ALGEBRA BOOLE`A DEFINICJA: Niech dany będzie niepusty zbiór

ALGEBRA BOOLE’A
DEFINICJA: Niech dany będzie niepusty zbiór B, w którym wyróżnione są dwa elementy: 0, 1. W zbiorze tym określmy działania:
-sumy logicznej: +
-iloczynu logicznego: ·, przy czym x · y ⇔ xy
-dopełnienia logicznego¯
przy czym priorytet działań jest następujący: dopełnienie przed iloczynem, iloczyn
przed sumą.
Algebrą Boole’a nazywamy zbiór B z powyższymi działaniami taki, że dla dowolnych
elementów x, y, z ∈ B zachodzą prawa:
Prawa przemienności (pp)
(2.1) x + y = y + x;
(2.2) xy = yx;
Prawa łączności (pł)
(2.3) (x + y) + z = x + (y + z);
(2.4) (xy)z = x(yz);
Prawa rozdzielności (pr)
(2.5) x + (yz) = (x + y) · (x + z);
(2.6) x · (y + z) = xy + xz;
Prawa identyczności (pid)
(2.7) x + 0 = x;
(2.8) x · 1 = x;
Prawa dopełnienia (pd)
(2.9) x + x̄ = 1;
(2.10) x · x̄ = 0.
TWIERDZENIE 2.1. W każdej algebrze Boole’a prawdziwe są własności:
Prawa idempotentności (p2x)
(2.11) x + x = x;
(2.12) x · x = x;
Drugie prawa identyczności (p01)
(2.13) x + 1 = 1;
(2.14) x · 0 = 0;
Prawa pochłaniania (ppch)
(2.15) (x · y) + x = x;
(2.16) (x + y) · x = x;
TWIERDZENIE 2.2. W każdej algebrze Boole’a spełnione są:
Prawa de Morgana (pdM)
(2.17) x + y = x̄ · ȳ;
(2.18) x · y = x̄ + ȳ
1
oraz
Prawo podwójnej negacji (ppn)
(2.19) x̄¯ = x.
W informatyce zwykle wykorzystuje się dwuelementową algebrę Boole’a, gdzie
B = {0, 1}. W przypadku takiej algebry prawdziwość równości można zweryfikować za
pomocą tzw. metody zero-jedynkowej.
Zadanie1. Udowodnić tezy twierdzenia 2.1.
a)upraszczając wyrażenia boolowskie;
b) metodą ”0-1”.
Zadanie 2. Uprościć wyrażenia. Sprawdzić poprawność redukcji metodą ”0-1”:
a) (x + y) · z̄;
b) x · (x̄ + y);
c) x + (x̄ · y);
d) (x + y) + x;
e) x · (y · z̄);
f) (x + y)(x · y);
g) (x · y)(x + ȳ);
h) x(x̄ + xy + yz);
i) x · x + y;
j) x + xyz̄ + z;
k) (x + y) + ((ȳ · z̄) · x);
l) (x + y)(x + ȳ)(x̄ + z);
m) (x̄ + z + xȳ + zx) · x;
n) xyz + xȳz + xyz̄.
Zadanie 3. Wykazać poniższe równości
a)upraszczając wyrażenia boolowskie;
b) metodą ”0-1”.
1. x̄y + x = x + y;
2. xȳ · z + y + (x + y) = x + y;
3. x + x̄ · y = x + y;
2
4. (xz + z̄x + z)z̄ = xz̄;
5. (x + y)(x̄ȳ) = 0;
6. xz · yz + xz̄ + x̄ = 1.
3