 1 + apk−1 (mod pk )
Wskazówka: zastosować metodę indukcji i wykorzystać (b) .
8. Wykaż, że jeżeli liczby x, y, z są względnie pierwsze i spełniają równanie x2 + 2y 2 = z 2 , to x, z są nieparzyste, zaś y jest parzyste.
9. Wykaż, że jeżeli k ≡ 1 (mod 4) oraz x, y są względnie pierwsze i spełniają równanie x2 + k = y 3 , to x jest
parzyste, zaś y jest liczbą nieparzystą.
10. Znajdź resztę z dzielenia liczby całkowitej a przez 73 wiedząc, że a100 ≡ 2 (mod 73) oraz
a101 ≡ 69 (mod 73).
11. Wyznacz reszty z dzielenia:
(a)
(b)
(c)
(d)
15231 przez 14;
380 + 780 przez 11;
208208 przez 23;
182815 przez 14.
12. Znajdź dwie ostatnie cyfry każdej z następujących liczb:
289289 ,
13.
14.
15.
16.
9
2341 ,
79 ,
14
1414 .
n
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ­ 2 liczba 22 kończy się cyfrą 6.
Wykaż, że jeżeli 30|(a1 + a2 + ... + an ), to 30|(a51 + a52 + ... + a5n ).
Wykaż, że jeżeli p, q są różnymi liczbami pierwszymi, to pq−1 + q p−1 ≡ 1 (mod pq).
Wykaż, że równania 3X 2 + 2 = Y 2 , 7X 2 + 2 = Y 3 nie mają rozwiązań w liczbach całkowitych.
Wskazówka: rozważyć reszty modulo odpowiednia liczba naturalna.
17. Wykaż, że setna potęga dowolnej liczby całkowitej przy dzieleniu przez 125 daje resztę 0 lub 1 .
18. Wykaż, że jeżeli n, m są liczbami naturalnymi oraz 7|(a6m + a6n ), to liczba całkowita a jest podzielna
przez 7.
19. (OM) Znajdź wszystkie takie liczby naturalne n, aby liczba 1! + 2! + ... + n! była:
(a) kwadratem pewnej liczby naturalnej
(b) sześcianem pewnej liczby naturalnej
(wskazówka: rozważyć reszty modulo 5);
(wskazówka: rozważyć reszty dla odpowiedniego modułu).
20. (OM) Udowodnij, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n > 1 istnieje taka liczba naturalna d < n,
że liczba 2d − 1 jest podzielna przez n.
Wskazówka: rozważyć liczbę możliwych reszt z dzielenia liczb 2, 22 , ..., 2n przez n.
21. (OM) Udowodnij, że nie istnieje nieparzysta liczba naturalna n > 1 , taka, że liczba 2n − 1 dzieli się przez
n.
Wskazówka: rozważyć dzielnik pierwszy liczby n i skorzystać z małego twierdzenia Fermata.
1
22. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n :
(a) liczba 10n + 17 jest podzielna przez 3;
(b) liczba 34n+3 − 17 jest podzielna przez 10.
23. Wykaż, że równania 24x + 36y = 61z , 20x + 50y = 71z nie mają rozwiązań w liczbach naturalnych.
24. Niech p będzie liczbą pierwszą, zaś a liczba całkowitą. Wykaż, że jeśli ap ≡ 1 (mod p), to
ap ≡ 1 (mod p2 ).
25. Wykaż, że dwie kolejne liczby Fermata spełniają warunek:
2
Fn−1
− 2Fn−1 + 2 ≡ 0
(mod Fn ).
26. Wykorzystaj równości
641 = 24 + 54 = 1 + 5 · 27
do udowodnienia, że F5 ≡ 0 (mod 641).
F5 jest najmniejszą złożoną liczbą Fermata. Jej dzielnik 641 znalazł Euler w 1732 r.
Uwaga. Znak (OM) oznacza, że zadanie pochodzi z olimpiady matematycznej.
h i
27. Załóżmy, że N W D(a, m) = 1 , b ∈ Z . Wykaż, że istnieje liczba s ∈ {0, 1, ..., |a|
2 } taka, że a|b ± sm .
Wtedy
b±sm
a
jest rozwiązaniem kongruencji aX ≡ b (mod m) .
28. Wykorzystaj poprzednie zadanie do rozwiązania kongruencji 3X ≡ 20 (mod 161).
h
i
29. Wykaż, że jeżeli z (mod b) jest rozwiązaniem kongruencji aX ≡ c (mod b), to para z, (c−az)
jest rozb
wiązaniem równania nieoznaczonego aX + bY = c .
30. Wykorzystaj powyższe zadanie do rozwiązania równania 50X − 42Y = 34.
31. Niech d = N W D(m1 , m2 ). Wykaż, że układ kongruencji
X ≡ c1
X ≡ c2
(mod m1 )
(mod m2 )
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy d|(c1 −c2 ). Jeśli warunek ten jest spełniony, to układ ma dokładnie
jedno rozwiązanie modulo N W W (m1 , m2 ).
32. Wykaż, że układ kongruencji

