Wstęp do Programowania Matematycznego Lista zadań nr 2

Wstęp do Programowania Matematycznego
Lista zadań nr 2
Tematyka: Formułowanie zadań programowania liniowego w postaci matematycznej.
1. Wyznaczyć maksimum funkcji f (x) = x1 + 2x2 na zbiorze określonym nierównościami −x1 + x2 ¬ 0, x1 − x2 ¬
0, x1 + x2 ¬ 1, x1 ­ 0, x2 ­ 0.
2. Wyznaczyć minimum dla funkcji f (x) = x1 +2x2 −x3 na zbiorze określonym nastepującymi warunkami: x1 +x2 +x3 =
1, x1 − x2 ¬ 0, x1 ­ 0, x2 ­ 0.
3. Problem Diety Trzy różne nawozy F, P, N zawiarają cztery składniki mineralne A, B, C, D. Ilości składników i
minimalne dawki składników mineralnych wymagane w hodowli określonego rodzaju roślin podane są w tabeli
Składniki
F
P
N
A
B
C
D
6
40
3
18
2
4
20
12
26
20
60
13
Minimalna wymagana ilość
96
160
120
152
Jednostkowe ceny nawozów wynoszą odpowiednio 5, 6, 2 PLN. Wyznaczyć skład mieszanki o minimalnym koszcie.
Rozwiązać także to samo zadanie przy dodatkowym założeniu, że proporcja użytych nawozów wynosi 1 : 0, 5 : 4.
4. Optymalizacja Portfela Inwestycyjnego Portfel inwestycyjny składa się z trzech papierów wartościowych kategorii A, B, C o oprocentowaniu odpowiednio 5, 6, 9 % w skali roku. Na zakup portfela przeznaczone jest do 100 000
PLN, nie więcej niż 20 000 ma być przeznaczone na zakup papierów C, a średnia kategoria ma być nie niższa od
B(1 ). Wyznaczyć optymalny (przynoszący największy zysk) skład portfela zgodny z podanymi warunkami.
5. Problem Transportowy Każda z trzech rafinerii T, C, A wytwarza 106 baryłek ropy. Zapotrzebowanie w miejscowości K oddalonej od rafinerii o odpowiednio 1000, 20000, 3000 km. wynosi 800 000 baryłek, a w miejscowości W w
odległości odpowiednio 1500, 3000, 3700 km. zapotrzebowanie wynosi 2 200 000 baryłek. Sformułować (zamknięty,
tj. w postaci warunków zadanych równaniami) problem minimalizacji kosztu transportu, jeśli transport kosztuje 1
PLN za przewóz 1 baryłki na odległość 1 km. Rozwiązać ten problem.
6. Optymalizacja Produkcji Fabryka samochodów produkuje trzy rodzaje pojazdów A, B, C, które przynoszą jej
zysk odpowiednio 100, 200, 400 $. Wydajność zużycia paliwa w tych pojazdach wynosi odpowiednio 20, 17, 14
mil/galon, a przepisy ochrony środowiska wymagają od fabryki, aby przeciętne zużycie w pojazdach jej produkcji
było nie większe niż 18 mil/galon. Przeciętny czas montażu pojazdu to 1 min. dla A, 2 min. dla B i 3 min. dla C.
Jaki maksymalny zysk może osiągnąć fabryka w ciągu 8 godzinnego dnia pracy?
7. Optymalizacja Czasu Pracy W pewnej firmie produkowane są dwa rodzaje produktów A i T , przy czym ich
wykonanie jest podzielone między dwa oddziały, I i II. W oddziale I praca wymagana przez produkt T wynosi
5 godz., a praca wymagana przez A — 2 godz. W oddziale II na każdy produkt poświęcane jest po 3 godz.
Odział I może poświęcić 180 godz. pracy (tygodniowo) na wykonanie zadania produkcyjnego, a oddział II tylko
135 godz. Produkt A przynosi zysk 200$ na sztuce, a produkt T — 300$ na sztuce. Sprawdzić, że plan produkcji
maksymalizujący zysk polega na produkcji 30 sztuk rodzaju T i 15 sztuk rodzaju A i przynosi zysk 12 000$. Ułożyć
i rozwiązać problem dualny. Jaka jest jego interpretacja?
8. Dana jest początkowa tablica sympleksowa
v1
v2
−1
x1
2
3
17
= u1
x2
1
1
5
= u2
−1
3
4
0
=g
= − y1
= − y2
=f
Przeprowadzić algorytm sympleks wybierając jako element wiodący 1 w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie i
sprawdzić, że zakończenie algorytmu wymaga trzech kroków, a przy wyborze 2 w pierwszej kolumnie jako elementu
wiodącego potrzeba mniej (ile?) operacji. Prześledzić kolejne zamiany zmiennych bazowych przez niebazowe przy
pierwszej metodzie rozwiązania.
1 Dla naszych celów możemy przyjąć, że oznacza to, iż średnia inwestycji w papiery kategorii A i C musi być nie większa niż wartość papierów
kategorii A. Kategorie odzwierciedlają stopień ryzyka inwestycji w dany papier i są uporządkowane (malejąco) A, B, C.