Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna
Dominik Bojko
Politechnika Wrocªawska
8 listopada 2015
1
Teoria
Denicja 1.1.
G)x · y ∈ G),
Grup¡ nazywamy struktur¦ algebraiczn¡
(G, ·),
zamkni¦t¡ na dziaªanie
·
(tzn.(∀x, y
która speªnia aksjomaty:
(1)
(2)
(3)
(∀x, y, z ∈ G) (x · y) · z = x · (y · z),
(∃e ∈ G)(∀x ∈ G) e · x = x · e = x,
(∀x ∈ G)(∃y ∈ G) x · y = y · x = e.
Element
e
∈
nazywamy elementem neutralnym dziaªania
wamy elementem odwrotnym do
x
w grupie
·
w grupie
(G, ·).
Element
y
z podpunktu
(3)
nazy-
(G, ·).
Je±li dodatkowo speªnione jest:
(4)
(∀x, y ∈ G) x · y = y · x,
to grup¦ nazywamy abelow¡ lub przemienn¡.
Denicja 1.2.
Pier±cieniem nazywamy struktur¦ algebraiczn¡
(R, +, ·),
zamkni¦t¡ na obydwa dziaªania,
speªniaj¡c¡ aksjomaty:
(5)
(6)
(7)
(8)
(R, +) jest grup¡ abelow¡,
(∀x, y, z ∈ R) (x · y) · z = x · (y · z),
(∀x, y, z ∈ R) x · (y + z) = (x · y) + (x · z),
(∀x, y, z ∈ R) (y + z) · x = (y · x) + (z · x).
Denicja 1.3.
Ciaªem nazywamy struktur¦ algebraiczn¡
(F, +, ·),
zamkni¦t¡ na obydwa dziaªania, speª-
niaj¡c¡ aksjomaty:
(R, +)
jest grup¡ abelow¡ z elementem neutralnym
(R\{0}, ·) jest grup¡ abelow¡,
(∀x, y, z ∈ R) x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
0,
(9)
(10)
(11)
Przez x(n) oznaczamy reszt¦ z dzielenia liczby x przez n.
Fakt 1. (Cn , +n ) jest grup¡ abelow¡.
We¹my dowolne x, y, z z powy»szej struktury. Wtedy (x+n y)+n z = (x+y)(n) +n z = (x+y+z)(n) =
x +n (y + z)(n) = x +n (y +n z). Elementem neutralnym jest 0, bo x +n 0 = x. Elementem odwrotnym do x
jest n − x. Istotnie: x +n (n − x) = n(n) = 0. Grupa jest przemienna, bo x +n y = (x + y)(n) = (y + x)(n) =
y +n x.
Dowód.
1
2
Zadanie 29.
Poka»emy, »e (Z3 × Z3 , +, ·) jest ciaªem, gdzie
(a, b) + (c, d) = ((a + b)(3) , (c + d)(3) ),
(a, b) · (c, d) = ((ac − bd)(3) , (ad + bc)(3) ).
(12)
(13)
(Z3 × Z3 , +) jest grup¡ abelow¡ ze wzgl¦du na okre±lenie dziaªania + (wzór (12)) (fakt ten to wniosek z
zadania 35.1.).
We¹my dowolne (a, b), (c, d), (x, y) z naszej struktury. Wtedy mo»emy pokaza¢ ª¡czno±¢ mno»enia:
((a, b) · (c, d)) · (x, y) = ((ac − bd)(3) , (ad + bc)(3) ) · (x, y)
= (((ac − bd)(3) · x − (ad + bc)(3) · y)(3) , ((ac − bd)(3) · y + (ad + bc)(3) · x)(3) )
= ((((ac − bd)(3) · x)(3) − ((ad + bc)(3) · y)(3) )(3) , (((ac − bd)(3) · y)(3) + ((ad + bc)(3) · x)(3) )(3) )
= ((((acx)(3) − (bdx)(3) )(3) − ((ady)(3) + (bcy)(3) )(3) )(3) , (((acy)(3) − (bdy)(3) )(3) + ((adx)(3) + (bcx)(3) )(3) )(3) )
= (((acx − bdx)(3) − (ady + bcy)(3) )(3) , ((acy − bdy)(3) + (adx + bcx)(3) )(3) )
= ((acx − bdx − ady − bcy)(3) , (acy − bdy + adx + bcx)(3) )
= ((a · (cx − dy) − b · (cy + dx))(3) , (a · (cy + dx) + b · (cx − dy))(3) )
= (((a · (cx − dy)(3) )(3) − (b · (cy + dx)(3) )(3) )(3) , ((a · (cy + dx)(3) )(3) + (b · (cx − dy)(3) )(3) )(3) )
= ((a · (cx − dy)(3) − b · (cy + dx)(3) )(3) , (a · (cy + dx)(3) + b · (cx − dy)(3) )(3) )
= (a, b) · ((cx − dy)(3) , (cy + dx)(3) ) = (a, b) · ((c, d) · (x, y)).