X ≡ c1



 X ≡ c2




X ≡ ck
(mod m1 )
(mod m2 )
..
.
(mod mk )
albo ma dokładnie jedno rozwiązanie, albo nie ma rozwiązań. Ponadto jeśli liczby m1 , m2 , ..., mk są parami
względnie pierwsze, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie.
33. Załóżmy, że liczby m1 , m2 , ..., mk są parami względnie pierwsze, M = m1 · m2 · ... · mk oraz yi jest
rozwiązaniem kongruencji
M
mi yi
≡ 1 (mod mi ) dla i = 1, 2, ..., k. Niech ponadto
z=
M
M
M
y1 c1 +
y2 c2 + ... +
yk ck .
m1
m2
mk
Wykaż, że z(mod M )jest jedynym rozwiązaniem układu kongruencji

X ≡ c1 (mod m1 )



 X ≡ c2 (mod m2 )
.
..

.



X ≡ ck (mod mk )
34. Rozwiąż następujące kongruencje:
(a)
(b)
(c)
(d)
3X ≡ 1 (mod 5);
3X ≡ 8 (mod 13);
25X ≡ 15 (mod 7);
4X ≡ 7 (mod 6);
2
(e) 14X ≡ 22 (mod 36);
(f ) 20X ≡ 10 (mod 25).
35. Dopisz z prawej strony liczby 523 takie trzy cyfry, aby otrzymana liczba sześciocyfrowa była podzielna
przez 7, 8 i 9.
36. Rozwiąż
następujące układy kongruencji:

 X ≡ 4 (mod 5)
X ≡ 1 (mod 12) ;

X ≡ 7 (mod 14)

X ≡ 1 (mod 25)



X ≡ 2 (mod 4)
(b)
;
X
≡ 3 (mod 7)



X ≡ 4 (mod 9)

 3X ≡ 7 (mod 10)
2X ≡ 5 (mod 15) ;
(c)

7X ≡ 5 (mod 12)

 5X ≡ 1 (mod 12)
5X ≡ 2 (mod 8) .
(d)

7X ≡ 3 (mod 11)
(a)
37. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez 7, 5, 3, 11 daje odpowiednio reszty 3, 2, 1, 9.
38. Znajdź cyfry x, y wiedząc, że liczba 4x87y6 dzieli się przez 56.
39. Znajdź cyfry x, y, z wiedząc, że liczba xyz138 dzieli się przez 7, zaś liczba 138xyz przy dzieleniu przez 13
daje resztę 6, a liczba x1y3z8 przy dzieleniu przez 11 daje resztę 5.
40. (OM) Znajdź cyfry x, y, z wiedząc, że liczba 13xy45z dzieli się przez 792.
41. Rozwiąż kongruencje:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
6X 10 − 12X + 1 ≡ 0 (mod 5);
X 5 − 2X 3 + X 2 − 2 ≡ 0 (mod 3);
X 7 − 6 ≡ 0 (mod 5);
3X 3 + 4X 2 − 7X − 6 ≡ 0 (mod 15);
X 4 − 33X 3 + 8X − 26 ≡ 0 (mod 35);
6X 3 − 3X 2 − 13X − 10 ≡ 0 (mod 30).
42. Wykaż, że p jest liczbą pierwszą ⇔ (p − 2)! ≡ 1 (mod p) (twierdzenie Leibniza).
43. Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykaż, że kongruencja X 2 + p ≡ 0 (mod p2 ) nie ma rozwiązań.
3