Elementem neutralnym mno»enia jest (1, 0). Istotnie:
(a, b) · (1, 0) = ((a · 1 − b · 0)(3) , (a · 0 + b · 1)(3) ) = (a, b).
Elementem odwrotnym do (a, b) jest ((a · (a2 + b2 )−1 )(3) , ((3 − b) · (a2 + b2 )−1 )(3) ), gdzie (a2 + b2 )−1 to
element odwrotny do a2 + b2 wzgl¦dem mno»enia w Z3 . Poka»emy to nast¦puj¡cym rachunkiem:
(a, b) · ((a · (a2 + b2 )−1 )(3) , ((3 − b) · (a2 + b2 )−1 )(3) )
= ((a2 · (a2 + b2 )−1 − b · (3 − b) · (a2 + b2 )−1 )(3) , (a · (3 − b) · (a2 + b2 )−1 + b · a · (a2 + b2 )−1 )(3) )
= (((a2 − b(3 − b)) · (a2 + b2 )−1 )(3) , ((a(3 − b) + ba) · (a2 + b2 )−1 )(3) )
= (((a2 + b2 + 3b) · (a2 + b2 )−1 )(3) , ((3a − ab + ba) · (a2 + b2 )−1 )(3) )
= (((a2 + b2 ) · (a2 + b2 )−1 + 3b · (a2 + b2 )−1 )(3) , (3a · (a2 + b2 )−1 )(3) )
= (((a2 + b2 ) · (a2 + b2 )−1 )(3) + (3b · (a2 + b2 )−1 )(3) )(3) , 0) = ((1 + 0)(3) , 0) = (1, 0).
Zauwa»my, »e podczas wskazywania elementu odwrotnego wykorzystali±my to, »e istnieje w Z3 element
odwrotny do dowolnego elementu postaci a2 + b2 . W tym ciele a2 + b2 6= 0 dla a, b 6= 0. Teraz poka»emy
przemienno±¢:
(a, b) · (c, d) = ((ac − bd)(3) , (ad + bc)(3) ) = ((ca − db)(3) , (da + cb)(3) ) = (c, d) · (a, b).
Pozostaje pokaza¢ rozdzielno±¢:
(a, b) · ((c, d) + (x, y)) = (a, b) · ((c + x)(3) , (d + y)(3) )
= ((a(c + x)(3) − b(d + y)(3) )(3) , (a(d + y)(3) + b(c + x)(3) )(3) )
= (((ac)(3) + (ax)(3) − (bd)(3) − (by)(3) )(3) , ((ad)(3) + (ay)(3) + (bc)(3) + (bx)(3) )(3) )
= (((ac − bd)(3) + (ax − by)(3) )(3) , ((ad + bc)(3) + (ay + bx)(3) )(3) )
= ((ac − bd)(3) , (ad + bc)(3) ) + ((ax − by)(3) , (ay + bx)(3) ) = ((a, b) · (c, d)) + ((a, b) · (x, y)).
2
3
Zadania 34. i 30.1.
√
Chcemy pokaza¢, »e Q( 2) = ({a +
izomorczna z (Q × Q, ⊕, ), gdzie
√
2b : a, b ∈ Q}, +, ·) jest ciaªem. Zauwa»my, »e jest to struktura
(∀(a, b), (c, d) ∈ Q) (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(∀(a, b), (c, d) ∈ Q) (a, b) (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc).
√
Izomorzm zadajemy wzorem φ(a + b 2) = (a, b). Zauwa»my, »e dziaªania s¡ okre±lone tak samo (z dokªadno±ci¡ do staªej) jak dziaªania z zadania 29. Caªy dowód si¦ przepisuje, wi¦c sprawdzenie pozostawiam
jako ¢wiczenie.
Jedyny niuans pojawia si¦ przy szukaniu elementu odwrotnego do (a, b) wzgl¦dem mno»enia . Jest nim
−b
a
2
2
( a2 −2b
2 , a2 −2b2 ), wi¦c wykorzystujemy fakt, »e Q jest ciaªem i zawiera element odwrotny do a − 2b dla dowolnych a, b ∈ Q. Odpowied¹ na pytanie, dlaczego element jest takiej postaci, pozostawiam czytelnikowi.
Prosz¦ sprawdzi¢, »e ten dowód mo»na równie» przepisa¢ w zadaniu 30.1. Przy czym tam nie ma elementu
odwrotnego ze wzgl¦du na to, »e Z nie jest ciaªem!
3